3.3抛物线综合练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3抛物线综合练习 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为120°，则的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】由直线与抛物线的位置关系，结合抛物线的定义求解． 【解答】解：由题意可得直线AB的方程为， 联立， 消y可得：3x2﹣10x+3＝0， 又点A在第一象限， 则xA＜xB， 则，xB＝3， 则＝． 故选：C． 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了抛物线的定义，属基础题． 2．抛物线y＝ax2的准线方程是，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】把抛物线方程化为标准方程，根据准线方程判断a＞0，从而求得a的值． 【解答】解：抛物线y＝ax2，化为标准形式是，其准线方程是，所以a＞0， 由，知，解得． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线的定义与标准方程应用问题，属于基础题． 3．若抛物线x＝4y2上一点P到焦点的距离为1，则点P的横坐标是（　　） A． B． C．0 D．2 【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据焦半径公式得到方程，求出答案． 【解答】解：∵抛物线x＝4y2化为标准形式为， ∴焦点坐标为，准线方程为， 由焦半径可得，解得． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题． 4．已知F为抛物线y2＝18x的焦点，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|＝（　　） A．27 B．18 C． D．9 【分析】根据重心坐标公式，焦半径公式求解． 【解答】解：因为F为抛物线y2＝18x的焦点，所以p＝9，， 设C（x3，y3），B（x2，y2），A（x1，y1）， 又因为F是△ABC的重心，因此， 所以|AF|+|BF|+|CF|＝． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线综合应用，属于简单题． 5．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度MO＝1，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q是圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　） A．4 B．3 C． D．5 【分析】解：先求出抛物线的方程，根据点Q在抛物线的内部，利用抛物线的性质求解即可． 【解答】解：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， 因为，MO＝1， 所以点在抛物线上， 此时8＝2p， 解得p＝4， 则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2， 因为圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1的圆心为H（3，2），半径R＝1， 所以圆在抛物线内部， 过点P分别作作PP′，HN与准线垂直，垂足分别为P′，N， 此时|PF|＝|PP′|， 所以|PF|+|PQ|＝|PP′|+|PQ|≥|P′Q|≥|NH|﹣R＝3+2﹣1＝4， 当且仅当P，H，P′三点共线时， 则|PF|+|PQ|的最小值为4． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线的方程及应用，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力，属于中档题． 6．若曲线|y|＝x+2与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞） D．[﹣1，0）∪（1，+∞） 【分析】画出图形，判断C：+＝1是椭圆或双曲线时，求解实数λ取值范围． 【解答】解：如图曲线|y|＝x+2与C：+＝1图形： 当C：+＝1为椭圆时，曲线|y|＝x+2与曲线恰有两个不同的交点，则焦点必在x轴，即4λ＞4，解得λ＞1； 当C：+＝1为双曲线时，y＝±x为双曲线的渐近线，由题意可得，解得λ≤﹣1． 所以实数λ取值范围为：（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合应用，考查数形结合以及计算能力，属中档题． 7．对于曲线C：x﹣2+y﹣2＝1，给出下列三个命题： ①关于坐标原点对称； ②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2； ③曲线C与曲线|x|+|y|＝3有四个交点． 其中正确的命题个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】将x换为﹣x，y换为﹣y，方程x﹣2+y﹣2＝1不变，可判断①；方程变为x2+y2＝x2y2，由基本不等式可判断②；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在定理和函数的单调性，可判断③． 【解答】解：将x换为﹣x，y换为﹣y，方程x﹣2+y﹣2＝1不变，则曲线C关于原点对称，故①正确； 由x﹣2+y﹣2＝1，可得x2+y2＝x2y2≤（）2，解得x2+y2≥4即有≥2，故②正确； 由曲线C和曲线|x|+|y|＝3都关于原点对称，都关于x，y轴对称，可考虑第一象限的交点个数． 由y＝3﹣x和y＝＝（1＜x＜3），可得x4﹣6x3+7x2+6x﹣9＝0， 设f（x）＝x4﹣6x3+7x2+6x﹣9，由f（1）＝﹣1＜0，f（1.5）＝0.5625＞0，f（2）＝﹣1＜0， 可得f（x）在（1，1.5）和（1.5，2）各有一个零点，又y＝3﹣x和y＝在（1，3）递减， 则第一象限的交点个数为2， 可得曲线C与曲线|x|+|y|＝3有8个交点，故③错误． 故选：C． 【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 8．已知抛物线E：y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）为圆M外一点，过点N作圆M的两条切线l1，l2，直线l1与抛物线E交于点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与抛物线E交于点C（x3，y3），D（x4，y4），若，则y1y2y3y4＝（　　） A．16 B．8 C．4 D．1 【分析】由题意，可得x0≠0，设出过点N且与圆M相切的切线方程以及直线l1，l2的斜率，推出k1，k2为方程＝0的两个实根，将切线方程与抛物线方程联立，得到y1y2y3y4的表达式，再进行求解即可． 【解答】解：因为N（x0，y0）为圆M外一点且l1，l2都与抛物线有两个不同的交点， 所以x0≠0， 不妨设过点N且与圆M相切的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）， 即kx﹣y+y0﹣kx0＝0， 可得， 即＝0， 不妨设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1，k2为方程＝0的两个实根， 所以，＝， 联立，消去x并整理得ky2﹣2y+2（y0﹣kx0）＝0， 因为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， 所以，y3y4＝， 则y1y2y3y4＝＝ ＝＝＝4． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之积为定值a，则（　　） A．a＝1 B．点在C上 C．C上的点的纵坐标的最大值为 D．若点（x0，y0）在C上，则y0＞|x0| 【分析】由题意，可得a＝|OF1|•|OF2|＝1，此时可判断选项A；设曲线与x轴正半轴相交于（t，0），t＞0，求出t的值，进而可判断选项B；根据双纽线的定义得到方程，由Δ＝﹣16y2+4≥0即可判断选项C；根据|x|≥|y|得到y0≤|x0|成立，即可判断选项D． 【解答】解：因为原点（0，0）在曲线上， 所以|a＝|OF1|•|OF2|＝1，故选项A正确； 设曲线与x轴正半轴相交于（t，0），t＞0， 此时（t+1）（t﹣1）＝1， 解得，故选项B正确； 设曲线C上任一点坐标为（x，y）， 此时， 可得（x2+y2+1）2﹣4x2＝1， 整理得（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣4x2＝0， 即x4+（2y2﹣2）x2+y4+2y2＝0， 因为x∈R， 所以Δ＝（2y2﹣2）2﹣4（y4+2y2）＝﹣16y2+4≥0， 解得，故选项C正确； 因为（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣4x2＝0， 所以（x2+y2）2＝2x2﹣2y2≥0， 解得|x|≥|y|， 若点（x0，y0）在C上， 此时y0≤|x0|成立，故选项D错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． （多选）10．已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，点F与点P关于原点对称，过点P的直线l与抛物线Γ交于M，N两点（点M和点P在点N的两侧），则下列命题正确的是（　　） A．存在直线l，使得 B．若NF为△MPF的中线，则|MF|＝2|NF| C．若NF为∠MFP的角平分线，则|MF|＝6 D．对于任意直线l，都有|MF|+|NF|＞2|PF| 【分析】设l：y＝kx﹣2，不妨令M（x1，y1），N（x2，y2）都在第一象限，P（0，﹣2），F（0，2），联立抛物线，根据韦达定理可得k2＞1，x1+x2＝8k，x1x2＝16，则，再根据各选项描述、抛物线定义判断它们的正误． 【解答】解：根据题意，设直线l：y＝kx﹣2，令N（x2，y2），M（x1，y1）都在第一象限， F（0，2），P（0，﹣2）， 联立x2＝8y和y＝kx﹣2，那么可得x2﹣8kx+16＝0，且Δ＝64（k2﹣1）＞0，所以k2＞1， 因此根据韦达定理可得x1x2＝16，x1+x2＝8k，所以． 对于选项A，如果，过点M作MD垂直于准线y＝﹣2于点D， 那么，所以三角形MPD为等腰直角三角形，此时|PD|＝|MD|，所以M（x1，x1﹣2）， 因此，因此，因此x1＝4，因此x2＝4， 所以此时M，N为同一点，不符合题设，所以选项A错误； 对于选项B，如果NF为△MPF的中线，那么，因此，因此y1＝4，所以， 因此，那么|MF|＝2|NF|＝6，所以选项B正确； 对于选项C，若NF为∠MFP的角平分线，那么，作MD，NE垂直准线y＝﹣2于D，E， 那么|MF|＝|MD|且，因此，所以， 则，将代入整理得， 则y1＝6，所以|MF|＝y1+2＝8，所以选项C错误； 对于选项D，，而2|PF|＝8，结合k2＞1， 可得8k2＞8，即|MF|+|NF|＞2|PF|恒成立，所以选项D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查直线与抛物线综合应用，属于中档题． （多选）11．已知直线y＝k（x﹣1）经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与C交于M，N两点，与C的准线交于P点，若成等差数列，则（　　） A．p＝2 B． C． D． E． 【分析】由直线过焦点F可求出抛物线C的解析式，然后利用数型结合及抛物线定义逐项判断即可求解． 【解答】解：由题知直线y＝k（x﹣1）过定点（1，0）且经过抛物线的焦点F，得F（1，0），所以p＝2，抛物线C方程：y2＝4x， 根据题意作出图形NT⊥准线并交准线于T，MS⊥准线且交准线于S，如图所示． 对A：上述求解p＝2，故A正确； 对B、C：由成等差数列，所以，所以， 且由抛物线的定义可得|MS|＝|MF|，|FN|＝|NT|， 故|MS|＝|NT|，可得|MF|＝|FN|， 又|NM|＝|NP|，得，， 所以，故B正确，，故C正确； 对D：由B、C及抛物线定义知， 所以在Rt△PNT中，，所以，所以， 此时斜率，又考虑到抛物线的对称性当斜率时也成立，故D错误． 对E：由B、C、D知点F为NP的中点，且焦距p＝2，所以|NT|＝4，得|NP|＝8，故E正确． 故选：ABCE． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，|FM|＝ 　4　． 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设M的坐标（y＞0），利用锐角三角函数求出y，再根据抛物线的定义计算可得． 【解答】解：由抛物线的方程y2＝4x，可得准线方程为x＝﹣1，焦点坐标为F（1，0）， 设M的坐标，y＞0且， 又∠xFM＝60°，∴，整理得，解得或（舍去）， 所以由抛物线的定义可得． 故答案为：4． 【点评】本题考查抛物线性质，属于中档题． 13．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，Q为圆M：x2+（y﹣5）2＝4上的动点，点A（0，4），则＝ 　　；若P为C上的动点，则的最小值为 　5　． 【分析】求解抛物线的焦点坐标，设Q的坐标，然后转化求解；画出图形，结合抛物线的定义，转化求解即可． 【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），Q为圆M：x2+（y﹣5）2＝4上的动点，设为（x，y）， 点A（0，4），则＝＝＝＝． 可得|QA|＝|QF|，如图，作PN垂直直线y＝﹣1于N，直线y＝﹣1交y轴于B， 则＝|PN|+|PQ|+|QA|≥|AB|＝5，当且仅当A、Q、P、N四点在AB线段时，取等号． 故答案为：；5． 【点评】本题考查圆锥曲线与圆的位置关系的应用，抛物线性质的应用，是中档题． 14．已知直线y＝x+t是曲线y＝ln（x﹣1）和y＝ax2﹣3x的公切线，则a+t的值为 　0　． 【分析】利用导数的几何意义及直线与抛物线的位置关系即可求解． 【解答】解：令f（x）＝ln（x﹣1）（x＞1）， 则， 因为直线y＝x+t是曲线y＝ln（x﹣1）的切线， 令，解得：x＝2＞1， 此时f（2）＝ln1＝0， 所以f（x）在（2，0）处的切线为y＝x﹣2，则t＝﹣2， 又y＝x﹣2是y＝ax2﹣3x的切线，显然a≠0， 联立，化简得：ax2﹣4x+2＝0， 则Δ＝16﹣8a＝0，解得：a＝2， 所以a+t＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了导数的几何意义及直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M（x1，y1），N（x2，y2）两点． （1）求x1x2的值； （2）求证：OM⊥ON． 【分析】（1）联立，结合韦达定理求解； （2）结合平面向量数量积的坐标运算求证． 【解答】（1）解：由题意可得直线l的方程为y＝k（x﹣2）， 联立， 消y可得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0， 又M（x1，y1），N（x2，y2）， 则； （2）证明：由（1）可得＝k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4] ＝＝﹣4， 则＝x1x2+y1y2＝4﹣4＝0， 即， 即OM⊥ON． 【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题． 16．已知抛物线W：x2＝4y，A，B，C是W上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点A′，B′，C′，则称三角形A′B′C′为抛物线的外切三角形． （1）当点C的坐标为（2，1），B为坐标原点，且BA＝BC时，求点B′的坐标； （2）设外切三角形A′B′C′的垂心为H，试判断H是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由； （3）证明：三角形ABC与外切三角形A′B′C′的面积之比为定值． 【分析】（1）求导，求出kA′B′＝1，再利用点斜式求出直线方程得点B′的坐标； （2）先求切线B′C′的方程和切线A′C′的方程，联立求出交点，同理得A′，B′坐标，利用垂线性质得kA′C′•kB′H＝﹣1推理得垂心H在定直线y＝﹣1上； （3）利用弦长和点线距分别表示两三角形面积得比值． 【解答】解：（1）由题意可知A（﹣2，1），x2＝4y，即为， 求导得，则kA′B′＝1，由直线的点斜式化简得切线A′B′的方程为y＝x﹣1， B′为切线A′B′与y轴的交点，则点B′的坐标为（0，﹣1）． （2）设， 由（1）易知，则抛物线在A点处的切线B′C′的方程为， 同理可得切线A′C′的方程为， 直线B′C′和直线A′C′联立可得交点． 同理可得． 设垂心H的坐标为（x，y），则． 由A′C′⊥B′H可知， 即． 同理可得． 两式相减可得（x3﹣x2）y＝x2﹣x3，即y＝﹣1． 因此垂心H在定直线y＝﹣1上． （3）易知，则直线AB的方程为， 化简得， 且， 点到直线AB的距离为： ， 则三角形ABC的面积． 由（2）知切线B′C′的方程为， ， 可知， 点到直线B′C′的距离为： ， 则外切三角形A′B′C′的面积． 故． 因此三角形ABC与外切三角形A′B′C′的面积之比为定值2． 【点评】本题考查了抛物线的方程及性质，考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题． 17．已知顶点在原点O，焦点在坐标轴上的抛物线过点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点在x轴上且与直线y＝x+m交于A、B两点（A、B两点异于原点），以AB为直径的圆经过原点，求m的值． 【分析】（1）结合抛物线的性质求解； （2）由直线与抛物线的位置关系，结合圆的性质及向量数量积的运算求解． 【解答】解：（1）设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny， 又点在抛物线上， 则12＝3m或， 即m＝4或， 即抛物线的标准方程为y2＝4x或； （2）由题意知抛物线方程为y2＝4x， 联立， 消y得x2+（2m﹣4）x+m2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2＝4﹣2m，x1x2＝m2， 所以y1y2＝（x1+m）（x2+m） ＝＝m2+m（4﹣2m）+m2＝4m， 以AB为直径的圆经过原点， 则m≠0，且， 则， 即x1x2+y1y2＝0， 即m2+4m＝0， 又m≠0， 则m＝﹣4， 即m的值为﹣4． 【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及向量数量积的运算，属中档题． 18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，m）到其焦点F的距离为2． （1）求C的方程及焦点F的坐标． （2）过点（2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，且△OAB的面积为8，求直线l的方程． 【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，然后代入点P横坐标即可求得；（2）由题意可知直线斜率存在，设出直线方程以及交点坐标，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，代入面积公式即可求得． 【解答】解：（1）由抛物线的定义可得：，解得P＝2， 所以抛物线的方程为C：y2＝4x； （2）由题意可设直线方程为x＝ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得y2﹣4ty﹣8＝0， 所以Δ＝16t2+4×8＞0，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣8， 因为S△AOB＝×2×|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝＝， 所以t2＝2，得，故直线l的方程为：． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，考查运算求解能力，属中档题． 19．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），AF＝5． （1）求A点的坐标； （2）直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作AD⊥l于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 【分析】（1）由抛物线定义有，求p，由A在抛物线上求m即可． （2）令MN：x＝ky+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定MN所过定点B，再由AD⊥MN易知D在以AB为直径的圆上，即可证结论． 【解答】解：（1）由抛物线定义知：，则p＝2， 又A（4，m）（m＞0）在抛物线上，则m2＝4×4，可得m＝4． 所以A点的坐标为（4，4）． （2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）知：A（4，4）， 所以，，y2﹣4），又， 所以（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝x1x2﹣4（x1+x2）+y1y2﹣4（y1+y2）+32＝0， 令直线MN：x＝ky+n，联立C：y2＝4x，整理得y2﹣4ky﹣4n＝0，且Δ＝16k2+16n＞0， 所以y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4n， 则，x1x2＝k2y1y2+kn（y1+y2）+n2＝n2， 综上，n2﹣16k2﹣12n﹣16k+32＝（n﹣4k﹣8）（n+4k﹣4）＝0， 当n＝8+4k时，MN：x＝k（y+4）+8过定点B（8，﹣4）； 当n＝4﹣4k时，MN：x＝k（y﹣4）+4过定点（4，4），即A，M，N共线，不合题意； 所以直线MN过定点B（8，﹣4），又AD⊥MN，故D在以AB为直径的圆上， 而AB中点为Q（6，0），即，为定值，得证． 【点评】本题考查抛物线综合应用，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3抛物线综合练习 （满分150分） 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为120°，则的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 2．抛物线y＝ax2的准线方程是，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 3．若抛物线x＝4y2上一点P到焦点的距离为1，则点P的横坐标是（　　） A． B． C．0 D．2 4．已知F为抛物线y2＝18x的焦点，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|＝（　　） A．27 B．18 C． D．9 5．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度MO＝1，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q是圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（　　） A．4 B．3 C． D．5 6．若曲线|y|＝x+2与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞） D．[﹣1，0）∪（1，+∞） 7．对于曲线C：x﹣2+y﹣2＝1，给出下列三个命题： ①关于坐标原点对称； ②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2； ③曲线C与曲线|x|+|y|＝3有四个交点． 其中正确的命题个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知抛物线E：y2＝2x，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，N（x0，y0）为圆M外一点，过点N作圆M的两条切线l1，l2，直线l1与抛物线E交于点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与抛物线E交于点C（x3，y3），D（x4，y4），若，则y1y2y3y4＝（　　） A．16 B．8 C．4 D．1 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之积为定值a，则（　　） A．a＝1 B．点在C上 C．C上的点的纵坐标的最大值为 D．若点（x0，y0）在C上，则y0＞|x0| （多选）10．已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，点F与点P关于原点对称，过点P的直线l与抛物线Γ交于M，N两点（点M和点P在点N的两侧），则下列命题正确的是（　　） A．存在直线l，使得 B．若NF为△MPF的中线，则|MF|＝2|NF| C．若NF为∠MFP的角平分线，则|MF|＝6 D．对于任意直线l，都有|MF|+|NF|＞2|PF| （多选）11．已知直线y＝k（x﹣1）经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与C交于M，N两点，与C的准线交于P点，若成等差数列，则（　　） A．p＝2 B． C． D． E． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，|FM|＝ 　 　． 13．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，Q为圆M：x2+（y﹣5）2＝4上的动点，点A（0，4），则＝ 　 　；若P为C上的动点，则的最小值为 　 　． 14．已知直线y＝x+t是曲线y＝ln（x﹣1）和y＝ax2﹣3x的公切线，则a+t的值为 　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M（x1，y1），N（x2，y2）两点． （1）求x1x2的值； （2）求证：OM⊥ON． 16．已知抛物线W：x2＝4y，A，B，C是W上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点A′，B′，C′，则称三角形A′B′C′为抛物线的外切三角形． （1）当点C的坐标为（2，1），B为坐标原点，且BA＝BC时，求点B′的坐标； （2）设外切三角形A′B′C′的垂心为H，试判断H是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由； （3）证明：三角形ABC与外切三角形A′B′C′的面积之比为定值． 17．已知顶点在原点O，焦点在坐标轴上的抛物线过点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点在x轴上且与直线y＝x+m交于A、B两点（A、B两点异于原点），以AB为直径的圆经过原点，求m的值． 18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，m）到其焦点F的距离为2． （1）求C的方程及焦点F的坐标． （2）过点（2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，且△OAB的面积为8，求直线l的方程． 19．如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且经过点A（2p，m）（m＞0），AF＝5． （1）求A点的坐标； （2）直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作AD⊥l于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$