新高考常考的双曲线结论（1）-2025届高三数学一轮复习

新高考爱考的双曲线结论1 一、标准方程（第一定义） 【第1定义】平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹，叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 【注意】若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。 设为双曲线上的任意一点, 若点在双曲线右支上,则； 若在双曲线的左支上,则； 因此得. 标准方程 图形 范围 ， ， 焦点 ， ， 顶点 ， ， 对称性 对称轴：轴、轴，对称中心：原点 实轴与虚轴 线段称为实轴，，叫做实半轴长 线段称为虚轴，，叫做虚半轴长 离心率 ，，越大，双曲线的开口就越开阔 渐近线方程 焦点三角形 为双曲线上一点，称为焦点三角形，，则 【注意】可以看出, ①如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上；如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上. ②标准方程中的三个量满足 ③方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴上或在轴上两种情形.若将方程变形为,则当，时,方程为，它表示焦点在轴上的双曲线,此时；当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。 因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法. 二、第二定义5结论 新人教A版高中数学选择性必修一P116及P125例5分别给出了椭圆和双曲线的第二定义．圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹）是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能． 【第2定义】圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：在平面内到定点的距离与到定直线（定点不在直线上）的距离之比是常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为抛物线．其中定点是曲线的焦点，定直线是焦点对应的准线，e是离心率． 注：圆锥曲线上任意一点与焦点之间所连线段叫做焦半径；过圆锥曲线焦点的直线被曲线所截得的线段叫做焦点弦． 约定：接下来提到的e为离心率，为直线的倾斜角，p为焦准距（焦点到准线的距离．其中，焦点在x轴的椭圆和双曲线的准线为，抛物线的准线为，焦点在y轴的椭圆和双曲线的准线为，抛物线的准线为． 下面给出圆锥曲线有关焦半径、焦点弦的几个重要结论． 【结论1】焦半径公式 1．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是左焦点、双曲线是右焦点），AB为过焦点的弦，其中A在x轴上方，B在x轴下方，则，． 开口向右的抛物线中，如图1，只需令即可，，． 图1 图2 注意：如果与双曲线交于不同两支，如图2，，，这也是为什么在前面及后面的公式中加绝对值的原因． 2．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是右焦点，如图3；双曲线是左焦点），AB为过焦点的弦，其中A在x轴上方，B在x轴下方，则，． 开口向左的抛物线中，如图4，只需令即可，，． 图3 图4 图5 图6 3．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是上焦点，如图5；双曲线是下焦点），AB为过焦点的弦，其中A在y轴右方，B在y轴左方，则，． 开口向下的抛物线中，如图6，只需令即可，，． 4．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是下焦点，如图7；双曲线是上焦点），AB为过焦点的弦，其中A在y轴右方，B在y轴左方，则，． 开口向上的抛物线中，如图8，只需令即可，，． 图7 图8 图9 注意：公式较多，如何记忆，理解本质，其实不难．首先，焦点在x轴，三角是余弦，焦点在y轴，三角是正弦，其次，分母的加减号，不妨设倾斜角是锐角，较长的焦半径分母较小，中间是“－”，较短的焦半径分母较大，中间是“＋”，通过图像判断长短，再灵活运用即可．在高考中，焦点位于y轴较少考到． 证明：只证明第一个，同理可证其余的公式． 证法1：如图9，根据第二定义，，令，， ，， ．（关注微信公众号：Hi数学派） 证法2：（在高考大题中，采用余弦定理加以证明后使用，一定给分） 设，则点A到右焦点的距离，，，． 【结论2】焦点弦长公式 焦点在x轴的焦点弦的长度，特别的，抛物线的焦点弦，只需要令，； 焦点在y轴的焦点弦的长度，特别的，抛物线的焦点弦，只需要令，． 此公式也解释了，为什么所有焦点弦中，通径最短． 证明：． 【评注】即使与双曲线交于不同两支，结论依旧成立． 【结论3】 焦半径的倒数之和为定值（与双曲线交于两支除外） 抛物线中，只需要令，． 证明：． 【结论4】 椭圆互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值； 双曲线互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值． 证明：在椭圆中． 【结论5】 焦点在x轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为，斜率为，，则曲线C的离心率e满足等式：，； 在抛物线中，，则； 若交于双曲线两支，则； 焦点在y轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，若直线AB的倾斜角为，斜率为，，则曲线C的离心率e满足等式：，． 此公式一定要记住，在选填中出现频率非常高，而且非常简便．（关注微信公众号：Hi数学派） 证明：我们以焦点在x轴的椭圆为例，，，， ，，． 为什么两边都加绝对值？左边加绝对值是因为如果倾斜角为钝角，．右边加绝对值是因为有可能．学生可能会问或者对公式有影响吗？一定没影响．举例说明，与，，，值不变． 进一步的讨论：（1）当焦点内分弦时， 如图10，，∴． 图10 图11 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），如图11， ，∴． 【注意】特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错． 学科网（北京）股份有限公司 $$