浙江省嘉兴市平湖市部分学校2024—2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号 3.须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是(    ) A. B. C. D. 5.下列命题中，正确的命题是(    ) A. 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 B. 三点确定一个圆 C. 平分一条弦的直径一定垂直于弦 D. 相等的两个圆心角所对的两条弧相等 6.如图，内接于若，度数为，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 8.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，请你帮忙计算纸杯杯底的直径为(    ) A. B. C. D. 9.如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则(    ) A. B. C. D. 10.如图，等腰内接于圆，直径，是圆上一动点，连接，，且交于点下列结论：平分；；当，四边形的面积为；当时，四边形的周长最大，正确的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.有张仅有编号不同的卡片，编号分别是，，，，从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于          ． 12.，是的黄金分割点，， ______． 13.已知点是线段的黄金分割点，，那么的长是______． 14.已知的半径为，，是的两条弦，且，，，则弦与之间的距离为______． 15.已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中若，则的值为          ． 16.如图，在半径为的中，弦，为优弧的中点，为上点，于点，于点，连结若，则四边形的面积为          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数经过点，点． 求的值； 求该二次函数的对称轴． 18.本小题分 如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． 求证：； 若，，求的半径． 19.本小题分 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．保留作图痕迹 在图中的圆上找到格点，使得； 在图中的圆上找到点，使点平分弦所对的弧． 20.本小题分 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点在格点上，将绕点顺时针旋转，得到． 在网格中作出； 求出线段扫过的面积． 21.本小题9分 已知一个二次函数的图象经过原点及点，且图象与轴的另一个交点到原点的距离为，求该二次函数的表达式． 22.本小题分 大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市已知超市中某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月就会少卖出件，但每件售价必须低于元，设每件商品的售价上涨元为非负整数，每个月的销售利润为元． 求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； 利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是元？ 23.本小题分 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． 求证：． 若弧，求的度数． 24.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，点在点的左侧． 如图，当时，直接写出，两点的坐标； 在的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点的坐标； 如图，抛物线与轴交于点、两点点在点的左侧，在直线上是否存在唯一一点，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选： 2.【答案】  【解析】解：、， ，故此选项错误，不符合题意； B、， ，故此选项正确，符合题意； C、， ，故此选项错误，不符合题意； D、， ，故此选项错误，不符合题意； 故选：． 根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可． 本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：， ，， ∽， ， ，，， ， ． 故选：． 根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得，，则∽，由相似三角形的性质得，代入数值即可求解． 本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例时解题关键． 4.【答案】  【解析】解：二次函数的顶点为，在第一象限，不合题意； B.二次函数的顶点为，在第四象限，不合题意； C.二次函数的顶点为，在第二象限，符合题意； D.二次函数的顶点为，在第三象限，不合题意； 故选：． 根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断． 本题考查二次函数的顶点坐标，解答本题的关键是明确题意，由二次函数的顶点式求出顶点的坐标进行判断即可． 5.【答案】  【解析】解：、三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，本选项说法正确，符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意； C、平分一条弦不是直径的直径一定垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：． 根据外心的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系定理判断即可． 本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握外心的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系是解题的关键． 6.【答案】  【解析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据圆周角度数等于它所对弧度数的一半求出，再由等腰三角形的性质和三角形定理可得结论． 【详解】解：所对圆周角是，且度数为， ， ， ， ， 故选：． 7.【答案】  【解析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的对称性和增减性求解即可． 【详解】解：由得图象开口向下，对称轴为直线， 二次函数的图象经过，，， 点、关于直线对称，则， 当时，随的增大而增大，， ， ． 故选：． 8.【答案】  【解析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，，      ， ， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：． 9.【答案】  【解析】根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：．    10.【答案】  【解析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明正确；作，交延长线于，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式即可证明错误；当时，四边形的周长最大，据此求解即可． 【详解】解：等腰内接于圆，且为直径， ， ，即平分；故正确； ， ， ， ；故正确； 作，交延长线于， ， ， 、、、四点共圆， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ； ， ； 直径，，， ，， ， 四边形的面积为 ，故错误； ，要使四边形的周长最大，要最大， 当时，四边形的周长最大， 此时，，故正确； 综上，正确； 故选： 11.【答案】  【解析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率． 【详解】解：从编号分别是，，，，的卡片中，随机抽取一张有种可能性，其中编号是偶数的可能性有种可能性， 从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：是线段的黄金分割点， ． 故答案为：． 把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．直接根据黄金分割的定义计算． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【解答】 解：由于为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则． 故答案为：． 14.【答案】或  【解析】解：过点作于，直线交于，连接、， 如图： ， ， ，， 在中，， 在中，， 当弦和在圆心同侧时，如图，， 当弦和在圆心异侧时，如图，， 综上所述，弦和之间的距离为或． 分两种情况进行分类讨论：弦和在圆心同侧；弦和在圆心异侧，先画图，然后作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想和分类讨论思想的应用，小心不要漏解． 15.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与轴交点的求法，表示出点，，，的坐标是解本题的关键． 解决此题首先要明确两抛物线关于轴对称，且交轴于同一点，然后结合找到解题突破口． 【解答】 解：如图所示，设点，，，的横坐标分别为，，，，则抛物线和的对称轴分别为直线，， ， ，且，， ， 整理，得， 即， 将代入，得，即． 易知抛物线与抛物线关于轴对称，则点和点关于轴对称， 点把代入， 得，解得． 16.【答案】  【解析】过点作于点，连接，证明是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，根据三角形外接圆的性质可得点在上，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理求出，，由圆周角定理得到，结合，证明，推出，由四边形的面积为即可求解． 【详解】解：过点作于点，连接， 为优弧的中点， ， 是等腰三角形， ，， ， 是的外接圆， 点在上， 的半径为， ， ， ， ， 于点，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 17.【答案】【小题】 解：由题意，将点，点代入得： 解得． 【小题】 解：由可知，二次函数的解析式为， 所以该二次函数的对称轴为直线．   【解析】  本题考查了二次函数的对称轴、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将点，点代入计算即可得；   将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得． 18.【答案】【小题】 证明：是的直径， ， ， ， ， ； 【小题】 解：设的半径为， ， ，， ， ， 在中，， ， 解得，， 的半径为．   【解析】  根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证；   根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． 19.【答案】【小题】 满足条件的点有、、，如图所示， 【小题】 过点和弦的中点作直线与相交于点和点，据垂径定理，则点和点满足要求．   【解析】  根据直径所对的圆周角是找到满足条件的格点；   根据垂径定理，过点和弦的中点作直线与相交，交点满足要求． 20.【答案】【小题】 如图，为所求作的图形 【小题】 ， 在旋转过程中，所扫过的面积为   【解析】  根据旋转中心方向及旋转角度找出点、的对应点、的位置，然后顺次连接即可．   利用勾股定理求出的长，所扫过的面积等于扇形的面积，然后列式进行计算即可． 21.【答案】解设该二次函数的表达式为， 二次函数的图象经过原点， ， ． 二次函数的图象与轴的另一个交点到原点的距离为， 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为或． 当二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为时， 把，代入， 可得，解得； 此时该二次函数的表达式为； 当二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为时， 把，代入， 可得，解得； 此时该二次函数的表达式为； 综上所述，该二次函数的表达式为或．   【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设该二次函数的表达式为，由题意得，二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为或分类讨论即可求解； 22.【答案】解：由题意得：， 整理得：， 答：，自变量的取值范围为，且为整数； ， ， 当时，随的增大而增大， 当，且为整数时， 当时，最大值元， 此时售价为元； 答：每件商品售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润为元； 由题意得：， 解得：，； ，且为整数， ， 此时售价为元； 答：每件商品售价为元时，每个月可获得的利润恰好为元．  【解析】根据：每件商品的利润销售量销售利润，列出函数关系式即可； 根据二次函数的性质即可求解； 根据利润为元及所列的函数式，得到关于的一元二次方程，解此方程即可．注意根据自变量的取值范围舍去不合题意的解． 本题考查了二次函数的应用，求函数关系式，二次函数的最值，解一元二次方程等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 23.【答案】证明：如图，连接， 是圆的直径， ， ， 又， ． 解：连接、， 弧， ． ， 由知，， ， ， ．  【解析】连接，利用圆周角定理推知，然后由等腰三角形的性质证得结论； 根据已知条件得到，结合圆周角定理求得，所以根据直角三角形的性质求得的度数，根据等腰三角形的性质即可得解． 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 24.【答案】解：当时，抛物线解析式为，直线解析式为． 联立两个解析式，得：， 解得：或， 当时，；当时，， ，． 设． 如答图所示，过点作轴，交直线于点，则． ． ， ， 当时，． 面积最大值为，此时点坐标为 设直线：与轴、轴分别交于点、， 则，，，． 在中，由勾股定理得：． 令，即，解得：或． ，． Ⅰ、假设存在唯一一点，使得，如答图所示， 则以为直径的圆与直线相切于点，根据圆周角定理，此时． 设点为中点，连接，则，． ． ，， ∽， ，即：， 解得：， ， ． 存在唯一一点，使得，此时． Ⅱ、若直线过点时，此时直线与圆的交点只有另一点点，故亦存在唯一一点，使得， 将代入中， 可得，舍去， 故存在唯一一点，使得，此时． 综上所述，或时，存在唯一一点，使得．  【解析】当时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点、的坐标； 如答图，作辅助线，求出面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点的坐标； “存在唯一一点，使得”的含义是，以为直径的圆与直线相切于点，由圆周角定理可知，此时且点为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得的值．需要另外注意一点是考虑直线是否与抛物线交于点，此时亦存在唯一一点，使得． 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第问中，注意图形面积的计算方法；第问中，解题关键是理解“存在唯一一点，使得”的含义． 第2页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$