精品解析：四川省泸州市泸县二外梁才学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

泸县二外梁才学校2024年秋期2025届半期考试 数 学 试 题（卷Ⅰ） 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 2. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D. 是不等式的解，这是一个必然事件 3. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CDAB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5 6. 二次函数的图象的（ ） A. 最高点在 B. 最高点在 C. 最低点在 D. 最低点在 7. 如图，将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，是上的一点，且，过点作，交于点，射线交于点，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 12. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签宇笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 15. 当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是_____． 三、本大题共3小题，每小题6分，共18分． 17. 解方程： 18. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 19. 如图，AC为的直径，BD是弦，且于点E，连接AB、OB、BC． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕顺时针旋转后的； （3）请求出的面积． 21. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）如果每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定降价销售，经过两次降价后每件童装的售价为81元/件，每次降价的百分率相同，求降价的百分率 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分 22. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 23. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于点，与x轴交于C、D两点．点P是对称轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当的值最小时，求点P的坐标． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长． 25. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县二外梁才学校2024年秋期2025届半期考试 数 学 试 题（卷Ⅰ） 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D. 是不等式的解，这是一个必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断 【详解】解：A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意； B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意； C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查 D.解：， ， 解得：， ∴是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，首先将方程常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可求解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即． 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CDAB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5 【答案】A 【解析】 【详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°， ∴△BCD∽△BAC；① ∴∠BCD=∠A=30°， 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD； 由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2； 故选：A 6. 二次函数的图象的（ ） A. 最高点在 B. 最高点在 C. 最低点在 D. 最低点在 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意可把二次函数的解析式变成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：把二次函数变成顶点式得：， ∵，即开口向上， ∴该二次函数有最低点； 故选C． 7. 如图，将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可求的度数． 【详解】解：∵将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形， ∴，， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键，先根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理算出长，再根据垂径定理得出长，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，先将二次函数解析式化为顶点式，再直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】将化为顶点式为：， 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为，即． 故选：B． 10. 如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出解答．根据平行线的性质得出，进而利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：弦， ， 由圆周角可知，， ， ， ， ， 故选：A 11. 如图，在中，，是上的一点，且，过点作，交于点，射线交于点，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定及性质；由平行四边形的性质及三角形相似的判定方法得，，由平行线分线段成比例定理，，，即可求解；掌握判定方法及性质进行线段比例转换是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ； 故选：B． 12. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　） A. c＜ B. 0＜c＜ C. ﹣1＜c＜ D. ﹣1＜c＜0 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解． 【详解】解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数， ∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1， 整理，得：x2-x+c=0， 由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①， 令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下： 而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②， 联立①②并解得： 0＜c＜， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签宇笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、6、6，现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字．则两次摸到不同数字的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出树状图，得出所有可能的结果和符合事件要求的所有可能的结果，用概率公式求得即可． 【详解】如图， ， 共有9种等可能性的结果，其中两次摸到不同数字的结果有4种， 两次摸到不同数字的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查用树状图或列表法求简单事件的概率，正确画出树状图是解题的关键． 15. 当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直线与抛物线有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算． 【详解】解:法一：与抛物线有交点 则有，整理得 解得 ，对称轴 法二：由题意可知， ∵抛物线的 顶点为，而 ∴抛物线y的取值为 ，则直线y与x轴平行， ∴要使直线与抛物线有交点， ∴抛物线y的取值为，即为a的取值范围， ∴ 故答案为 【点睛】考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是_____． 【答案】14﹣4 【解析】 【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2， ∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2， ∵OP2＝x2+y2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， 当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值， ∴OP的最小值为CO-CP＝﹣1， ∴PA2+PB2最小值为14﹣4． 故答案是：14﹣4． 【点睛】考查圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值. 三、本大题共3小题，每小题6分，共18分． 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】因式分解，可化为的形式，令，得出方程的解． 【详解】解： 或 ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解．解题的关键与难点是将方程进行因式分解． 18. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 【答案】①，②m的值为． 【解析】 【分析】①根据“关于x的一元二次方程有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可． ②根据“x1，x2是方程的两根且”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】解：①根据题意得： ， 解得：， ②根据题意得： ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系． 19. 如图，AC为的直径，BD是弦，且于点E，连接AB、OB、BC． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）弦的长为． 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得到，则根据圆周角定理得到，根据，得出，从而得到； （2）先计算出，再利用勾股定理计算出，然后利用垂径定理得到，从而可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴的半径为， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：弦的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕顺时针旋转后的； （3）请求出的面积． 【答案】（1） 如下图所示：即为所求； （2） 如上图所示：即为所求； （3） 【解析】 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图、坐标与图形、利用网格求三角形的面积等知识， （1）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （3）利用包含的梯形的面积减去周围小三角形的面积即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 21. 欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为100元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件． （1）如果每天要获得2400元的利润，并使顾客得到更大的优惠，问每件应降价多少元？ （2）由于库存原因，经理决定降价销售，经过两次降价后每件童装的售价为81元/件，每次降价的百分率相同，求降价的百分率 【答案】（1）每件应降价20元 （2）降价的百分率为 【解析】 【分析】（1）设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可出售件，利用服装店每天销售该品牌童装获得的总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要使顾客得到更大的优惠，即可求解； （2）设每次降价的百分率均为，利用经过两次降价后的价格原价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可出售件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要使顾客得到更大的优惠， ∴． 答：每件应降价20元． 【小问2详解】 设每次降价的百分率均为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：降价的百分率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：销售和平均变化率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分 22. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用组人数所占百分比乘以即可得出的值； （2）先求出组人数所占的比例，再乘以即可得解； （3）先求出组的男生人数，再画出树状图，即可求出概率． 【小问1详解】 解：本次抽测了名九年级学生， ； 【小问2详解】 解：组人数所占的比例为：， （人）， 故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有人； 【小问3详解】 解：组人数为（人）， ∵在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生， ∴抽取的优秀学生人数为（人）， ∵其中恰好有2名女生， ∴组的男生人数为：（人）， 画出树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种， 故恰好抽取一男一女的概率为． 23. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于点，与x轴交于C、D两点．点P是对称轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出的坐标，利用将军饮马模型，得到线段与对称轴的交点，即为点，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为． 将代入解析式得：，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：中， 令，得， ∴． 由抛物线对称性可知，点C与点D关于抛物线对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴连接交直线于点P，此时的值最小， 设直线解析式为， 将和坐标分别代入得， 解得， ∴， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD，BE， ∵点D为的中点， ∴， ∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠EBD， ∴ODBE， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∵ADCE，OD⊥CE， ∴AD⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）AC＝ 【解析】 【分析】（1）连接，，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到，进而得到，根据圆周角定理结合题意推出，即可判定AD是⊙O的切线； （2）根据平行线的性质得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的长，根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵DGCE， ∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB， ∵tan∠GDB＝2， ∴tan∠BFE＝2， 在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝， ∴BE＝6， ∵EF＝3，CF＝5， ∴CE＝EF+CF＝8， ∴BC＝， ∴OD＝OC＝5， 在Rt△BCE中，sin∠ECB＝， ∴sinA＝sin∠ECB＝， 在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5， ∴OA＝， ∴AC＝OA﹣OC＝． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 25. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=x2+x﹣5；(2)E点坐标为（﹣2，﹣5）；(3)存在满足条件的点P，其横坐标为或 ． 【解析】 【分析】（1）把A、B两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）当S△ABE=S△ABC时，可知E点和C点的纵坐标相同，可求得E点坐标；（3）在△CAE中，过E作ED⊥AC于点D，可求得ED和AD的长度，设出点P坐标，过P作PQ⊥x轴于点Q，由条件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标． 【详解】（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，，解得 ， ∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5； （2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方， ∴E点纵坐标和C点纵坐标相同， 当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去）， ∴E点坐标为（﹣2，﹣5）； （3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，m2+m﹣5）， 如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q， 则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|， 在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=，∠ACO=∠DCE=45°， 由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=， ∴AD=AC﹣DC=﹣=4， 当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA， ∴，即=， ∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m）， 当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去）， 当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去）， ∴存在满足条件的点P，其横坐标为或． 考点：二次函数综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $