27.2.3相似三角形应用举例 课时作业2024-2025学年人教版数学九年级下册

人教版九年级下册数学27.2.3相似三角形应用举例 课时作业 一、单选题 1．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆的高度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处，测得自己影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯的高度是（    ）    A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 3．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（    ） A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米 4．如图，将△ABC沿着过AP中点D的直线折叠，使点A落在B C边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1=1，则h2018的值为（　　） A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣ 5．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC=2米，CB=18米，则旗杆的高度是(    ) A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米 6．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为 A．0.6m B．1.2m C．1.3m D．1.4m 7．如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（　　）（根据光的反射原理，∠1＝∠2） A．18m B．15m C．20m D．16m 8．如图，小明利用光沿直线传播的知识，在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A．m B．m C．6m D．m 二、填空题 9．如图，小明在测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 ．    10．古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图尺，尺，问井深是多少？如图，设井深为尺，根据题意可列方程 ．（不需要化简）    11．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．    12．如图，小明利用标杆测量旗杆的高度，小明的眼睛与地面的距离，标杆，，，则旗杆的高度是 ． 13．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是 毫米． 三、解答题 14．如图，身高的小王晚上在灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部点向东走20步到点处，发现自己的影子端点落在点处，作记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点处，此时影子的端点在点处，已知小王和路灯的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．计算路灯的高，并求影长合计为多少步．    15．如图四边形是用根相同的火柴棒首尾顺次相接围成的梯形，设火柴棒的长度为，延长、交于，若这根火柴全部保持原位置不动，在、处能否再添加几根与前面完全相同的火柴棒，使添加的火柴棒在全部用完且不可折的条件下刚好首尾相接拼成？若不能拼成，请求出梯形的面积；若能拼成，请求出所添加的火柴棒的总根数，并求出和的面积比． 16．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动时间．那么： 当为何值时，为等腰直角三角形？ 当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 17．如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求此树CD的高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A C D B B 1．C 【分析】作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可． 【详解】解：作交FC于点G，如图所示： ，，交FC于点G， ， ，，，， ∴四边形ABDH、ABCG是矩形， ，， ，，，， ，， ， ， 解得：， 答：旗杆的高ED是米， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键． 2．B 【分析】设米，米，先根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】设米，米， 则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， 解得， 经检验，是所列分式方程组的解， 则米， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 3．D 【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB. 【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D ∴△ADEF∽△DCB ∴ ∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m ∴解得：BC=4 ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米 故答案为5.5. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 4．A 【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2-1=1，同理h2=2-，h3=2-=2- ，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hn=2-，据此可得答案． 【详解】解：连接AA1． 由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1， 又∵D是AB中点， ∴DA=DB， ∴DB=DA1， ∴∠BA1D=∠B， ∴∠ADA1=2∠B， 又∵∠ADA1=2∠ADE， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC， ∴AA1⊥BC， ∴AA1=2， ∴h1=2-1=1， 同理，h2=2-，h3=2-=2- ， … ∴经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hn=2-， ∴h2018=2-. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键． 5．C 【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可． 【详解】设旗杆高度为h，由题意得：=，解得：h=16（米）． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 6．D 【详解】解：如图， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴h=1.4m， 经检验：h=1.4是原方程的根． 故选：D． 7．B 【分析】利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出AB． 【详解】由镜面对称可知：△CDE∽△ABE， ∴， ∴， ∴AB=15米． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，运用镜面对称性质，得到三角形相似，再由相似比三角形对应边成比例得出最后结果，比较简单． 8．B 【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得，即，代入数据可得答案．本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【详解】解：根据题意，作，树高为，且，，； ，， ， ∴， ，即， 解得． 故选：B． 9．8m/8米 【分析】根据题意，画出示意图，易得∽，进而可得，即，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作；    树高为，且，，， ，， ， 又， ∽， ； 即， 代入数据可得， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是通过投影的知识结合三角形的相似的知识正确进行计算． 10． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】根据题意可知尺， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 11． 【分析】根据题意，画出示意图，易得，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意作出示意图，则，，，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握用相似三角形的相似比求物体高度是解题关键．先求出，，再根据，得到，即可得到旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 由题意得，，， ∴四边形是矩形四边形是矩形，四边形是矩形是矩形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13． 【详解】分析：利用相似三角形性质：相似三角形的对应边的比相等，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可． 详解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴CD：CA=DE：AB， ∴20：60=DE：10， ∴DE=（毫米）， ∴小管口径DE的长是毫米. 点睛：本题考查了相似三角形的实际应用.借助相似三角形的性质，即相似三角形的对应边的比相等来建立方程是解题的关键. 14．路灯的高为，影长合计为步 【分析】设步，则步，证明得到，由此代值计算即可得到答案． 【详解】解：设步，则步 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴路灯的高为，影长合计为步．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 15．能添加的，共要添加根火柴棒．这时面积的比为． 【分析】根据线段AB平行于线段CD得到相似三角形，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】能添加的． 在梯形中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴共要添加根火柴棒， 这时面积的比为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 16． ；当经过秒或秒时，与相似． 【分析】（1）根据题意得出，，，由于为等腰直角三角形，则，求出t的值即可； （2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】∵厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点向点以厘米/秒的速度移动， ∴，，， 当为等腰直角三角形即，解得； 两种情况： 当时，即，解得（秒）； 当时，即，解得（秒）． 故当经过秒或秒时，与相似． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 17．此树高为14米． 【分析】由B∥CD，得△ABE∽△ADC，，故． 【详解】解：∵CD⊥AD，EB⊥AD， ∴EB∥CD. ∴△ABE∽△ADC． ∴ ． ∵EB=2，AB=3，AD=21， ∴． ∴CD=14．     答：此树高为14米． 【点睛】相似三角形的判定应用. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$