27.1图形的相似 课时作业2024-2025学年人教版数学 九年级下册

人教版九年级下册数学27.1图形的相似 课时作业 一、单选题 1．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，，若，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．在中，点，分别在边，上，，那么下列条件中能够判断的是( ) A． B． C． D． 6．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（  ） A． B． C． D． 7．以下四组线段，成比例的是(   ) A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，， ， D．5，6，7，8 8．是的高，为的中点，，如果，那么等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，，则 10．如图，点分别在的边上，且，若，则的长为 ． 11．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于10厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．（保留根号）． 12．如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果，，，那么 ． 13．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a =9cm，b=4cm，则线段c= . 三、解答题 14．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴交于另一点A，点P在线段上，不与B、C重合． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的横坐标： (3)在平面内找到点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点P的坐标； (4)点C关于x轴的对称点为点D，连接，取的中点G，连接，的最小值是 ． 15．“？”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅． 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” 结果为何正确呢？ (1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： (2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，ABA′B′，ADA′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由． 16．如图，在线段上有一点，若，则称点为的黄金分割点，现已知，点是线段的黄金分割点，求的长. 17．如图，在等边△ABC中，点E在边AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接CE，以点E为顶点、CE为腰作等腰△ECD，使其底边CD落在射线CB上． 求证：△DEB≌△ECF． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C D B C A 1．B 【分析】根据比例的性质即可得． 【详解】， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 2．C 【分析】直接利用已知表示出x，y的值，进而代入计算得出答案． 【详解】∵， ∴设x=5a，y=2a， ∴=． 故选C． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 3．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，得到， 变形得到即，解答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 4．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出AE，进而求出AC． 【详解】解：∵DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2， ∴，即， 解得，AE=6， ∴AC=AE+EC=8， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 5．D 【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【详解】如图， 可假设DE∥BC，则可得，， 但若只有，并不能得出线段DE∥BC． 故选D． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 6．B 【详解】如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似.根据相似图形的定义可得只有选项B中的两个图形是相似图形，故选B. 7．C 【分析】根据比例的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，，∴，符合题意； D．，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了成比例线段，解题的关键是掌握成比例线段含义．如果四条线段满足，则四条线段称为比例线段． 8．A 【分析】根据已知条件易证EF∥AD，再由E为AB的中点，可得BF=DF=BD，又因DC=BD，可得FC=BD，即可求得FC：BF的值. 【详解】∵AD是△ABC的高，EF⊥BC， ∴EF∥AD， ∵E为AB的中点， ∴BF=DF=BD， ∵DC=BD， ∴FC=FD+CD=BD， ∴FC：BF= BD：BD=． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 9． 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得出，，从而得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解． 【详解】∵DE∥BC， ∴ 设，则， ∴ 解得：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是关键． 11．. 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【详解】解：设相邻一条边的边长为x厘米， 由题意得：， 解得：， 故答案为 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 12． 【分析】由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得,又由AC＝3，CE＝5，DF＝4，即可求得BD的长. 【详解】解：由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理, 即可得, 又由AC＝3，CE＝5，DF＝4 可得： 解得：BD=. 故答案为. 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用. 13．6cm 【分析】根据比例中项的性质，列出比例式即可得出线段的长度. 【详解】∵是、的比例中项， ∴， 解得：或(线段为正数，舍去) 故答案为. 【点睛】本题考查比例中项的概念.当两个比例内项相同时，就叫比例中项，注意线段不能是负数. 14．(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）先求出，，然后代入求解即可； （2）设，则，．然后分点M在对称轴的右边和点M在对称轴的左边两种情况求解； （3）分三种情况求解：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时； （4）由点G是的中点，可得，取中点E，连接并延长交于点F，可证点G在上运动，作点A关于的对称点，则在上，连接，则，可知当，G，D共线时，取得最小值，即取得最小值．求出即可求解． 【详解】（1）对于， 当时，， 当时，，， ∴，，代入， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ． ∵， ∴对称轴是直线． 如图，当点M在对称轴的右边时，， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）． 如图，当点M在对称轴的左边时，， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）． ∴点P的横坐标为或； （3）设， ①当为对角线时，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当为对角线时，则， ∴， ∴， ∴． ③当为对角线时，则， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 综上可知，点P的坐标为； （4）∵点G是的中点， ∵， ∴． 取中点E，连接并延长交于点F， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴点G在上运动， 作点A关于的对称点，则在上，连接，则， ∴，， ∴， ∴当，G，D共线时，取得最小值，即取得最小值． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及二次函数与几何综合，难度较大，属中考压轴题． 15．(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可． （2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym，则长为2ym． 则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m． ∵， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1． （2）．理由如下： 要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即， 即 ， 解得：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质． 16． 【分析】根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，代入数据即可得出的值． 【详解】解：为线段的黄金分割点，且，为较长线段， 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中是需要熟记的内容． 17．详见解析. 【分析】根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵EF∥BC，AB=AC=BC， ∴，∠FEC=∠ECD 即得：AE=AF=EF， ∴△AEF是等边三角形 ∵ED=EC， ∴∠D=∠ECD， ∴∠D=∠FEC ∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°， ∴∠DBE=∠EFC=120°， ∴△DEB≌△ECF（AAS）． 【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS证明△DEB≌△ECF． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$