5.5 一元一次方程的应用 课件 2024—2025学年浙教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用 01 教学目标 1. 学生能够学会分析实际问题中的数量关系，列出一元一次方程； 2. 掌握运用一元一次方程解决和差倍分与工程问题、等常见类型的实际问题； 3. 通过实际问题的解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和逻辑思维能力。 02 新知导入 杭州第 19届亚运会的会徽“潮涌”既展现江潮奔涌，又寓意勇立潮头，潮头形象象征大家团结携手、紧密相拥、永远向前。 03 新知讲解 杭州第19届亚运会共开设40个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的3倍多4个。请你算一算，其中奥运项目开设了多少个？ 请与你的同伴讨论和解答下面的问题。 （1）能直接列出算式求杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数吗？ （2）如果用列方程的方法来解，设哪个未知数为x？ （3）根据怎样的相等关系来列方程？方程的解是多少？ 03 新知讲解 解： （1)杭州第19届亚运会开设的奥运项目个数=×3+4=31(个); （2）设非奥运项目为x个，则奥运项目有(40-x)个; （3）等量关系：非奥运项目+奥运项目=40, 由题意x+3x+4=40,解得x=9. 03 新知讲解 ▶例1 每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票为每张30元，学生享受半价优惠。某场演出共售出966张票，收入25800元。问：这场演出共售出学生票多少张？ 分析：题中涉及的数量有票数、票价、总票价等，它们之间的相等关系有： 03 新知讲解 解：设这场演出售出学生票 x 张，则售出全价票（966－x）张。 根据题意，得(966－x)×30＋×30×x＝25800。 解这个方程，得x＝212。 检验：x＝212是方程的解，且符合题意。 答：这场演出共售出学生票212张。 03 新知讲解 从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是： 1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。 3.列方程：根据相等关系列出方程。 4.解方程：求出未知数的值。 5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 03 新知讲解 分析问题中的相等关系 1.逐步列式法:例如,x+2的2倍比3x-6大5,首先写出“x+2的2倍”即2(x+2),它比3x-6大5,那么“大-小=5”,即2(x+2)-(3x-6)=5. 2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类,用列(或行)表示相应的数量。 3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如,行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 03 新知讲解 拓展：设未知数有直接设和间接设两种，间接设未知数的几种情况如下: (1)设问题的局部(或部分)为x.如多位数问题设其中的一位或几位上的数为x (2)若题中所求几个未知量的比例关系已知,则可用x表示其中“每份”的数量。 (3)有些应用题,尽管解答时可问什么设什么，但当题目中还包含其他未知量时,这些未知量虽非题目所求,但缺了它就不易建立相等关系,这时可设辅助未知数。 03 新知讲解 常见问题中的相等关系 1.配套问题 相等关系:加工总量成比例,若一件产品由A,B两种配件组成, A,B两种配件的数量比是a:b,则A种配件总数量×b=B种配件总数量×a； 例如,一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成,这里镜架总数×2=镜片总数×1。 2.工程问题 (1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间,工作时间=，工作效率=。 (2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时,要把总工作量看作整体1. (3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 03 新知讲解 方法 (1)找相等关系的规律:在工作量、工作效率、工作时间这三个量中,如果甲量已知,从乙量设元,那么就从丙量找相等关系列方程. (2)工程类应用题的工作总量不是具体数量时,往往把工作总量看作“1”。 (3)工作总量看作"1"时,工作效率=工作时间= . 03 新知讲解 03 新知讲解 ▶例2 某工程队承包了全长为2400米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花 30个月完成整个施工任务。已知甲班组比乙班组平均每月多施工8米，问：甲、乙两个班组平均每月各施工多少米？ 分析：由题意可知，本题有如下数量和数量关系. 03 新知讲解 解：设乙班组每月施工x米，则甲班组每月施(x＋8)米，由题意，得30x＋30(x＋8)＝2400。 解这个方程，得x＝36。 检验：x＝36是方程的解，且符合题意。 甲班组每月施工长度为36＋8＝44(米)。 答：甲班组平均每月施工44米，乙班组平均每月施工36米。 04 课堂练习 【例1】三个正整数的比是1:2:4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是_______. 48 【解析】设这三个正整数分别为x,2x,4x.由题意得x+2x+4x=84,解得x=12,所以这个数中最大的数是4x=48.故答案为48。 04 课堂练习 【例2】《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六，不足十六，问人数鸡价各儿何?译文:今有人合伙买鸡，每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是少?设人数为x,可列方程为（ ） A.9x+11=6x+16 B.9x-11=6x-16 C.9x+11=6x-16 D.9x-11=6x+16 D【解析】已知人数为x,由题意得,9x-11=6x+16,故选D。 04 课堂练习 【例3】一项工作,甲单独做需9天完成,乙单独做需12天完成,如果两人合作几天后,余下的工作再由甲单独做2天完成,则甲、乙两人合作了_______天. 4【解析】设甲、乙两人合作了x天,由题意得(+)x+2× =1，解得x=4,故答案为4。 04 课堂练习 【例4】星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除,根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4h;若爸爸单独完成,需2h当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间。 【解析】设小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3-x)h. 由题意,得x+(3-x)=1,解得x=2。 答:小峰打扫了2h。 04 课堂练习 【选做】5.如图,将正整数1至1000按一定规律排列,整体平移表中带阴影的三个方框,平移后被方框遮住的三个数的和可能是（ ） A.1002 B.1004 C.1006 D.1008 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 … 04 课堂练习 C【解析】设被方框遮住的最上面的数为x，则左下方的数为x+7,右下方的数为x+9,所以三个数的和为3x+16.当3x+16 =1002时,x=328,不符合题意;当3x+16=1004时,x=329 ,不符合题意;当3x+16=1006时，x=330,符合题意;当3x+16 =1008时,x=330, 不符合题意.故选C。 04 课堂练习 【选做】6.一项工程由甲、乙、内三个人来完成,原计划n天完成(n为正整数)，如果按照甲、乙、丙各做一天的顺序工作,恰好能如期完成,如果按照丙、甲、乙各做一天的顺序工作,那么比原计划晚0.5天完成,如果按照乙、丙、甲各做一天的顺序工作,那么比原计划晚1天完成,若丙单独完成这项工程需要50天，则n=_______。 37【解析】第一种:甲+乙+丙+…=1;第二种:丙+甲+乙+…=1;第三种:乙+丙+甲+…=1.可以发现只要经过3的倍数天,甲、乙、丙的工作量都是一样的,所以有两种可能: 04 课堂练习 ①第一种情况,最后两天为甲+乙,那么第三种情况最后三天必然是乙+丙+甲，由此得到甲+乙=乙+丙+甲,显然不符合题意;②第一种情况,最后一天为甲,那么第二种情况最后就是丙+甲,第三种情况最后两天就是乙+丙,所以甲=丙+甲=乙+丙,因为丙单独完成这项工程需要50天,所以丙的工效为,所以甲单独完成这项工程需要25天,乙单独完成这项工程需要50天。设乙和丙工作了x天,则甲工作了(x+1)天,恰好如期完成,则x+x+（x+ 1)=1,解得x=12,所以n=12+12+13=37。 05 课堂小结 知识点1 列方程解决实际问题的步骤 1.审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）。 3.列方程：根据相等关系列出方程。 4.解方程：求出未知数的值。 5.检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 05 课堂小结 知识点2 分析问题中的相等关系 1.逐步列式法:例如,x+2的2倍比3x-6大5,首先写出“x+2的2倍”即2(x+2),它比3x-6大5,那么“大-小=5”,即2(x+2)-(3x-6)=5. 2.列表分析法:用行(或列)表示不同的项目或种类,用列(或行)表示相应的数量。 3.画图分析法:用图形表示题目中的相等关系.例如,行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 05 课堂小结 知识点3 常见问题中的相等关系 1.配套问题：相等关系，加工总量成比例。 2.工程问题 (1)基本关系式:工作量=工作效率×工作时间,工作时间=，工作效率=。 (2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时,要把总工作量看作整体1. (3)常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 06 作业布置 【必做】1.某人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第三天走的路程为__________里。 48【解析】设第三天走的路程为x里,则第二天走的路程为 2x里,第一天走的路程为4x里,第四天走的路程为一程为x里,第五天走的路程为x里，第六天走的路程为x里。根据题意得,4x+2x+x+x+x+x=378,解得x=48，故答案为48. 06 作业布置 【必做】2.七年级师生计划冬游观景.若单独租用50座的客车若干辆,则刚好坐满:若单独租用60座的客车,则可少和一辆,也正好坐满. (1)求参加冬游观景的师生总人数. (2)景区门票的购买与客车的租赁联合促销:租一辆 50座的客车的费用为1600元,租一辆60座的客车的费用为2500元,门票原价为20元/位.若租50座的客车,则门票打6折；若租60座的客车,则免门票,请问单独租用哪种客车更划算?为什么? 【解析】(1)设单独租用50座客车x辆,则单独租用60座客车(x-1)辆。根据题意得50x=60(x-1),解得x=6,所以50x =50×6=300。 答:参加冬游观景的师生有300人。 (2)单独租用60座客车更划算,理由如下:单独租用50座客车所需费用为1600×6+20×0.6×300=13200(元);单独租用60座客车所需费用为2500×5=12500(元)。因为13200 >12500,所以单独租用60座客车更划算。 06 作业布置 06 作业布置 【必做】3.一项工程,甲单独做要6小时完成,乙单独做要9小时完成，甲乙合作2小时,完成了这项工程的__________.余下的由甲单独做,还要__________小时完成。 【解析】甲、乙合作2小时,完成了这项工程的+设余下的由甲单独做，还要x小时完成。依题意,得=1-，解得x=，故答案为。 06 作业布置 【选做】4.某公司计划租用甲、乙两辆车运送一批货物,已知甲车单独运送这批货物需要20天,乙车单独运送需要10天,现由甲车先运5天,然后甲、乙两车合作运完剩下的货物。 (1)甲、乙两车合作还需多少天完成运送任务? (2)已知甲车每天的租金比乙车少100元,运完这批货物公司共支付了租金6650元,则甲、乙两车的租金每天分别是多少元? 【解析】 (1)设甲、乙两车合作还需x天完成运送任务。依题意得 +=1,解得x=5. 答:甲、乙两车合作还需5天完成运送任务。 (2)设甲车每天的租金为y元,则乙车每天的租金为(y+100)元。依题意得(5+5)y+5(y+100)=6650,解得y=410,所以y+100=510。 答:甲车每天的租金为410元,乙车每天的租金为510元。 06 作业布置 06 作业布置 【选做】5.甲、乙两人完成一项工作,甲先做了3天,然后乙加入,一起完成剩下的工作,设工作总量为1,工作进度如下表,则完成这项工作共需（ ） A.9天 B.10天 C.11天 D.12天 时间 第3天 第5天 工作进度 06 作业布置 A【解析】根据表格可得甲做3天完成,所以每天完成,所以甲做5天完成的工作量为,所以乙做2天完成的工作量为-=，所以乙每天完成的工作量为设工作共需要x天,则甲做了x天,乙做了(x-3)天。依题意，得+=1,解得x=9。 06 作业布置 【选做】6.甲、乙两工程队想共同承包一项工程,甲队单独做这项工程需30天完成,乙队单独做这项工程需20天完成,合同规定15天完成,否则每超过一天罚款1000元，甲、乙两队经商量后签订了该合同. (1)正常情况下,甲、乙两队是否能履行该合同?为什么? (2)现两队合作完成这项工程的75%,因别处有急事,必须调走一个队,问:调走哪个队更合适些?为什么? 【解析】(1)正常情况下,甲、乙两队能履行该合同。理由如下:设甲、乙两队合作需x天完成这项工程。根据题意得+ =1,解得x=12。因为12<15,所以正常情况下,甲、乙两队能履 行该合同。 (2)调走甲队更合适些。理由如下:设调走乙队,甲队还需m天完成这项工程,根据题意得+75%=1,解得m=,所以12×75% +m=12×75%+=因为>15,所以调走乙队不合适。设调走甲队,乙队还需n天完成这项工程。据题意得+75%=1,解得n=5,所以12×75%+n=12×75%+5=14。因为14<15,所以调走甲队合适。 06 作业布置 $$