精品解析：辽宁省多市多校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级期中考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，，3 B. 0，，3 C. 0，2，3 D. 1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1、一次项系数为，常数项是3， 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，设，得出，，，，再代入求出比值即可． 【详解】解：设， ∴，，，， ∴， 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的意义，正确理解一元二次方程的根的意义是解题的关键．把代入得到，解方程即得答案． 【详解】把代入，得， 解得． 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 B. 投一枚硬币，“正面朝上”的概率是 C. 必然事件发生的概率是1 D. 概率很小的事件不可能发生 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；随机事件、必然事件的可能性大小逐一判断即可． 【详解】解：A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，不符合题意； B．投一枚硬币，“正面朝上”的概率是，此说法正确，不符合题意； C．必然事件发生的概率是1，此说法正确，不符合题意； D．概率很小的事件发生的可能性小，但不表示不可能发生，此说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个正方形 D. 两个平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 6. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ）     A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．先证明，利用相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 解得：， 故选：B． 7. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质及多边形内角和，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的矩形是正方形 D. 两条对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项说法错误； B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故选项说法错误； C、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法错误； D、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型． 9. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个解x的范围是． 故选：C． 10. 如图，正方形的面积为16，菱形的面积为，则菱形的周长为（ ） A. B. 3 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．根据正方形的面积可求出正方形的边长，利用勾股定理求出，然后根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则， ∵正方形的面积为16， ∴，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中，是斜边上的中线，若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：6． 12. 某射击运动员在同工艺条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上的次数 15 33 78 158 321 801 射中9环以上的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则“射中9环以上”的概率（结果保留0.1）_______； 【答案】## 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵由题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时“射中9环以上”的频率为0.801， ∴用频率估计概率为0.801，结果保留0.1后，可知概率值为0.8， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8． 故答案为：0.8 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．根据菱形的对角线互相平分且垂直得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：菱形中，，， ，， ， 则该菱形的边长为， 故答案为：． 14. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，通过平移，则绿化的长为，宽为，根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：根据题意，设道路的宽为，绿化的面积为， ∴，整理得，， 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，的平分线与边交于点，的平分线与边的延长线交于点，与边交于点．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用矩形的性质结合角平分线的定义先说明，再利用勾股定理求出，最后根据得出比例式，设，则，最后根据进行列方程并解方程即可． 【详解】解：∵的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，的角平分线与边交于点E， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 .∵ ∴ ， 解得. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定，勾股定理以及等腰三角形的性质，证明三角形形相似是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程得解法，能够根据方程的特点选择合适的方法解方程是本题的关键． （1）方程左边是完全平方的形式，右边亦可进行开方运算，故选择直接开平方法进行解方程即可． （2）一次项系数为，若使用配方法则需配，分数运算并不简单；再观察各项系数，因式分解法亦不能使用；由于各项系数数值不大，便于计算，故选择公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：． 直接开平方，得：， 解得：，． 【小问2详解】 解：． ，，． ， 方程有两个不相等的实数根． ． 即：，． 17. 如图，，． （1）若，，求的长． （2）若，求的长． 【答案】（1）9 （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 19. 如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． （1）求证：四边形是正方形． （2）当是的中点，且时，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 20. 某花店购进一批鲜花，进价为每束50元．根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可售出30束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束． （1）若店主希望每天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ （2）店主定了“每天的利润达到1200元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】（1）每束鲜花应降价10元 （2）不能达成这个“小目标” 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设售价每束下降元，则每天可售出束，根据每天能获得1000元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设售价每束下降元，根据每天的利润达到1200元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设售价每束下降元，则每天可售出束，根据题意： ， 整理得：， 解得：或， 尽量减少库存， ， 答：每束鲜花应降价10元； 【小问2详解】 解：设售价每束下降元，根据题意： ， 整理得：， ， 方程无解， 不能达到这个“小目标”． 21. 如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． 为边上的中点， ， ，， 四边形是平行四边形． 为边上的中点，， ， ， 四边形是矩形． （2） 解：四边形是正方形， 理由：，， 是等腰直角三角形． 为边AB上的中点． ． 由（1），可知四边形是矩形， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作 于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：菱形中，，， 又， ， 即， ， 为延长线， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质证明及，再根据即可判定四边形是矩形； （2）根据菱形性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求得，再根据勾股定理可得，最后根据菱形面积的不同计算方式即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：菱形中， ，， 又， ， ， 设，则， 则在中， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、矩形的判定、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、菱形面积的计算，解题关键是熟练掌握矩形的判定及菱形的面积计算方式． 23. 阅读材料． 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ① ， ② ． 材料2：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将，看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．请根据上述材料解答下面问题． （1）填空：①______；②______． （2）若实数，满足：，．则______；______． （3）已知实数，满足，，且，求的值． （4）已知实数，分别满足，，且，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查韦达定理的应用， （1）根据韦达定理即可求得答案； （2）将a和b看作方程的两个根，结合韦达定理即可求得答案； （3）将，看作方程的两个根，结合韦达定理求得，利用完全平方公式将所求分式通分变型即可； （4）将实数，看作方程的两个根，则，将所求分数通分变形即可． 【小问1详解】 解：根据题意知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意知可以将a和b看作方程的两个根，则， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意知可以将，看作方程的两个根，则， ∴， 【小问4详解】 解：根据题意知可以将实数，看作方程的两个根，则， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，，3 B. 0，，3 C. 0，2，3 D. 1，2，3 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 4. 下列说法错误的是（ ） A. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 B. 投一枚硬币，“正面朝上”的概率是 C. 必然事件发生的概率是1 D. 概率很小的事件不可能发生 5. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个正方形 D. 两个平行四边形 6. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ）     A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 7. 如图，四边形四边形，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线相等的矩形是正方形 D. 两条对角线相等的菱形是正方形 9. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A. B. C. D. 10. 如图，正方形的面积为16，菱形的面积为，则菱形的周长为（ ） A. B. 3 C. D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中，是斜边上的中线，若，则______． 12. 某射击运动员在同工艺条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上的次数 15 33 78 158 321 801 射中9环以上的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则“射中9环以上”的概率（结果保留0.1）_______； 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的边长为______． 14. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程______． 15. 如图，在矩形中，的平分线与边交于点，的平分线与边的延长线交于点，与边交于点．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程． （1）； （2）． 17. 如图，，． （1）若，，求的长． （2）若，求的长． 18. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 19. 如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． （1）求证：四边形是正方形． （2）当是的中点，且时，求的面积． 20. 某花店购进一批鲜花，进价为每束50元．根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可售出30束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束． （1）若店主希望每天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ （2）店主定了“每天的利润达到1200元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 21. 如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作 于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23. 阅读材料． 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ① ， ② ． 材料2：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将，看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．请根据上述材料解答下面问题． （1）填空：①______；②______． （2）若实数，满足：，．则______；______． （3）已知实数，满足，，且，求的值． （4）已知实数，分别满足，，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $