5.5 一元一次方程的应用 学案 2024—2025学年浙教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用学习目标 学习目标： 1.学生能够理解并掌握销售和容斥问题中涉及的数量关系，准确列出一元一次方程； 2.培养学生运用方程解决实际销售和容斥问题的能力，提高解题的准确性和效率； 3.激发学生对数学在实际生活中应用的兴趣，增强应用数学知识解决问题的意识。 核心素养目标： 1. 分析问题能力：能从复杂的销售与容斥情境中提取关键信息，构建方程模型。 2. 数学建模能力：熟练运用一元一次方程解决实际的销售和容斥问题。 3. 思维拓展能力：通过不同类型的题目，培养创新和灵活的解题思维。 学习重点：掌握销售和容斥问题中的数量关系，列出方程。 学习难点：分析复杂情境，找准等量关系。 预习自测 一、知识链接 1.相等关系:①利润=售价-________； ②利润率=________×100%; ③售价=进价×(1+________)。 2.打折:n折就是标价的_______,如7折就是标价的(或_______),其中n叫折数，实际售价=标价×_______. 3.我国公民个人所得税按分段累进税制计算;为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、燃气费实行分段收费标准;解决这些分段问题的关键是理顺________与________的关系:①________________=总费用；②每一段的计费标准________。 4.本金×_______×期数=_______;(若未特别说明,银行定期存款的利率是指年利率,期数是年数) 5.本金+利息=_______;本息和=本金×(1+利率×_______). 6.容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑_______的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目_______出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为_______。 二、自学自测 1.一件衣服的进价为390元，标价为600元，按标价打折销售后，获得5%的毛利率。这件衣服是打几折销售的？ 2.小红按八折的价格买了一件羊毛衫，付款320元。问：这件羊毛衫的原价是多少元？ 课堂探究 一、创设情境、导入新课 某商场在国庆节期间，开展商品促销活动.该商场将某型号的电脑按进价提高50%后，以打8折再送50元路费的方式销售，每台电脑仍获利350元，问每台电脑的进价是多少元? 二、合作交流、新知探究 探究一：引入概念 “双11”期间，各个电商平台、网络店铺都展开了促销活动，小黄是一家服装网店的店主，为了吸引顾客搭配了的一套套装进行促销，上衣是裤子进价两倍，其中上衣标价1240 元，裤子标价560元，商家盘算着如果按自己的促销活动买一套打八折还能赚20%请问上衣的进价是多少? 思考：销售问题应如何作解？ 销售问题： (1)相等关系:①利润=售价-进价,②利润率=×100%;③售价=进价×(1+利润率) (2)打折:n折就是标价的,如7折就是标价的(或70%),其中n叫折数，实际售价=标价×. 分段计费问题常见类型: 我国公民个人所得税按分段累进税制计算;为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、燃气费实行分段收费标准;解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系:①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 利息问题： (1)本金×利率×期数=利息;(若未特别说明,银行定期存款的利率是指年利率,期数是年数) (2)本金+利息=本息和;本息和=本金×(1+利率×期数). 容斥原理: 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 【强调】：用一元一次方程解决实际问题时，可以先用文字表述数量关系，再将其中的一个未知量设为未知数，把其他的未知量用含该未知数的代数式表示， 根据相等关系列出方程。 探究二：例题讲解 教材第151页 ▶例7 某商店一款无线耳机按进价提高30%后标价，再优惠15元销售，能获得20%的毛利率(毛利率＝ ) 。销售一副该款耳机所得毛利润为多少元？ ▶例8 七年级二班有 45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人。问：参加书画社的有多少人？ 想一想：哪一部分的面积表示只参加文学社的数？ 课堂练习 【例1】家乐福超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打八折销售后每件可获利2元设该商品每件的进价为x元，根据题意可列出的一元一次方程为( ) A.12×0.8-x=2 B.12-x×0.8=2 C.(12-x)×0.8=2 D.12-x=2×0.8 【例2】电视台向100人调查昨天收看电视状况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问:两个频道都没看过的有多少人? 【例3】小杰妈妈去银行存款,银行一年定期储蓄的年利率是1.5%,两年后取出的本息和为61800元。设小杰妈妈存入银行的本金为x元，那么下列方程正确的是（ ） A.1.5%x×2-61800 B.x+1.5%x×2=61800 C.x(1+1.5%)×2=61800 D.(1+1.5%x)×2=61800 【例4】某校开展丰富多彩的社团活动,每位同学可报名参加1~2个社团,现有25位同学报名参加了书法社或摄影社,已知参加摄影社的人数比参加书法社的人数多5,两个社团都参加的同学有12人.设参加书法社的同学有x人,则可得方程（ ） A.x+(x-5)=25 B.x+(x+5)+12=25 C.x+(x+5)-12=25 D.x+(x+5)-24=25 【选做】5.某学校女生人数是全体学生人数的52%,女生人数比男生人数多80,则这个学校有学生_______人。 【选做】6.某校六年级(1)班有60人,其中参加数学小组的人数占全班总人数的,参加英语小组的人数是参加数学小组人数的,并且两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2,则同时参加两个小组的人数是_______。 课堂总结 知识点1 销售问题： (1)相等关系:①利润=售价-进价,②利润率=×100%;③售价=进价×(1+利润率) (2)打折:n折就是标价的,如7折就是标价的(或70%),其中n叫折数，实际售价=标价×. 知识点2 分段计费问题常见类型: 我国公民个人所得税按分段累进税制计算;为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、燃气费实行分段收费标准;解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系:①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 知识点3 利息问题： (1)本金×利率×期数=利息;(若未特别说明,银行定期存款的利率是指年利率,期数是年数) (2)本金+利息=本息和;本息和=本金×(1+利率×期数). 知识点4 容斥原理: 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 作业布置 必做题： 1.47名学生参与了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。问:两门都得100分的有多少人? 2.某同学把积攒的零用钱1000元存入银行，月利率是0.24%，如果到期后他连本带利可取回1024元，那么他一共存了几个月？ 3.某商场出售茶壶和茶杯，茶壶每只15元，茶杯每只3元，商店规定购一只茶壶赠一只茶杯，某人共付款171元，得茶壶、茶杯共30只(含赠品在内)，则此人购得茶壶多少只? 解:设购得茶壶x只，则需茶杯(30-x)只，根据题意，列出方程为_____________________。 选做题： 4.某种商品的进价为100元，出售标价为150元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 5.某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售。请你帮商场计算一下: (1)降价前每件衬衫的利润率为多少? (2)每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标? 【拓展题】平价商场经销甲乙两种商品,甲种商品每件售价98元,利润率为40%;乙种商品每件进价80元,售价128元。 (1)甲种商品每件进价为_______元,每件乙种商品利润率为_______。(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件总进价恰好为3800元,求购进甲、乙两种商品各多少件. (3)在元旦期间,该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动: 若小华一次性购买乙种商品实际付款 576元求小华在该商场购买乙种商品多少件. 参考答案 【预习自测】 1.解：毛利润=实际售价-进价 设实际售价为x，得x=390×5%，解得x=19.5， =68.25%。 答：所以衣服是打六八折出售的。 2.解：设羊毛衫的原价是x元， 得80%x=320，解得x=400 答：羊毛衫的原价是400. 【作业布置】 必做 1.【解析】至少一门得100分的有x人:26+x=47(人)，解得x=21，设两门都得100分的有y个，12+17+y=21(人)，解得y=8，所以两门都得100分的有8人. 2.【解析】设他共存了x个月 依题意，得:1000+1000×0.24%x=1024， 得:2.4x=24 解得x=10 那么他一共存了10个月。 3【解析】设买茶壶x只，需茶杯(30-x)只，依题意得:15x+3(30-2x)=171 4.【答案】C 【解析】解答：设最多可打x折， 根据题意得： ， 整理得：15x－100＝20， 解得：x＝8， 则最多打8折． 故选C． 5.【解析】(1)(120-80)÷80×100%=40÷80×100%=50%. 故降价前每件衬衫的利润率为50%. (2)设每件衬衫降价x元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45% 的预期目标.根据题意,得120×400+(120-x)×(500-400)-80×500=80×500×45%,解得x=20. 答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标。 拓展 【解析】 (1)设甲种商品每件进价为a元,则98-a=40%a,解得a=70.即甲种商品每件进价为70元。x100%=60%,即每件乙种商品利润率为60%.故答案为70,60%。 (2)设该商场购进甲种商品x件,则购进乙商品(50-x)件,根据题意可得70x+80(50-x)=3800,解得x=20,则50-20=30(件).故该商场购进甲种商品20件,乙种商品30件。 (3)设小华在该商场购买乙种商品b件，根据题意,得 ①当购物总额超过480元,但不超过680元时,480+(128b-480)×0.6=576,解得b=5. ②当购物总额超过680元时,128b×0.75=576,解得b=6。 故小华在该商场购买乙种商品5件或6件。 学科网（北京）股份有限公司 $$