精品解析： 广东省深圳市宝安区新安中学（集团）2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市宝安区新安中学（集团）八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A. B. C. D. 5. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ） … 0 1 2 3 … … … A. B. C. D. 7. 如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A. 13 B. C. 15 D. 10 8. 如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 10. 比较大小________ （填＞，＝，或＜） 11. 在平面直角坐标系中，已知点和点，若直线轴，则的值为 __________． 12. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 13. 如图所示，已知，，，则的长为 __________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题7分，第17题10分，第18题8分，第19题8分，第20题12分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 16. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当时，求M的值． 17. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 18. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去兵马俑．甲、乙两公司收费如下，甲公司：按日收取固定租金100元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出，与之间的表达式； （2）结合图象，请你帮助小明分析选择哪家租车公司更合算． 19. 【项目介绍】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④． 【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直．小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为？ 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和，则成品桌子的高度为多少？ 20. 对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足或，则称M为线段的垂点．特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点． （1）如图1，在点中，线段的垂点是 ； （2）直线分别交坐标轴于点和点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点M，求b的值； ②如图3，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的最小值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省深圳市宝安区新安中学（集团）八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，为有理数，为无理数， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的定义，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握相关的定义与性质．根据平方根，算术平方根，立方根的定义和二次根式性质计算出正确的值即可得出答案． 【详解】解：A．，故选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 故选：D． 3. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定为直角三角形，不符合题意； B、，， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、， ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，，， 是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴表示数，勾股定理，根据勾股定理求出，即的长，进而得出点A在数轴上所表示的数． 【详解】解：如图，在中，，， ∴， ∴点A在数轴所表示的数为． 故选：A． 5. 剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解． 【详解】解：∵与对称， ∴对称轴为直线， ∵与点关于直线对称， ∴点的坐标为． 故选：B． 6. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（ ） … 0 1 2 3 … … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．设水位与时间的关系式，用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：设水位与时间的关系式， 把和代入表中数据得 ， 解得：， ∴水位与时间的关系式． 把代入中，得， 故选：D． 7. 如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A. 13 B. C. 15 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故选：A． 8. 如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别和判断，小亮在上散步时，随着时间的变化，离出发点的距离是不变的，那么此时这段函数图象应与x轴平行，进而根据在半径和上所用时间及在上所用时间的大小可得正确选项，根据图象的对应关系进行判断是解决本题的关键． 【详解】分析题意和图象可知：当点M在上时，y随x的增大而增大， 当点M在半圆上时，y不变，等于半径， 当点M在上时，y随x的增大而减小， ∴C选项正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 10. 比较大小________ （填＞，＝，或＜） 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出，再得到，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故答案为：＜． 11. 在平面直角坐标系中，已知点和点，若直线轴，则的值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根于平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：因为直线，且，， 所以， 解得． 故答案为：． 12. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 【答案】2.6米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 13. 如图所示，已知，，，则的长为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题7分，第17题10分，第18题8分，第19题8分，第20题12分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及实数的混合运算，零指数幂等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）见解答 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积，的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：4； 【小问3详解】 点在轴上， 的面积， 即， 解得：． 所以点的坐标为或． 16. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当时，求M的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由实数在数轴上对应点的位置确定的符号以及绝对值的大小，进而确定的符号，根据绝对值以及二次根式的化简方法进行计算即可； （2）根据绝对值、算术平方根的非负性求出的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由实数在数轴上对应点的位置可知，，且， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ． 17. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】（1） （2） 如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， ∴着火点能被扑灭． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； 【小问2详解】 略 18. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往西安旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去兵马俑．甲、乙两公司收费如下，甲公司：按日收取固定租金100元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出，与之间的表达式； （2）结合图象，请你帮助小明分析选择哪家租车公司更合算． 【答案】（1）， （2）当租车时间少于5小时时，选择乙租车公司更合算；当租车时间等于5小时时，两家租车公司所需费用一样多，任选一家即可；当租车时间多于5小时时，选择甲租车公司更合算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、以及待定系数法是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解即可得； （2）求出两个一次函数的交点，结合函数图象即可得． 【小问1详解】 解：设， 将点和代入得：，解得， 则， 设， 将点代入得：， 则． 【小问2详解】 解：联立，解得， 则由函数图象可知，当时，；当时，；当时，， 所以当租车时间少于5小时时，选择乙租车公司更合算；当租车时间等于5小时时，两家租车公司所需费用一样多，任选一家即可；当租车时间多于5小时时，选择甲租车公司更合算． 19. 【项目介绍】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④． 【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直．小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为？ 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和，则成品桌子的高度为多少？ 【答案】驱动任务二：8cm；驱动任务三：80cm 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用． 驱动任务二：根据题意先根据勾股定理求出长和重新调整打孔位置后榫眼离B点距离然后求差即可解题； 驱动任务三：利用列出方程解题即可． 【详解】解：驱动任务二：， 重新调整打孔位置后榫眼离B点距离为， ∴将榫眼外移距离为：； 驱动任务三：∵正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和， ∴， ∴， 解得． ∴成品桌子的高度为． 20. 对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足或，则称M为线段的垂点．特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点． （1）如图1，在点中，线段的垂点是 ； （2）直线分别交坐标轴于点和点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点M，求b的值； ②如图3，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的最小值是 ． 【答案】（1） （2）①b的值为或；② 【解析】 【分析】（1）根据求出，根据，得，得，点C不是线段的垂点；根据，得，得，点D是线段的垂点；根据，得，得，点E不是线段的垂点；根据，得，得，点F是线段的垂点； （2）①当时，得点，则线段的等垂点M在上，过点M作轴于点G，或过点作轴于点H，可证得，进而可得或，代入，即可求得b的值；②过点Q作，交y轴于点E，设，由，，得，解得（舍去），，得，求出直线解析式，当过点时，；当过点时，；当过点时，；得；过点P作交x轴于点F，求出解析式，当过点时，；当过点时，；当过点时，；得；综上，．即得t的最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点D是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点E不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点F是线段的垂点； 综上所述，点D、F是线段的垂点； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当时，点， 设点M是直线上存在线段的等垂点， 过点M作轴于点G，或过点作轴于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可得：， ∴， 解得； ∴b的值为或； ②过点Q作，交y轴于点E，设， 则， ∵，， ∴，，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当过点时，； 当过点时，； 当过点时，． ∴． 过点P作交x轴于点F， 则， ∴设直线解析式为， 把代入， 得， ∴， 当过点时，； 当过点时，； 当过点时，． ∴． 综上，． ∴t的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义——线段的垂点．熟练掌新定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，一次函数图象和性质，一次函数平移，分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $