精品解析：山东省威海荣成市16校联盟（五四制）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中质量检测初四数学试题 一、单选题（每题3分，满分30分） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了函数自变量的范围，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且． 故选：A． 2. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，且当时，有， ∴反比例函数的图象经过第四象限， ∴， ∴； 故选：D． 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式． 【详解】解：∵ ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过B点作于D，根据等腰三角形的性质得到，在中，利用的余弦进行计算即可得到，再得到正确的按键顺序． 【详解】解：过B点作于D， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 即按键顺序正确的是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：在直角三角形中，已知一个锐角和它的邻边，可利用这个角的余弦求出斜边是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质及科学计算器的使用． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数综合问题；分两种情况讨论：当时，当时，分别得出两个函数的大致图像，即可求解． 【详解】解：当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，故B、D不正确； 当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限， 故A不正确，C正确 故选：C． 6. 在中，，，则的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查互余两角三角函数关系，勾股定理，由锐角的正切定义得到，令，则，由勾股定理得到，即可求出的值． 【详解】解：中，， 设，则， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 8. 已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 3 5 y 0 8 9 5 下列说法错误的是（ ） A. ， B. C. 不等式的解集是 D. （m为任意实数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格中的数据，先确定抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知随着的增大，的值先增大再减小， ∴， 和时的函数值相同，均为， 对称轴为直线，故时，有最大值9， ∵， ∴， 故A项正确，不符合题意； 当时，函数值均为0，对称轴为直线， ∴当或时，函数值均为0，即方程有两不等实数根， ∴， 故B项正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向下，当或时，函数值均为0， ∴等式的解集是， 故C正确，符合题意； ∵当时，有最大值9， ∴（m为任意实数）， 整理得：（m为任意实数）， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是2.43m B. 球不会过球网 C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 10. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中，，每个三角形都以点O为顶点．若是第一个小于的角，则n的值为（ ）（参考数据：，，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中正切值的计算，根据，，，，，的值，求出，，找到规律求出，最后根据是第一个小于的角列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得： ，，则， ，，则， ，，则， ∴，，则， ∵是第一个小于的角， ∴， 整理得， 取最小自然数得， 故选：D． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标为___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用配方法把一般式转化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，根据，求出的长，勾股定理求出的长，再根据等角的余弦相等，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出m的值为5，那么输入x的值为______． 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意知，分两种情况求解：①时，，求出满足要求的值即可；②时，，求出满足要求的值即可． 【详解】解：①时，， 整理得， 解得或（不合题意，舍去） ∴； ②时，， 整理得， 解得或， ∵，， ∴或不合题意，均舍去； 综上所述，输入x的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了程序框图中代数式求值，解一元二次方程等知识．理解程序框图中的运算是解本题的关键． 15. 如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点位置作为观测点，从M点测得山顶 P的仰角为， 在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则山顶P的海拔高度为_____________m. 【答案】2024 【解析】 【分析】本题是跨学科综合题，看图理解题意是关键．考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 由比例尺易得实际长．利用相应的三角函数求得的高度差，加上点的高度即可． 【详解】解：在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则实际距离为． 由题意画出示意图，过点M作于点C， 从点测得山顶的仰角为， ∴， 高度差为：， 点的海拔为， 山顶的海拔高度为． 故答案为：2024． 16. 如图，正方形的顶点在轴上，是的中点，反比例函数的图象经过正方形的顶点B．若，，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．作轴，垂足为，利用相似比求出，，继而求出点坐标，最后求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 是的中点，，， ， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：10． 三、简答题（共8个题，满分72分） 17. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数的性质和概念； （1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出的值； （2）由的范围和的性质求出的范围． 【小问1详解】 解：（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为， 把点代入解析式得， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，， 随的增大而减小， 当时，． 18. 已知：y关于x的函数表达式为 （1）求证：不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． （2）不论k为何值，该函数的图象一定经过两个定点，请直接写出这两个定点坐标． 【答案】（1） 证明：y关于x的函数表达式为，当时，得方程， ∴， ∴方程总有实数根， ∴不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质； （1）当时，方程的，据此判断即可； （2）把解析式整理成，求得方程的解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴当时，与无关，过定点， 此时， 当时，，过定点； 当时，，过定点； 综上所述，两个定点坐标，． 19. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）秋千绳索的长度为尺 （2）能， 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． 【小问2详解】 能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 20. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． （1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； （2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）且x为整数． （2）李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出，得到结果． （2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得 ∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数． 【小问2详解】 解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元 则 ∵ ∴抛物线开口向下 ∵对称轴是直线 ∴当时，w的值随x值的增大而增大 ∵x为正整数，∴此时，当时， 当时，w的值随x值的增大而减小 ∵x为正整数，∴此时，当时， ∵ ∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中边上找到一点D，连接，使； （2）在图②中边上找到一点E，连接，使； （3）在图③中边上找到一点F，连接，使． 【答案】（1） 如图①中，点D即为所求； （2） 如图②中，点E即为所求； （3） 如图③中，点F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用． （1）取的中点，连接即可； （2）延长交于格点，取格点，连接与交于点，连接即可； （3）取格点，作射线交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图①中，点D即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图②中，点E即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 根据（1）得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图③中，点F即为所求． ． 22. 如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． （1）当点D与点A重合时，求t的值； （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时，当＜时， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解的长，从而可得答案； （2）分，＜两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可． 【详解】解：（1）， （2）如图，当时，点在上， 由题意得： 当＜时，点在上，如图， 由题意得： 同理： 综上：当时，当＜时， 【点睛】本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． （1）当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． （2）请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【小问1详解】 解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； 【小问2详解】 略 24. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值； （2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得； （3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 将代入中， 得， 解得，； 【小问2详解】 抛物线对称轴为． 若，当时，函数值最小， ， 解得． ， 若，当时，函数值最小， ， 解得（不合题意，舍去） 综上所述． 【小问3详解】 关于对称轴对称 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧 抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线， 此交点关于对称轴的对称点为 且 ，解得． 当A，B都在对称轴左边时， ， 解得， 当A，B分别在对称轴两侧时 到对称轴的距离大于A到对称轴的距离 ， 解得 综上所述或． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中质量检测初四数学试题 一、单选题（每题3分，满分30分） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 2. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则的值为(　　) A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 3 5 y 0 8 9 5 下列说法错误的是（ ） A. ， B. C. 不等式的解集是 D. （m为任意实数） 9. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是2.43m B. 球不会过球网 C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界 10. 如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中，，每个三角形都以点O为顶点．若是第一个小于的角，则n的值为（ ）（参考数据：，，） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 计算：______． 12. 抛物线的顶点坐标为___ 13. 如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为________． 14. 如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出m的值为5，那么输入x的值为______． 15. 如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M点位置作为观测点，从M点测得山顶 P的仰角为， 在比例尺为的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为，则山顶P的海拔高度为_____________m. 16. 如图，正方形的顶点在轴上，是的中点，反比例函数的图象经过正方形的顶点B．若，，则__________． 三、简答题（共8个题，满分72分） 17. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围． 18. 已知：y关于x的函数表达式为 （1）求证：不论k 为何值，该函数的图象与x轴总有交点． （2）不论k为何值，该函数的图象一定经过两个定点，请直接写出这两个定点坐标． 19. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） （1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 20. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． （1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； （2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中边上找到一点D，连接，使； （2）在图②中边上找到一点E，连接，使； （3）在图③中边上找到一点F，连接，使． 22. 如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． （1）当点D与点A重合时，求t的值； （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 23. 如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． （1）当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． （2）请比较与的大小关系，并说明理由． 24. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，则t的值为多少？ （2）当时，y的最小值为，求出t的值： （3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $