广东省中山市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次统测数学试卷

中山市第一中学2025届高三第三次统测 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1．若集合，则的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5． 对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6．已知定义域为的偶函数满足，当时，则（    ） A． B． C． D． 7．（    ） A． B． C． D． 8．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为，下列各式的展开式中的系数为的选项是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（   ） A．和互为对立事件 B．事件和不互斥 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 11．已知平面平面，且均与球相交，得截面圆与截面圆为线段的中点，且，线段与分别为圆与圆的直径，则（    ） A．若为等边三角形，则球的体积为 B．若为圆上的中点，，且，则与所成角的余弦值为 C．若，且，则 D．若，且与所成的角为，则球的表面积为或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知向量，且向量与不能作为平面向量的一组基底，则 . 13．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ． 14．已知“”表示小于的最大整数，例如.若（）恰好有四个解,那么的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求AB边上的高． 16．如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点. (1)求证：平面； (2)是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由. 17．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示： 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得， （1）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （2）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率． 参考公式与数据：①． ②线性回归方程中，，． ③若随机变量，则，，． 18．已知函数. (1) 已知函数在点处的切线的倾斜角为，求的值。 (2)若函数为增函数，求的取值范围； (3)已知.证明：； 19．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. (1)当，时，写出所有满足的数对序列； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求. 中山市第一中学2025届高三第三次统测 数学 试卷，共4页，第1页 中山市第一中学2025届高三第三次统测 数学 试卷，共4页，第1页 学科网（北京）股份有限公司 中山市第一中学2025届高三第三次统测数学参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A D C A C ACD BC 题号 11 答案 BCD 1．C【详解】由题意得，， 故，即共有4个元素，故选：C． 2．D【详解】由，得，所以，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D. 3．A【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 4．A【详解】因为，又，则，且，即， 因为，所以，所以.故选：A 5．D 【解析】由题意得，在上的投影为，同理，在上的投影为，因为任意非零向量在上的投影向量互为相反向量，所以在上的投影互为相反数，所以，则.故选：D. 6．C【详解】， ， 故的周期， 故， ，令，则，又当时， ，即，即，故C正确 7．A【详解】由 .故选：A． 8．C【详解】一个砝码有，9一种情况，种情况， 两个砝码有，，，几种情况种 三个砝码有，，，，，，几种情况种 四个砝码有，，，，，种， 五个砝码有，，种，总计种. 对A，选项系数为，故不符合，所以A错误； 对B，的系数是选个带的，其他的个括号选常数项，系数明显大于66，故B错误； 对C， 系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为 有两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为， 系数为与组成，其他为常数，，系数为， 系数为与组成，其他为常数， ，系数为， 系数为与组成，其他为常数， ，系数为， 同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为 同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数， 同理由五项组成其他项为常数，则系数为，综上系数为，故C正确； 对D， ， 系数直接有一项，其他是常数项，可有种情况，系数为， 有与组成，其他是常数项，可有,故D错误.故选：C 9．ACD【详解】对A，周期为，故A对； 对B，因为 ，不是奇函数，则B错误； 对C，，故C正确； 对D，，当时，则，则D正确，故选：ACD. 10．BC【详解】根据题意，表示事件“”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则，表示事件“”，即第二次抛掷中，正面向上，则， 表示事件“”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，， 依次分析选项： 对于A，事件、可能同时发生，则事件、不是对立事件，A错误； 对于B，事件、可能同时发生，则事件和不互斥，B正确； 对于C，事件，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，， 由于，则事件和相互独立，C正确； 对于D，事件，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，， ，事件、不是相互独立事件，D错误．故选：BC． 11．BCD【详解】由球心为线段的中点，可知圆、圆的半径相同．设球的半径为，圆与圆的半径为. 对于A，由题意，.因为，所以，解得（负值已舍去）. 所以，解得（负值已舍去），所以，故A错误. 对于B，因为，所以三点在同一平面内. 因为点分别为线段的中点，所以为的中位线，所以， 所以为与所成的角.因为，所以. 又，所以，所以，故B正确. 对于C，因为，所以以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，以圆中垂直于的直径所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则， 所以， 所以，所以，故C正确. 对于D，以为原点，以，所在直线分别为轴、轴， 以圆中垂直于的直径所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如上图， 则，所以， 所以， 所以， 解得（负值已舍去）或（负值已舍去）. 当时，球的半径为，所以球的表面积； 当时，球的半径为，所以球的表面积，故D正确.故选：BCD. 12．【详解】因为，，向量与向量不能作为平面向量的一组基底，所以，所以，解得，所以，故. 故答案为：. 13．/【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，， ，则， 当且仅当，即时，等号成立，故最大值为． 14．（写成范围也正确） 【详解】当时，如图为满足题意的两种情况：        即或，解得；故答案为：. 15．【详解】（1）∵，由正余弦边角关系得，①， 又，② 由①②得，， ∴，∴ （2）由（1）得，， （或由余弦定理得） ∵为锐角，∴， ∴的面积，∴，设边上的高为， 则的面积， ∴，即边上的高为. 16．【详解】（1）延长三条侧棱交于一点，如图所示，由于，所以，所以，所以，同理. 又，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设， 则， 设平面和平面的法向量分别为， 所以取， 则. 整理得，即，所以或（舍）， 故存在点（点为中点时），满足题意. 17．【详解】（1）依题意，两边取对数，得， 即，其中， 由提供的参考数据，可知，又，故，所以， 由提供的参考数据，可得，故， 当时，，即估计其绩效等级优秀率为； （2）由（1）及提供的参考数据可知，，， 又，即，可得，即． 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率不低于”为事件，则， 所以绩效等级优秀率不低于的概率等于． 18．【详解】(1) ∵，则， 已知函数在点处的切线的倾斜角为， ∴ ∴ （2）∵，则， 若是增函数，则， 且，可得， 故原题意等价于对恒成立，构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递增，在递减，故，∴的取值范围为. （3）由（2）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递减，在递增， 故，即，当且仅当时等号成立， 令，可得， 故； 19．【详解】（1）依题意，当，时有：或. （2）当时，因为与不同时在数对序列中， 所以，所以每个数至多出现次，又因为，所以只有对应的数可以出现次，所以. （3）当为奇数时，先证明. 因为与不同时在数对序列中，所以， 当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为. 对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为， 那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列： 首先，对于如下个数对集合： ， ， …… ， ， 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以， 其次，对每个不大于的偶数， 将如下个数对并为一组：， 共得到组，将这组对数以及， 按如下方式补充到的后面， 即 . 此时恰有项，所以. 综上，当为奇数时， . 答案第2页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$