第六章反比例函数 反比例函数与图形综合题型专题2024-2025学年北师大版数学九年级上册

反比例函数综合题 一、反比例函数新定义题型 1. 定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积在数值上相等，则这个点叫做和谐点。例如，图中过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成矩形的周长与面积在数值上相等，则点是和谐点。 判断点，是否为和谐点，并说明理由； 若和谐点在直线为常数上，求的值； 若和谐点在第一象限，且，都为整数，直接写出此点的坐标 2.定义：若实数，，，满足，为常数，，则在平面直角坐标系中，称点为点的“变点”例如，点是点的“变点”． ，两点中，点          是点的“变点”； 若点是双曲线上点的“变点”，求的值和点的坐标； 若点为点的“变点”，求与之间的关系式； 若点是点的“变点”当时，直接写出所有符合条件的的值． 3. 定义：对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为其中为常数，且，则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． 点的“属派生点”的坐标为________________； 若点的“属派生点”的坐标为，则、满足的条件为___________； 如图，点的坐标为，点在函数的图像上，且点是点的“属派生点”，设点的坐标为． 试求出与的关系式； 当线段最短时，请直接写出此时点坐标． 4. 定义：我们将自变量为的函数记作，若点和都在函数的图象上，则称点是点在函数作用下的传承点．如点是点在函数作用下的传承点． 求点在函数作用下的传承点的坐标； 直线与双曲线交于、两点，且是在这两个函数作用下的传承点，求直线与双曲线的解析式； 抛物线与直线交于抛物线对称轴两侧的、两点，点的横坐标为，且是在这两个函数作用下的传承点，抛物线的对称轴是直线，二次函数在、之间的最大值与最小值之差为，求点、的坐标． 5.我们常用的数是十进制数，如十进制数，可以写成，而计算机程序处理数据使用的是二进制数据，只有数码和，如二进制数，可以写成 即二进制数转化为十进制数按此方式，十进制数转化为二进制数是     ． 已知点在双曲线 上，点在直线上，且、两点关于轴对称，设点的坐标为，则  的值是        ． 二、反比例函数与图形综合题 1. 直线为常数与双曲线为常数相交于、两点． 若点的横坐标为，点的纵坐标为 直接写出：_____，_____； 点在第一象限内是双曲线的点，当时，求点的坐标； 将直线向右平移得到直线，交双曲线 于点和，直接写出不等式的解集：_____． 2. 如图，已知和是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于，轴于． 求一次函数和反比例函数表达式及的值； 求当为何取值时，？ 点是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接、． 求反比例函数解析式； 若四边形的面积为，求直线的一次函数表达式。 在的条件下，直接写出使一次函数值大于反比例函数值时的取值范围。 4. 如图，已知点和点是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． 求、的值； 将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，连接，求的面积； 结合图像直接写出不等式的解集． 5.如图，直线与反比例函数的图象交于、两点． 求直线和反比例函数的解析式； 根据图象，直接写出时，的取值范围； 如果是轴的一点，是轴上的一点，以、、、为顶点且以为一边的四边形是平行四边形，求直线的解析式。 6.如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，延长交反比例函数图象于点，连接． 求和的值； 求出点的坐标，并直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量的取值范围； 在轴上是否存在一点，使？若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 7.如图，直线与反比例函数的图象交于，两点． 求、的值； 如图，过作轴于，以为一边作矩形，使另一边交反比例函数的图象于点，当矩形的面积为时，请判断和的大小关系，并说明理由． 直接写出时的取值范围； 8. 如图，、是一次函数与反比例函数 图像的两个交点，轴于点，轴于点． 根据图像直接回答：在第二象限内，当取何值时， 求一次函数的表达式及的值               是线段上一点，连接、，若和面积相等，求点的坐标． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，顶点在第一象限内，在轴的正半轴上在的右侧，，，与关于所在的直线对称，且函数的图象过点． 当时，求的值； 如图，若点和点在同一个反比例函数图象上，求的长； 在的条件下，点与点关于原点成中心对称，轴上有一点，平面内有一点，若、、、四点构成的四边形是矩形，求点的坐标． 10.如图，的直角边在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，与边交于点，且其中点的横坐标为． 当，时，求点的坐标． 连接，并延长交轴负半轴与点，若求的值 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点做轴的垂线，垂足为，面积为． 求反比例函数的解析式； 在轴上求一点，使的值最大，并求出其最大值和点坐标． 连接，求三角形的面积． 12. 如图，在平面直角坐标系中有，，，、、． 将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式；在的条件下，轴上有点使得的值最小，求此最小值。 13.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴、轴分别交于点、过点作直线轴，过的中点作直线，分别交轴和直线于、． 求这两个函数的表达式； 求证：四边形是平行四边形； 设，当四边形是菱形时，求的值． 14.在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，，点是中点． 如图，双曲线过点，直接写出点的坐标和双曲线的解析式； 如图，将向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点当为等腰三角形时，求的值． 15.如图，在平面直角坐标系中，函数为常数，，的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点． 求的度数； 如图，连接、，当时，求此时的值； 如图，点，点分别在轴和轴正半轴上的动点再以、为邻边作矩形若点恰好在函数为常数，，的图象上，且四边形为平行四边形，求此时、的长度． 16.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． 求反比例函数的解析式； 将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求平移后直线的解析式． 17. 如图，过原点的直线与双曲线相交于、两点，点、在第三象限双曲线的图象上点在点上方，连接交轴于点，连接交轴于点。设点的横坐标为。 用含的代数式表示点的坐标； 求证：； 若，的面积为，求直线的表达式。 18.如图所示，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，且的面积为，点的坐标为． 求和的值． 若一次函数的图象经过点，交双曲线的另一支于点，交轴于点求的面积． 在轴上是否存在点，使得的面积为？如果存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19. 如图，直线分别交坐标轴交于、两点，与反比例函数的图象交于点． 求反比例函数的解析式； 如图，将直线沿轴平移与反比例函数交于点，使得，求平移后的直线解析式； 如图，在轴上取点，点为直线上的一动点，则轴上是否存在一点，使、、、四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点、的坐标；若不存在，请说明理由． 20.如图所示，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，过点作垂直轴于点，连接，若的面积为． 求、两点的坐标及的值； 轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$