3.2双曲线综合测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2双曲线综合测试 （满分150分） 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞） 2.与椭圆E：1共焦点且过点的双曲线的标准方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 3．已知椭圆C：的离心率为，则m＝（　　） A． B．或 C．8或2 D．8 4．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点F2到其中一条渐近线的距离为3，点P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 5. “0＜n＜2”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.双曲线C以椭圆1的焦点为顶点，以椭圆长轴端点为焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．y2＝1 B．y2＝1 C．1 D．1 7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1，F2．A是C上的一点（在第一象限），直线AF2与y轴交于点B，若AF1⊥BF1，且3|AF2|＝2|F2B|，则C的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 8.已知双曲线C：1（a＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，O为坐标原点，点P在双曲线C上．且|OP||F1F2|，则△PF1F2的面积是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．曲线，下列结论正确的有（　　） A．若曲线C表示椭圆，则﹣2＜k＜2且k不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若k＝3，则渐近线为 （多选）10．已知P为双曲线上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则（　　） A．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝﹣3 B． C．4m+n的最小值为 D．|AB|的最小值为 （多选）11．已知双曲线C的左，右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A．焦点F2到l的距离为1 B．若|OP|＝|OF1|，则△F1PF2的面积为1 C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D．若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．经过两点，的双曲线的标准方程为 　 　． 13.已知直线l与双曲线相交于A，B两点，若点P（6，3）为线段AB的中点，则直线l的方程是　　． 14．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，a＝2，经过点A（﹣5，2）； （2）经过两点A（﹣7，﹣6），B（2，3） 16．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝2x，且一个焦点到渐近线的距离为2． （1）求双曲线方程； （2）过点（0，1）的直线l与双曲线左、右两支分别交于P，Q两点，动点M满足，求点M的轨迹方程． 17．已知F1F2两点坐标分别为（﹣1，0），（1，0），直线MF1与MF2斜率之积为24，过点P（2，6）作直线l交轨迹M于A，B两点． （1）求M的轨迹方程； （2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程． 18.已知圆C1：x2+（y+3）2＝9和圆C2：x2+（y﹣3）2＝1，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，求动圆的圆心M的轨迹方程。 19.已知双曲线1． （1）过M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程． （2）是否存在直线L，使N（1，）为L被双曲线所截弦的中点，若存在，求出L的方程，若不存在，说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2双曲线综合测试 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞） 【分析】利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可． 【答案】A 【解析】解：由方程表示双曲线，可得m（2﹣m）＞0， 解得0＜m＜2． 即实数m的取值范围是（0，2）． 故选：A． 2.与椭圆E：1共焦点且过点的双曲线的标准方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，设出双曲线方程，再由题意可得关于a，b的方程组，求解得答案． 【答案】C 【解析】解：椭圆E：1的焦点坐标为（0，﹣4），（0，4）， 可设双曲线方程为（a＞0，b＞0）， 则，解得a2＝12，b2＝4． ∴双曲线的标准方程为． 故选：C． 3．已知椭圆C：的离心率为，则m＝（　　） A． B．或 C．8或2 D．8 【分析】分焦点在x轴和y轴上两种情况，由离心率得到方程，求出m＝8或m＝2． 【解答】解：已知椭圆C：的离心率为， 当椭圆焦点在x轴上时， 则m＞4， 即， 解得m＝8， 当椭圆焦点在y轴上时， 则0＜m＜4， 即， 解得m＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属基础题． 4．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点F2到其中一条渐近线的距离为3，点P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【分析】利用点到直线的距离公式可得出b＝3，利用双曲线的定义、余弦定理可求得|PF1|•|PF2|的值． 【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）， 则双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0， 易知点F2（c，0）， 所以，焦点F2到渐近线的距离为， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a， 由余弦定理可得， 即4a2+mn＝4c2，所以，mn＝4（c2﹣a2）＝4b2＝36． 故选：D． 【点评】本题主要考查双曲线的焦点三角形，属于基础题． 5. “0＜n＜2”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：∵“0＜n＜2”⇒“方程表示双曲线”， “方程表示双曲线”⇒“﹣1＜n＜3”． ∴“0＜n＜2”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件． 故选：A． 6.双曲线C以椭圆1的焦点为顶点，以椭圆长轴端点为焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．y2＝1 B．y2＝1 C．1 D．1 【答案】B 【解析】解：椭圆1的焦点在y轴上， 故设双曲线方程为1（a＞0，b＞0）． 则a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3， ∴双曲线方程为：y2＝1． 故选：B． 7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1，F2．A是C上的一点（在第一象限），直线AF2与y轴交于点B，若AF1⊥BF1，且3|AF2|＝2|F2B|，则C的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】设|BF1|＝m，用m，a分别表示|AF2|，|AF1|，由AF1⊥BF1，得到m与a的关系，再结合角度关系利用余弦定理求出a，c的关系，进而得到离心率． 【解答】解：设|BF1|＝m，则由题意有：|BF2|＝m，，， 由题意可知，|AB|＝|AF2|+|BF2|， 由AF1⊥BF1，所以， 即． 因为∠AF1F2+∠BF1O＝90°，∠BF1O+∠F1BO＝90°， 所以∠AF1F2＝∠F1BO，cos∠AF1F2＝cos∠F1BO， 即． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线离心率的相关计算，属于中档题． 8.已知双曲线C：1（a＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，O为坐标原点，点P在双曲线C上．且|OP||F1F2|，则△PF1F2的面积是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】由|OP||F1F2|，得PF1⊥PF2，然后由双曲线的定义、勾股定理联立可求得|PF1|•|PF2|，进而求得△PF1F2面积． 【答案】A 【解析】解：由|OP||F1F2|，得PF1⊥PF2， ， 解得：|PF1|•|PF2|＝2c2﹣2a2＝2b2＝8， |PF1|•|PF2|＝4． 故选：A． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．曲线，下列结论正确的有（　　） A．若曲线C表示椭圆，则﹣2＜k＜2且k不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若k＝3，则渐近线为 【分析】根据已知条件，结合椭圆、双曲线的性质，即可求解． 【解答】解：对于A，曲线， 曲线C表示椭圆， 则，解得﹣2＜k＜2且k不等于0，故A正确； 对于B，曲线C表示双曲线， 则c2＝2+k+k﹣2＝2k，c＝， 故2c不为定值，故B错误； 对于C，， 则曲线C：， 故，解得b＝， 所以短轴长为，故C正确； 对于D，若k＝3， 则曲线C：， 故a＝，b＝1， 所以渐近线为，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查椭圆、双曲线的性质，属于基础题． （多选）10．已知P为双曲线上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则（　　） A．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝﹣3 B． C．4m+n的最小值为 D．|AB|的最小值为 【分析】先求出双曲线C的渐近线方程：y＝，设点P（x0，y0），利用点线距离公式求出m，n，再利用直线之间的关系求出直线PA，PB的斜率，结合选项选出正确答案即可．由均值不等式及mn为定值可判断C正确，由余弦定理可得|AB|的最小值，判断D正确． 【解答】解：如右图所示，设P（x0，y0），则．由题设条件知： 双曲线C的两渐近线：l1：y＝，l2：y＝．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＝﹣，k2＝， 所以k1•k2＝﹣3，故A选项正确； 由点线距离公式知：|PA|＝m＝，|PB|＝n＝， ∴mn＝，故B选项正确； ∵4m+n≥4＝4×＝2，所以C不正确； 由四边形AOBP中，所以∠APB＝120°， |AB|＝＝，所以D正确， 故选：ABD． 【点评】本题考查双曲线的性质，及点到直线的距离公式，及均值不等式的应用，属于中档题． （多选）11．已知双曲线C的左，右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A．焦点F2到l的距离为1 B．若|OP|＝|OF1|，则△F1PF2的面积为1 C．若l的倾斜角为30°，则其实轴长为 D．若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则 【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A；根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解判断B；由已知可得＝tan30°＝，计算可判断C；由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），计算可判断D． 【解答】解：因为F2焦点（c，0）到渐近线x+ay＝0的距离是＝1，故A正确； |OP|＝|OF1|时，则PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝90°， 由勾股定理得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2，得4c2＝（||PF1|﹣|PF2||）2﹣2|PF1||PF2|， 所以4c2＝4a2+2|PF1||PF2|，所以|PF1||PF2|＝2b2， 由三角形的面积公式可得＝b2＝1，故B正确； 若l的倾斜角为30°，则＝tan30°＝，则a＝，所以实轴长为2，故C不正确， 由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y）， k1＝，k2＝，则k1k2＝•＝， 则由P在椭圆上可得﹣y2＝1，所以＝， 所以k1k2＝，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．经过两点，的双曲线的标准方程为 　　． 【分析】直接利用待定系数法可求双曲线的方程． 【解答】解：设双曲线的方程为：mx2+ny2＝1（mn＜0）， 故，解得， 故双曲线的方程为：． 故答案为：． 【点评】本题考查利用待定系数法求双曲线方程，是基础题． 13.已知直线l与双曲线相交于A，B两点，若点P（6，3）为线段AB的中点，则直线l的方程是　　． 【答案】x﹣2y＝0 【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝12，y1+y2＝6， ∵x12﹣4y12＝4，x22﹣4y22＝4， 两式相减可得：（x1+x2）（x1﹣x2）﹣4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0， ∴12（x1﹣x2）﹣24（y1﹣y2）＝0，∴kAB， ∴直线的方程为y﹣3（x﹣6），即x﹣2y＝0． 故答案为：x﹣2y＝0． 14．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 　　． 【分析】根据有公共渐近线，设出双曲线方程，代入点求出λ＝﹣1，求出双曲线方程． 【解答】解：因为与双曲线有公共渐近线， 可设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得λ＝1﹣2＝﹣1，故方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，a＝2，经过点A（﹣5，2）； （2）经过两点A（﹣7，﹣6），B（2，3） 【答案】（1）1；（2）1． 【解析】解：（1）设双曲线方程为：1（a，b＞0）， 则a＝2，1，解得，b2＝16， 则双曲线的标准方程为：1； （2）可设双曲线方程为：mx2﹣ny2＝1， 则有，解得， 则双曲线的标准方程为：1． 16．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝2x，且一个焦点到渐近线的距离为2． （1）求双曲线方程； （2）过点（0，1）的直线l与双曲线左、右两支分别交于P，Q两点，动点M满足，求点M的轨迹方程． 【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可解； （2）设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算进行求解即可． 【解答】解：（1）因为双曲线的一条渐近线为y＝2x， 所以，① 又双曲线的一个焦点到渐近线的距离为2， 所以，② 又a2+b2＝c2，③ 联立①②③， 解得a＝1，b＝2， 则双曲线的方程为； （2）易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx+1，M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（4﹣k2）x2﹣2kx﹣5＝0， 此时4﹣k2≠0且Δ＞0， 由韦达定理得x1+x2＝，x1x2＝﹣， 因为Δ＞0且x1x2＝﹣＜0， 解得﹣2＜k＜2， 因为， 所以x＝x1+x2＝，y＝y1+y2＝k（x1+x2）+2＝， 可得＝， 即k＝， 又y＝， 解得4x2﹣y2+2y＝0（y≥2）． 故点M的轨迹方程为4x2﹣y2+2y＝0（y≥2）． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 17．已知F1F2两点坐标分别为（﹣1，0），（1，0），直线MF1与MF2斜率之积为24，过点P（2，6）作直线l交轨迹M于A，B两点． （1）求M的轨迹方程； （2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程． 【分析】（1）设M（x，y），根据斜率公式可得，化简即可得出答案． （2）根据点差法即可作差化简，求解斜率，由点斜式求解直线方程即可得出答案． 【解答】解：（1）设M（x，y）， 由题意得，，x≠±1， 化简整理得x2﹣， 所以点M的轨迹方程为，（x≠±1）． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ，且﹣＝1， 所以， 所以＝24，故， 所以kAB＝8， 所以直线l的方程为y﹣6＝8（x﹣2），即y＝8x﹣10． 【点评】本题考查直线与双曲线综合应用，属于中档题． 18.已知圆C1：x2+（y+3）2＝9和圆C2：x2+（y﹣3）2＝1，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，求动圆的圆心M的轨迹方程。 【答案】y21（y＞0） 【解析】解：由圆C1：x2+（y﹣3）2＝1和圆C2：x2+（y+3）2＝9， 得到C1（0，3），半径r1＝1，C2（0，﹣3），半径r2＝3， 设圆M的半径为r， ∵圆M与C1外切而又与C2外切， ∴MC1＝r+1，MC2＝3+r， ∴MC2﹣MC1＝（r+3）﹣（1+r）＝2＜r1+r2， 满足双曲线的定义，是双曲线的一支，且a＝1，c＝3， ∴b8， ∴动圆圆心M的轨迹方程是y21（y＞0）． 故答案为：y21（y＞0）． 19.已知双曲线1． （1）过M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程． （2）是否存在直线L，使N（1，）为L被双曲线所截弦的中点，若存在，求出L的方程，若不存在，说明理由． 【答案】（1）yx；（2）直线l不存在． 【解析】解：（1）设过M（1，1）的直线方程为：y﹣1＝k（x﹣1）， A，B两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）， 则x12﹣2y12＝4，x22﹣2y22＝4， 相减可得，（x1﹣x2）（x1+x2）＝2（y1﹣y2）（y1+y2） 由M为AB的中点，则x1+x2＝2，y1+y2＝2，则k， 即有直线AB的方程：y﹣1（x﹣1），即有yx， 代入双曲线方程x2﹣2y2＝4，检验判别式大于0，成立， 则所求直线方程为：有yx； （2）假设存在直线l，使N（1，）为l被双曲线所截弦的中点． 则设弦CD的C、D两点的坐标为（x3，y3），（x4，y4）， 则x32﹣2y32＝4，x42﹣2y42＝4， 相减可得，（x3﹣x4）（x3+x4）＝2（y3﹣y4）（y3+y4） 由N为CD的中点，则x3+x4＝2，y3+y4＝1， 则k1， 则直线CD的方程为：yx﹣1，即y＝x， 代入双曲线方程x2﹣2y2＝4，可得，x2﹣2x0， 由于判别式为4﹣9＜0，则该直线l不存在． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$