27.2.1相似三角形的判定 课时作业2024-2025学年人教版数学 九年级下册

人教版九年级下册数学27.2.1相似三角形的判定 课时作业 一、单选题 1．如图，是的边上的一点，在直线上找一点，使得与相似，则满足这样条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 2．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是(     ) A．∠B＝∠DAC B．∠BAC＝∠ADC C．AC2＝DC·BC D．AD2＝BD·BC 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（   ） A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D． 4．下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（    ） A．∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE B．∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80° C．∠A＝∠D＝50°，AB＝3 ，AC＝5 ，DE＝6 ，DF＝10 D．∠B＝∠E＝70°，AB：DE＝AC：DF 5．如图所示，直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若=，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(　　) A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=，连接AD，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F 分别垂足．并且AC=2AB，则DE:DF=（  ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D．3:2 8．如图，在△ABC与△ADE中，，添加下列条件，不能得到△ABC与△ADE相似的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是 ． 10．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为 ． 11．如图，在直角坐标系中点的坐标为（1，0），过点作x轴的垂线交直线y=2x于，过点作直线y=2x的垂线交x轴于，过点作x轴的垂线交直线y=2x于…，依此规律，则的坐标为 . 12．如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两和交叉构成的.如果螺丝钉点的位置使，那么，当两点间距离为5时，两点间的距离为 13．如图所示，添加一个条件 ，△ADB ∽△ABC． 三、解答题 14．如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 15．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD．    16．如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）． （1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积； （2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长； （3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 17．关于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为和，求m的值； （3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图像上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成： ①BG·AE＝___________； ②求∠EOG的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D D D D A D 1．D 【分析】根据有两个对应角相等的三角形相似作图即可．和中，有公共角，因此只要作或，即可得出两三角形相似． 【详解】解：情况（1）：如图，当时， 根据题意得：当时，； 当时，由，可得． 所以当时，满足这条件的点有2个． 情况（2）：当时，情况（1）中两点重合，此时满足这条件的点只有1个． 综上所述：使得与相似，则满足这样条件的点有1个或2个． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定． ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 2．D 【分析】已知有公共角∠C，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似． 【详解】已知△ABC和△DCA中,∠ACD=∠BCA;如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有： ①或； ②即 故选D. 【点睛】考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键. 3．D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意； B、∠AED=∠C，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意； C、，即，且夹角∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意； D、，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 4．D 【解析】略 5．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和比例的性质，掌握相关的知识是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，利用比例的性质求的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 6．D 【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即，故选D． 7．A 【详解】解：过B作BG∥AC交AD延长线于G．∵BG∥AC，∴△BDG∽△CDA，∴BD：CD=BG：AC，BD=BC，∴BD：CD=1：2，∴AC=2BG，∵AC=2AB，∴BG=AB，∴∠BAG=∠G．∵BG∥AC，∴∠G=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴DF=DE，∴DE：DF=1：1．故选A． 点睛：解答此题的关键是得出AD为∠BAC的平分线．由AC=2AB，DC=2BD，容易联想到角平分线性质，然后加以证明． 8．D 【详解】解：∵∠B=∠D，∠E=∠C，∴△ABC∽△ADE，故A正确； ∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故B正确； ∵，∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故C正确； 若，则需要∠E=∠C，才能得到△ABC∽△ADE，故D错误． 故选D． 9．3 【分析】先利用勾股定理计算出，，，，，，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF与△ABC是否相似. 【详解】解：AB=1，，，CD=1，，DE=2，，，FH=2，，，BG=5， ∵=，=，=， ∴△CDB与△ABC不相似； ∵=2，，， ∴△DEB∽△ABC； ∵=，，， ∴△FBG∽△ABC； ∵=，，， ∴△HGF∽△ABC； ∵，，， ∴△EKF与△ABC不相似. 故答案为3. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理. 相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 10．4 【详解】试题分析：解：连接BC， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝6， ∵BD切⊙O于点B， ∴∠DBA＝90°， ∴∠ABC＋∠DBC＝90°， ∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBC， 又∠ACB＝∠BCD＝90°， ∴△ACB∽△BCD， ∴， ∴DC＝＝＝4.5． 故答案为4.5． 点睛：此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合应用，题目有一定的综合性，找出其中的相似三角形是解决此题的关键． 11． 【详解】分析： 分析、观察图形可知点A2n(n为正整数)，在直线y=2x上，计算出点A2、A4、A6的坐标，并分析其中的规律，即可求得A2018的坐标. 详解： 观察图形可知，当n为偶数时，点An在直线y=2x上， ∵A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线y=2x于A2， ∴y=2×1=2， ∴A1A2=2， ∴A2的坐标为（1，2）； 由A2A3垂直于直线y=2x，可得△OA1A2∽△A2A3A1， ∴，即， 解得：=4， ∴OA3=1+4=5， ∵A3A4⊥x轴，交直线y=2x于点A4， ∴A3A4=2×5=10， ∴A4的坐标为（5，10）； 同理可得：A6的坐标为（25，50），A8的坐标为（125，250），，A2n， ∴点A2018的坐标为. 故答案为. 点睛：根据题意，结合图形，计算出点A2、A4、A6、A8的坐标，分析出其中的规律，是解答本题的关键. 12． 【分析】根据，∠AOB=∠COD可证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质即可得答案. 【详解】∵， ∴= ， 又∵∠AOB=∠COD， ∴△COD∽△BOA， ∴=， ∵AB=5， ∴CD=. 故答案为 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可. 13．∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或） 【分析】根据两个三角形有公共角，添加条件即可． 【详解】解：∵∠A=∠A． ∴添加∠ABD=∠ACB 或∠ADB=∠ABC，利用两个角相等的两个三角形相似可判定； 添加，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定； 故答案是：∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是明确相似三角形的判定定理，准确添加条件． 14．见解析 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴． 15．见解析 【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可． 【详解】证明：∵PC＝PD＝CD， ∴为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴, ∵∠A＝∠BPD， ∴△PAC∽△PBD． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似． 16．（1）16（2）当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或（3）（0＜x＜4.1） 【详解】试题分析:(1) 过C作CH⊥AB与H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四边形ADCH为矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2, 所以CD=AH=5-2=3, 则四边形ABCD的面积=, (2) 由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,当△ABE∽△EBC时, ∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2. ∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,由∠ABE=∠EBC, ∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°, 所以,即,解得, (3) 延长BE交CD延长线于M,因为AB∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB, 在△BCH中,由勾股定理可得:, 则DM=CM-CD=,又因为DM∥AB,可得,即, 即可得到:. 试题解析:（1）过C作CH⊥AB与H, 由∠A=90°,DP∥AB,得四边形ADCH为矩形, 在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2, 所以CD=AH=5-2=3, 则四边形ABCD的面积=, （2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC, 当△ABE∽△EBC时, ∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5, 于是在△BCH中,BH=, 所以CD=AH=5-3=2. ∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T, 由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT, 且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD. 令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°, 所以,即,解得, 综上,当△ABE∽△EBC时,线段CD的长为2或. （3）延长BE交CD延长线于M, 由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB, 在△BCH中,, 则DM=CM-CD=, 又DM∥AB,得,即, 解得. 17．（1）k≥-1且k≠2；（2）m=4；（3）①1；②∠EOG=45°． 【分析】（1）先解方程①，根据方程①的根为非负数及一元二次方程的定义即可得答案； （2）由（1）可知k≥-1，根据k为最小整数可知k=-1，可得方程②为，利用一元二次方程根与系数的关系即可得答案； （3）①根据（2）可得直线AB和双曲线的解析式，根据题意作出图形，过点E作EP⊥x轴于P，过G作GQ⊥y轴于Q，设点C坐标为（t，），由直线AB解析式可得A、B两点坐标，可得△AOB是等腰直角三角形，进而可得△BQG和△EPA是等腰直角三角形，可得BG=QG，AE=PE，即可得答案； ②如图，连接OE、OG，由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，可得，即可证明△BOG∽△AEO，可得∠OGB=∠EOA，根据外角性质及角的和差关系可得∠EOG=∠OAB=45°． 【详解】（1）∵， ∴x=， ∵方程的根为非负数，方程是一元二次方程， ∴≥0，2-k≠0， 解得：k≥-1且k≠2． （2）由（1）可知k≥-1， ∵k为最小整数， ∴k=-1， ∴方程②为， ∵方程②有两根分别为和， ∴+()=，即-m=-4， 解得：m=4． （3）①根据题意补全图形如下，过点E作EP⊥x轴于P，过G作GQ⊥y轴于Q，由（2）可知k=-1，m=4， ∴直线AB解析式为y=-x+1，双曲线的解析式为， ∵直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A（1，0），B（0，1）， ∴OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵EP⊥x轴，GQ⊥y轴， ∴△BQG和△EPA是等腰直角三角形， ∴BG=GQ，AE=PE， ∵CD⊥y轴，CF⊥x轴， ∴GQ=CD，PE=CF， 设点C坐标为（t，），则CD=t，CF=， ∴BG·AE=t×·=1． ②如图，连接OE、OG， 由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°， ∴BG=， ∴， ∴△BOG∽△AEO， ∴∠OGB=∠EOA， ∵∠OGB=∠GOA+∠OAB，∠EOA=∠EOG+∠GOA， ∴∠EOG=∠OAB=45°． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根与系数的关系；等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边成比例，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么x1+x2=，x1x2=；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$