5.3二次函数（第1课时）（教学课件）数学青岛版九年级下册

5.3二次函数（第1课时） 主讲： 青岛版数学九年级下册 第1章 对函数的再探索 目录 02 新课导入 03 观察与思考 04 知识讲解 05 课堂练习 06 课堂小结 01 课程目标 课程目标 1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式； 2.会列简单的二次函数解析式. 课程目标 同学们，我们在前面的课程中学习了哪些函数呢？ 这些函数的解析式和自变量的取值范围分别是什么？ 函数名称 一次函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y=kx+b(k≠0) y=kx(k≠0) (k≠0） 自变量的取值范围 全体实数 全体实数 x≠0 观察与思考 （1）把一根长为60cm的铁丝，围成一个矩形.写出矩形的面积S（m2）与它的一边长x（cm）之间的函数表达式. S = x（30- x） S = -x2 + 30x. x 30-x 观察与思考 （2）如图所示，一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动，5s时到达斜坡的底部.测得小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的对应数据如下表所示： 分析上面的数据，当t增加时，s的变化有什么规律？ 2=1×2 8=22×2 18=32×2 32=42×2 50=52×2 s=2t2 观察与思考 （3）某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x，你能写出明年该企业年产值y（万元）与x之间的函数表达式吗？ 所以y与x之间的函数关系： y =1200(1+x)2=1200x2 + 2400x + 1200. 1200 1200(1+x) 1200(1+x)2 去年产值 今年产值 明年产值 观察与思考 三个问题中的函数表达式分别是： （1）S = -x2 + 30x； （2）s = 2t2； （3）y = 1200x2 + 2400x + 1200. 这几个函数有什么共同特征吗？ 1.这些函数表达式都是关于自变量的二次整式； 2.自变量的最高次数都是2 知识讲解 一般地，形如y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数. 二次函数y=ax2+bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围. 二次函数的定义 a:二次项系数（不能为0） b:一次项系数 c:常数项 系数 自变量范围 课堂练习 例题1 二次函数的定义： y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，且a≠0） m+3≠0，m2+2m﹣1＝2 解得：m≠﹣3，m1＝﹣3，m2＝1， ∴m＝1． 课堂练习 变式训练 根据二次函数的定义得：|m|+1＝2且m﹣1≠0， ∴m＝±1，且m≠1， ∴m＝﹣1． ∴这个函数解析式是y＝﹣2x2﹣x+1． 解析 课堂练习 （2024秋•长沙期中）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．生产100吨钢材，工作效率x和工作时间y之间的关系 B．当速度为100km/h时，汽车行驶的距离s与时间t之间的关系 C．长方形的周长一定时，长方形的长y与宽x之间的关系 D．圆的面积s与半径r之间的关系 例题2 工作总量=工作时间×工作效率 反比例函数 路程=速度×时间 s=100t 正比例函数 （长+宽）×2=周长 一次函数 面积=πr2 s=πr2 二次函数 课堂练习 变式训练 2．（2024秋•海淀区校级月考）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（　C　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 t 5-t CAPCD=4(5-t)=-4t+20 一次函数 S=πt2 二次函数 课堂练习 例题3 从半径为15的圆形铁片上，挖去一个半径为x的圆.写出剩余部分的面积y与x之间的函数表达式，并指出自变量x可以取值的范围. 原来圆形铁片的面积为： 挖去部分的面积为： 剩余部分的面积y与x之间的函数表达式为: 小圆在大圆的内部，所以自变量x可以取值的范围是 S1= π×152=225π S2= πx2 y = 225π - πx2=- πx2+225π 0 < x < 15 课堂练习 变式训练 3.如图，一块草地长为100m，宽为50m的矩形，要在中间修筑互相垂直且宽为x（m）的小路，如果草坪面积为y（m2），求y与x之间的函数表达式． y＝（100﹣x）（50﹣x）， ＝x2﹣150x+5000． 100-x 50-x 解析 课堂练习 例题4 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边BC，CD边上的动点，且AE＝AF．设△AEF的面积为y，EC的长为x．写出y与x之间的函数表达式，并指出自变量x可以取值的范围． Rt△ABE≌Rt△ADF（HL） ∴BE＝DF， ∴CE＝CF， ∵CE＝x， ∴BE＝DF＝4﹣x， 解析 课堂练习 变式训练 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 . E 这是一线三垂直模型哦 过D作DE⊥AC，得 △ABC≌△DAE ∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a， ∴EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a， 在Rt△DEC中，DC＝5a， x＝5a 解析 拓展培优 （2023秋•吉林期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝8，点D为BC边的中点．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以PQ、PD为邻边作▱PDEQ，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）用含t的代数式表示线段PD的长； 当 时，DP= ; 当 时，DP= ; D是BC中点，P在BC上运动，所以DP的长度要进行分类讨论哦 0＜t＜2 4﹣2t 2＜t＜4 2t﹣4 拓展培优 （2023秋•吉林期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝8，点D为BC边的中点．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以PQ、PD为邻边作▱PDEQ，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （2）当线段QE被边AC平分时，求t的值； 当P在DC上时▱PDEQ如红色虚线所示，EQ与AC不相交，所以P只能在BD上 P Q E F 解析 拓展培优 （2023秋•吉林期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝8，点D为BC边的中点．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以PQ、PD为邻边作▱PDEQ，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （3）设▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S＝6时t的值． H 解析 课堂小结 1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数,但在实际问题中也会有一定的限制. 主讲： 青岛版数学九年级下册 感谢聆听