精品解析：山东省淄博市淄博实验中学、齐盛高级中学2024-2025学年高一上学期第一次模块（期中）考试数学试卷

淄博实验中学、淄博齐盛高级中学高一年级第一学期第一次模块考试 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 5. 设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A B. C. D. 6. 若函数有零点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 若不等式恒成立，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下运算中正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 10. 已知函数则（ ） A. B. 的值域是 C. 有唯一零点 D. 若当时，，则的最大值是 11. 对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 对于任意的，不等式恒成立 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则的最小值为__________． 13. 已知是奇函数，当时，，则__________． 14. 已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合， （1）若，求实数的取值范围． （2）若是成立的必要条件，求实数的取值范围； 16. （1）已知二次函数．当时，求的最小值； （2）解关于的不等式：． 17. “宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； （2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 18. 已知函数为定义在区间上的奇函数，且． （1）求函数的解析式： （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学、淄博齐盛高级中学高一年级第一学期第一次模块考试 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合，再根据集合的交集运算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：B. 2. 若命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题求解. 【详解】命题，，则：，. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为等价于； 等价于，等价于， 显然可以推出；不可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 5. 设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为0、分母不为0可得到答案. 【详解】要使有意义， 只需，即， 解得或， 则函数的定义域为. 故选：B. 6. 若函数有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题目转化为函数与的图象有交点，再作出函数图象即可得到实数的范围. 【详解】函数有零点，即函数与的图象有交点， 作出与的大致图象如图所示， 由图可知，故实数的取值范围是. 故选：A 7. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数的单调性化简，转化为一元二次不等式恒成立，列出不等式，即可得到结果. 【详解】不等式恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 所以，即， 解得，所以实数a的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围. 【详解】由于，所以的定义域为， 所以， ， ， 所以是奇函数， 由于在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由得， 即， 所以， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根据或来确定函数的奇偶性.求解含有函数符号的不等式时，可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下运算中正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC． 10. 已知函数则（ ） A. B. 值域是 C. 有唯一零点 D. 若当时，，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入求值可判断A；数形结合可判断B,C；对于D项，分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定、的取值范围，由此可得结果． 【详解】对于A，，则，故A对； 对于B，由图知，，故B错； 对于C，由图知，有唯一零点，故C对； 对于D，令，解得； 令，解得， 由图象可知：,，， 所以，故D对． 故选：ACD． 11. 对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 对于任意的，不等式恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求的范围，再结合“取整函数”的定义，即可求解，即可判断A，解一元二次不等式，再结合定义，即可判断B，根据对数函数的取值特征，确定的值，即可判断C，根据不等式，，结合取值函数的定义，即可判断D. 【详解】A.，由，有，则， 得，所以，故A正确； B.不等我，解得：，即，得，故B错误； C.时，当，，， 当，，， 当，，， ，故C正确； D.对于任意的，，， 不等式，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，从而转化为函数或不等式的问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用1的妙用，由基本不等式求和的最小值. 【详解】已知，且， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 13. 已知是奇函数，当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性以及对数运算将化为，然后根据条件可求结果. 【详解】因为是奇函数，所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为， 则， 对于，则，可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路， (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合， （1）若，求实数的取值范围． （2）若是成立的必要条件，求实数的取值范围； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求解出一元二次不等式的解集表示出，然后根据交集运算结果列出不等式，由此可求结果； （2）先将问题转化为，然后列出不等式组求解出的范围即可. 【小问1详解】 因为，解得，所以， 且恒成立，所以， 若，则或，解得或， 所以的取值范围是或. 小问2详解】 若是成立的必要条件，所以， 则，解得， 所以的取值范围是. 16. （1）已知二次函数．当时，求的最小值； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象的对称轴与区间的关系分类求出最小值. （2）按分类解含有参数的不等式. 【详解】（1）当时，在上单调递增，则； 当，即时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以． （2）当时，不等式， 当时，原不等式为，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，不等式化为，解得或， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. “宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； （2）当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 【答案】（1），，最符合实际的函数模型为 （2） 【解析】 【分析】（1）分别将代入两个函数模型，由此可求函数解析式中的参数，则解析式可知，再根据时的数据判断最符合实际的模型； （2）分别考虑和时的解集，由此可求投资成本的范围. 【小问1详解】 若选函数， 将点，代入可得，解得，， 所以， 当时，可得，与实际数据差别较大； 若选函数， 将点，代入可得，解得，， 所以， 当时，可得，符合题意， 因此，最符合实际的函数模型为． 【小问2详解】 ①当时，即， 可得，解得，所以； ②当时，即，即， 因为，所以； 综上可得，， 所以要获得不少于一千万的利润，投资成本（百万）的范围是． 18. 已知函数为定义在区间上的奇函数，且． （1）求函数的解析式： （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在是增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用，，求得，的值，即可得函数解析式； （2）利用定义法判断出在区间上的单调性； （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围． 【小问1详解】 依题意函数是定义在上的奇函数，所以， ，解得， 所以，经检验，该函数为奇函数； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取，，使得， 则， 因，所以，，所以， 即，所以， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数，， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数，，， 综上可知：．即实数的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）得到不等式，结合函数单调性得到不等式，求出答案； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案 ②根据①得到，，且满足，即，计算出， 又，代入后求出. 【小问1详解】 由可得，所以， 即，解得． 【小问2详解】 ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增， 其中，当时，， 结合图像可知； ②由①可知，所以，， 且满足，，即． ， ， 又， 所以 ， 因为，所以，， 故． 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $