双曲线专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2025年高考数学复习解答题专项集训之双曲线 一．解答题（共20小题） 1．（2024•浦东新区三模）已知双曲线C：x21，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A（x1，y1）、B（x2，y2）为双曲线上的点． （1）求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线AB的方程； （3）若AF1∥BF2，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形AF1F2B的面积的取值范围． 2．（2024•青羊区校级模拟）已知双曲线经过点P（4，6），且离心率为2． （1）求C的方程； （2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求． 3．（2024•济南二模）已知双曲线的中心为坐标原点O，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直． （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点Q（0，2）的直线l与双曲线交于E，F两点，△OEF的面积为，求直线l的方程． 4．（2024•阜阳模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），动直线l过点M（2，0），当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为． （1）求双曲线C的标准方程． （2）当直线l与双曲线C交于异于A，B的两点P，Q时，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2.是否存在实数λ，使得k2＝λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 5．（2024•河北模拟）过双曲线的右焦点F作斜率相反的两条直线l1、l2，l1与E的右支交与A、B两点，l2与E的右支交C、D两点，若AC、BD相交于点P． （1）求证：点P为定点； （2）设AC的中点为M，BD的中点为N，当四边形ACBD的面积等于|MN|2时，求四边形ACBD的周长． 6．（2024•青秀区校级模拟）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求双曲线E的标准方程； （2）若直线l与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C、A、B、D，证明：|AC|＝|BD|； （3）求二元二次方程x2﹣3y2＝1的正整数解，可先找到初始解（x1，y1），其中x1为所有解xn中的最小值，因为，所以Q1（2，1）；因为，所以Q2（7，4）；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以Qn（xn，yn）．若方程E的正整数解为Qn（xn，yn），则△OQnQn+1的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由． 7．（2024•吉首市模拟）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形． （1）求双曲线C的方程； （2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围． 8．（2024•齐齐哈尔三模）已知双曲线的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，△TAB的面积为9． （1）求C的方程； （2）当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设M为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值． 9．（2024•陇南一模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且M经过点，N的焦距为4． （1）求M和N的方程； （2）如图，过点T（0，1）的直线l（斜率大于0）与双曲线M和N的左、右两支依次相交于A，B，C，D，若3|AB||BT|＝2|CD||TC|，求直线l的方程． 10．（2024•辽阳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点A（2，1），点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点． （1）求M的离心率； （2）若△BCT的重心为A，点D（8，4），求|DT|的最小值； （3）若△BCT的垂心为A，求动点T的轨迹方程． 11．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E：的左，右焦点分别为F1，F2，E的离心率为2．点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点．当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△PF1F2的等线． （1）求E的方程； （2）若是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积； （3）设，点G的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G处的切线n为△AF1F2的等线． 12．（2024•枣庄模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过右焦点F2且与双曲线C交于A、B两点． （1）若双曲线C的离心率为，虚轴长为，求双曲线C的焦点坐标； （2）设a＝1，，若l的斜率存在，且，求l的斜率； （3）设l的斜率为，，求双曲线C的方程． 13．（2024•苏州模拟）双曲线，F1，F2为两焦点，A1，A2为C1的顶点，D为C1上不同于A1，A2的一点． （1）证明：∠F1DF2，∠DF1F2的角平分线的交点的轨迹为一对平行直线的一部分，并求出这对平行线的方程； （2）若平面上仅有C1的曲线，没有坐标轴和坐标原点，请给出确定C1的两个焦点的位置的方法并给出作长为a，b的线段的方法．（叙述即可） 14．（2024•孝南区校级模拟）已知双曲线，过点D（2，0）的直线l与该双曲线的两支分别交于M，N两点，设M（x1，y1），N（x2，y2）． （1）若，点O为坐标原点，当OM⊥ON时，求x1•x2的值； （2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：λ+μ为定值． 15．（2024•衡阳县校级模拟）已知双曲线与椭圆共焦点，点M、N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限的交点，若点E（0，3）满足ME⊥ON，（O为坐标原点）， （1）求双曲线的离心率； （2）求△OMN的面积． 16．（2024•织金县校级模拟）已知双曲线过点M（3，4），左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q（P在第一象限）两点，，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标． 17．（2024•威宁县校级模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，|PQ|＝6． （1）求双曲线C的方程； （2）O为坐标原点，若S△OPQ＝3，求直线PQ的方程； （3）证明：以PQ为直径的圆经过定点． 18．（2024•濮阳模拟）已知双曲线分别是C的左、右焦点．若C的离心率e＝2，且点（4，6）在C上． （1）求C的方程． （2）若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19．（2024•荔湾区校级模拟）已知双曲线的两条渐近线分别为l1：y＝2x和l2：y＝﹣2x，右焦点坐标为为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线y＝4x﹣6与双曲线的右支交于点A1，B1（A1在B1的上方），过点A1，B1分别作l2，l1的平行线，交于点P1，过点P1且斜率为4的直线与双曲线交于点A2，B2（A2在B2的上方），再过点A2，B2分别作l2，l1的平行线，交于点P2，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点． 证明：①P1，P2，⋯，Pn共线； ②为定值，1≤i≤n﹣1，i∈N*． 20．（2024•成都模拟）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F．过点F的直线与双曲线C相交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为S，且直线AM，BS的斜率之积为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）直线BM，BN分别与直线x＝1相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过定点，并求出定点的坐标． 2025年高考数学复习解答题专项集训之双曲线 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2024•浦东新区三模）已知双曲线C：x21，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A（x1，y1）、B（x2，y2）为双曲线上的点． （1）求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线AB的方程； （3）若AF1∥BF2，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形AF1F2B的面积的取值范围． 【考点】双曲线与平面向量．版权所有 【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）； （2）； （3）[12，+∞）． 【分析】（1）由已知结合点到直线的距离公式即可直接求解； （2）先设直线AB的方程，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系可求； （3）由对称性得，四边形APQB为平行四边形，且面积为四边形AF1F2B面积的2倍，先设Q（x3，y3），直线AP程为x＝my﹣2，直线BQ方程x＝my+2，结合弦长公式求出|BQ|，及平行线AP与BQ之间的距离h，进而表示出四边形AF1F2B的面积，再由函数的单调性即可求解． 【解答】解：（1）由题，右焦点F2（2，0）， 渐近线方程为， 因此焦点F2到渐近线的距离为； （2）显然，直线AB不与x轴重合，设直线AB方程为x＝my+2， 由，得y1＝﹣3y2， 联立方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0， 其中，Δ＝36m2+36＞0恒成立，，， 代入y1＝﹣3y2，消元得，， 即，解得， 所以，直线AB的方程为； （3）延长AF1交双曲线于点P，延长BF2交双曲线于点Q．则由对称性得，四边形APQB为平行四边形，且面积为四边形AF1F2B面积的2倍， 由题，设Q（x3，y3），直线AP程为x＝my﹣2，直线BQ方程x＝my+2， 由第（2）问，易得， 因为y2y3＜0，得3m2﹣1＜0，即0，因而， 平行线AP与BQ之间的距离为， 因此，， 令，则1， 故， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当t＝1时成立） 所以，四边形AF1F2B面积的取值范围为[12，+∞）． 【点评】本题主要考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题． 2．（2024•青羊区校级模拟）已知双曲线经过点P（4，6），且离心率为2． （1）求C的方程； （2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝2，求． 【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．版权所有 【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）根据离心率的定义得到b2＝3a2，利用点在双曲线上代入求解即可， （2）设出直线方程，联立方程，利用设而不求思想，利用斜率关系进行转化求解即可． 【解答】解：（1）∵离心率为2，∴2，即c＝2a，则a2+b2＝c2＝4a2， 即b2＝3a2，则双曲线方程为 ∵双曲线经过点P（4，6）， ∴1，得a2＝4， ∴C的方程为． （2）由题意，点M坐标为（1，6），点N坐标为（0，6）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 法一： ①若直线AB斜率存在，设直线AB方程为y＝kx+m， ，消去y可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12＝0， 则3﹣k2≠0且Δ＝12（m2﹣4k2+12）＞0， 且． 整理可得（m﹣4k+2）（x1+x2）+（2k﹣2）x1x2﹣8m+16＝0， 即， 化简得m2﹣12m﹣8k2﹣12k+2km+36＝0， 即（m﹣2k﹣6）（m+4k﹣6）＝0， 因为直线AB不过点P（4，6），所以m+4k﹣6≠0，所以m﹣2k﹣6＝0， 所以直线AB的方程为y＝k（x+2）+6，恒过定点Q（﹣2，6）． ②若直线AB斜率不存在，则x1＝x2，y1+y2＝0． 则， 解得x1＝x2＝﹣2，所以直线AB的方程为x＝﹣2，过定点Q（﹣2，6）． 综上，直线AB恒过定点Q（﹣2，6）． 法二：∵直线AB不过点P（4，6），∴可设直线AB方程为m（x﹣4）+n（y﹣6）＝1． 由可得， 即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+12（y﹣6）﹣24（x﹣4）＝0， 即（y﹣6）2﹣3（x﹣4）2+[12（y﹣6）﹣24（x﹣4）]•[m（x﹣4）+n（y﹣6）]＝0， 得（12n+1）（y﹣6）2+（12m﹣24n）（x﹣4）（y﹣6）﹣（24m+3）（x﹣4）2＝0， 等式左右两边同时除以（x﹣4）2得， Δ＝（12m﹣24n）2+4（12n+1）（24m+3）＞0， ，解得． 所以直线AB方程为，恒过定点Q（﹣2，6） 设点M到直线AB的距离为d1，点N到直线AB的距离为d2， ． 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及直线和双曲线位置关系的应用，联立方程，利用韦达定理以及设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题． 3．（2024•济南二模）已知双曲线的中心为坐标原点O，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直． （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点Q（0，2）的直线l与双曲线交于E，F两点，△OEF的面积为，求直线l的方程． 【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．版权所有 【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设所求双曲线方程为x2﹣y2＝m，（m≠0），把点P（2，）代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线l的方程为y＝kx+2，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【解答】解：（1）因为双曲线C的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线C为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为x2﹣y2＝m，（m≠0）， 又双曲线C经过点P（2，）， 所以4﹣2＝m，即m＝2， 所以双曲线的方程为x2﹣y2＝2，即1． （2）根据题意可知直线l的斜率存在，又直线l过点Q（0，2）， 所以直线l的方程为y＝kx+2， 所以原点O到直线l的距离d， 联立，得（k2﹣1）x2+4kx+6＝0， 所以k2≠1且Δ＝16k2﹣24（k2﹣1）＝24﹣8k2＞0， 所以k2＜3，且k2≠1， 所以|EF|••， 所以△OEF的面积为•|EF|•d•••2， 所以1， 解得k2＝2， 所以k＝±， 所以直线l的方程为yx+2或yx+2． 【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 4．（2024•阜阳模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣1，0），B（1，0），动直线l过点M（2，0），当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为． （1）求双曲线C的标准方程． （2）当直线l与双曲线C交于异于A，B的两点P，Q时，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2.是否存在实数λ，使得k2＝λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【考点】由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）x2﹣y2＝1； （2）λ＝﹣3． 【分析】（1）可知a＝1，双曲线C的方程为，根据题意设直线l：y＝±b（x﹣2），从而得出B到直线l的距离为，解出b＝1，从而得出双曲线的标准方程为：x2﹣y2＝1； （2）设直线l：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和双曲线C的方程即可得出：（m2﹣1）y2+4my+3＝0，可得出，然后得出，并求出，然后即可求出． 【解答】解：（1）∵a＝1， ∴， 故当直线l过（2，0）与双曲线C有且仅有一个公共点时，l应与C的渐近线平行， 设直线l：y＝±b（x﹣2），即bx±y﹣2b＝0，则点B到直线l的距离为，解得b＝1， ∴双曲线C的标准方程为x2﹣y2＝1； （2）由题可知，直线l的斜率不等于±1， 设直线l：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得：（m2﹣1）y2+4my+3＝0（m2﹣1≠0）， Δ＝4m2+12＞0成立， ， ∴， ∵， ∴， ∴存在实数λ＝﹣3，使得k2＝λk1成立． 【点评】本题考查了直线的点斜式方程，双曲线的标准方程，点到直线的距离公式，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题． 5．（2024•河北模拟）过双曲线的右焦点F作斜率相反的两条直线l1、l2，l1与E的右支交与A、B两点，l2与E的右支交C、D两点，若AC、BD相交于点P． （1）求证：点P为定点； （2）设AC的中点为M，BD的中点为N，当四边形ACBD的面积等于|MN|2时，求四边形ACBD的周长． 【考点】双曲线的定点及定值问题；直线与双曲线的综合．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）设直线l1的斜率为k（k≠0），则直线l1：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞x2，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，根据对称性，可知P点一定在x轴上，设P（m，0），又C（x2，﹣y2），由kAP＝kCP得到方程，求出m，即可得证； （2）设BC、AD与x轴的交点分别为G、H，则MN⊥GH，且MN与GH互相平分，由面积推导出|MN|＝|GH|，即四边形MGNH为正方形，从而得到MG∥AB且斜率为1，即可求出l1的方程，联立求出A、B坐标，从而得到C、D坐标，再计算周长即可． 【解答】解：（1）证明：易知双曲线的右焦点F（2，0）， 由l1与E的右支交与A、B两点，l2与E的右支交C、D两点， 设直线l1的斜率为k（k≠0），则直线l1：y＝k（x﹣2）， 由，得（1﹣3k2）x2+12k2x﹣12k2﹣3＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞x2， 则，解得或， 又l1与l2斜率相反，即l1与l2关于x轴对称，又AC、BD相交于点P， 则A点与D点对称，B点与C点对称，则AC与BD也关于x轴对称， 根据对称性可知P点一定在x轴上，设P（m，0），又C（x2，﹣y2）， 所以，所以2x1x2+4m＝（2+m）（x1+x2）， 即，解得， 所以直线AC、BD相交于点． （2）依题意四边形ACBD为等腰梯形，MN为梯形的中位线， 设BC、AD与x轴的交点分别为G、H，则MN⊥GH，且MN与GH互相平分， 所以， 所以|MN|＝|GH|，则四边形MGNH为正方形， 所以MG∥AB且斜率为1， 所以直线l1：y＝x﹣2，则，得2x2﹣12x+15＝0，解得或， 则，， 所以，， 则，， 所以， ，， 所以四边形ACBD的周长为． 【点评】本题主要考查双曲线中的定点问题，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 6．（2024•青秀区校级模拟）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求双曲线E的标准方程； （2）若直线l与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C、A、B、D，证明：|AC|＝|BD|； （3）求二元二次方程x2﹣3y2＝1的正整数解，可先找到初始解（x1，y1），其中x1为所有解xn中的最小值，因为，所以Q1（2，1）；因为，所以Q2（7，4）；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以Qn（xn，yn）．若方程E的正整数解为Qn（xn，yn），则△OQnQn+1的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由． 【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．版权所有 【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据双曲线a，b，c关系和渐近线、实轴相关概念进行列式计算即可求解． （2）分别联立直线l与E及其渐近线方程求出C、A、B、D的坐标或坐标的关系，进而得出线段AB，CD的中点重合，即可得证． （3）结合题目所给的循环构造的方法得xn，yn，用向量面积公式表示出面积，再换元，化简即可求解． 【解答】解：（1）由题意，解得， 所以双曲线E的标准方程为； （2）证明：由题意直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+t，如图， 因为直线l与E的右支交于两点，所以t＞0， 联立，消去x得（m2﹣2）y2+2mty+t2﹣1＝0，则Δ＝4（m2+2t2﹣2）＞0，即m2＞2﹣2t2， 所以， 联立，消去x得（m2﹣2）y2+2mty+t2＝0，Δ＝4m2t2﹣4t2（m2﹣2）＝8t2＞0， 所以， 所以， 即线段AB，CD的中点重合， 所以|AC|＝|BD|； （3）由题意得方程x2﹣2y2＝1的初始解为（3，2）， 根据循环构造原理得：， 从而， 记，则，设，的夹角为α， 则△OQnQn+1的面积 ， 令，则ab＝1， 则 ， 所以△OQnQn+1的面积为定值1． 【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题． 7．（2024•吉首市模拟）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形． （1）求双曲线C的方程； （2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围． 【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．版权所有 【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算． 【答案】（1）；（2）（，6]． 【分析】（1）根据题意及双曲线的几何性质，建立方程．即可求解； （2）根据题意设直线MN的方程为x＝my+n，联立椭圆方程，根据根与系数及k1k2＝﹣2，建立方程，从而可求出n的值，进而可得d关于m的函数模型，再根据题意建立不等式，从而求出m2的范围，最后通过函数思想即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得∠BAD＝90°，半焦距c＝2， 由AF＝BF，可得a+c， ∴a2+2a＝22﹣a2，解得a＝1， ∴b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3， ∴双曲线C的方程的方程为； （2）显然直线MN不可能与坐标轴平行， ∴设直线MN的方程为x＝my+n， 联立，可得（3m2﹣1）y2+6mny+3（n2﹣1）＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则根据题意可得： ，且，①， 由k1k2＝﹣2，可得y1y2+2（x1+1）（x2+1）＝0， 即y1y2+2（my1+n+1）（my2+n+1）＝0， 整理得②， 将①代入②中可得3（n2﹣1）（2m2+1）﹣12m2n（n+1）+2（n+1）2（3m2﹣1）＝0， 化简可消去所有的含m的项，从而解得n＝5或n＝﹣1（舍去）， ∴直线MN的方程为x﹣my﹣5＝0，∴d， 又MN都在双曲线的右支上，∴3m2﹣1＜0，∴， ∴，∴d∈（，6]， ∴点A到直线MN的距离d的取值范围为（，6]． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，化归转化思想，函数思想，属中档题． 8．（2024•齐齐哈尔三模）已知双曲线的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线AB斜率不存在时，△TAB的面积为9． （1）求C的方程； （2）当直线AB斜率存在且不为0时，连接TA，TB分别交直线于P，Q两点，设M为线段PQ的中点，记直线AB，FM的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值． 【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据三角形面积以及实轴长即可求解a，b，c， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据点斜式求解直线AT方程，进而可得P，Q，M坐标，利用斜率公式即可求解． 【解答】解：（1）依题意，2a＝2，解得a＝1， 设C的焦距为2c，则c2＝a2+b2， 将x＝c代入方程，可得， 所以△TAB的面积为， 解得， 所以C的方程为； （2）证明：由方程得T（﹣1，0），F（2，0）， 设直线AB：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 与C的方程联立可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0， 所以，Δ＝（12m）2﹣36（3m2﹣1）＞0， 设直线，令，解得，所以， 同理可得，， 所以 ，故， 所以，又，所以． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 9．（2024•陇南一模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且M经过点，N的焦距为4． （1）求M和N的方程； （2）如图，过点T（0，1）的直线l（斜率大于0）与双曲线M和N的左、右两支依次相交于A，B，C，D，若3|AB||BT|＝2|CD||TC|，求直线l的方程． 【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．版权所有 【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由N的焦距为4可求得m2＝1，即可得出曲线N，由题意设M为，点代入即可求得曲线M； （2）由题意设直线 l的方程为 y＝kx+1（k＞0），与联立，利用韦达定理计算可得|AB|＝|CD|，进而可得，联立方程组计算可求得k，即可得出结果． 【解答】解：（1）因为，N的焦距为4， 所以N：m2+3m2＝4，m2＝1， 所以， M，N渐近线相同，M可设为， 将代入方程可得，即λ＝2， 所以； （2）设直线 l的方程为y＝kx+1（k＞0），A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4）， 联立方程，化简可得：（3﹣k2）x2﹣2kx+1﹣3λ＝0，则Δ＝4k2﹣4（3﹣k2）（1﹣3λ）＞0， λ＝1时，，， λ＝2时，，， 所以， 同理 因为x1+x2＝x3+x4，所以x2﹣x4＝x3﹣x1，所以|AB|＝|CD|， 又因为3|AB||BT|＝2|CD||TC|，所以， 所以，则， 由，， 解得：，由k＞0可知，， 所以直线 l的方程为：． 【点评】本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属于中档题． 10．（2024•辽阳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点A（2，1），点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点． （1）求M的离心率； （2）若△BCT的重心为A，点D（8，4），求|DT|的最小值； （3）若△BCT的垂心为A，求动点T的轨迹方程． 【考点】双曲线相关动点轨迹．版权所有 【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把点A的坐标代入双曲线方程，求得m值，进一步求双曲线的离心率； （2）由已知可得B（﹣2，﹣1），设C（x0，y0），T（x，y），由重心坐标公式求得A的坐标，代入双曲线方程，可得T的轨迹方程，再由两点间的距离公式求解； （3）由A为△BCT的垂心，得AT⊥BC，B⊥AC，设C（x0，y0），T（x，y）．然后利用直线的斜率分类求解动点T的轨迹方程． 【解答】解：（1）∵双曲线M经过点A（2，1），∴，解得m＝2， ∴a，c，则M的离心率； （2）由已知可得B（﹣2，﹣1），设C（x0，y0），T（x，y）， ∵A为△BCT的重心，∴，解得， ∴，即（x﹣8）2＝2+2（y﹣4）2． ∵点C异于A，B两点，∴T的轨迹不含（6，3），（10，5）两点． 故，当且仅当y＝4时，等号成立， 即|DT|的最小值为； （3）∵A为△BCT的垂心，∴AT⊥BC，B⊥AC，设C（x0，y0），T（x，y）． 当直线BC或AC的斜率为0时，点C的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1），点T与点C重合． 当直线BC或AC的斜率不为0时，直线AT与BT的斜率存在，则kAT•kBC＝﹣1，kBT•kAC＝﹣1， 由（2）知，则， 则． ∵kAT•kBT•kAC•kBC＝1，∴， 又，∴，得y2﹣1＝2x2﹣8， 即． 又（2，﹣1）与（﹣2，1）在曲线上， ∴动点T的轨迹方程为． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，是中档题． 11．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E：的左，右焦点分别为F1，F2，E的离心率为2．点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点．当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△PF1F2的等线． （1）求E的方程； （2）若是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积； （3）设，点G的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G处的切线n为△AF1F2的等线． 【考点】双曲线相关动点轨迹．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）； （2）12； （3）证明见解答． 【分析】（1）求出点P，F1，F2的坐标，由直线y＝1为△PF1F2的等线及双曲线的性质可求出a，b的值，从而可得E的方程； （2）切线m：y﹣y0＝k（x﹣x0），代入E的方程，可得关于x的方程，由Δ＝0，可得关于k的方程，表示出k，进一步可得m的方程为，求出点A，B的横纵坐标，结合面积公式求解即可； （3）表示出切线n的方程，易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记F1，F2，A到n的距离为d1，d2，d3，利用点到直线的距离公式推出d2+d3＝d1，即可得证． 【解答】解：（1）由题意知，F1（﹣c，0），F2（c，0），显然点P在直线y＝1的上方， 因为直线y＝1为△PF1F2的等线，所以，，c2＝a2+b2， 解得， 所以E的方程为； （2）设P（x0，y0），切线m：y﹣y0＝k（x﹣x0），代入， 得， 所以Δ＝[2k（kx0﹣y0）]2+4（3﹣k2）（k22kx0y0+3）＝0， 该式可以看作关于k的一元二次方程， 所以，即m方程为， 当m斜率不存在时，也成立， 渐近线方程为，不妨设A在B上方， 联立得，， 故， 所以P是线段AB的中点， 因为F1，F2到过O的直线距离相等，则过O点的等线必满足：A，B到该等线距离相等且分居两侧， 所以该等线必过点P，即OP的方程为， 由，解得：， 所以， 所以， 所以|yA﹣yB|＝6，所以； （3）证明：设G（x，y），由，所以x0＝3x，y0＝3y， 故曲线Γ的方程为9x2﹣3y2＝1（x＞0）， 由（*）知切线n为，即，即3x0x﹣y0y﹣1＝0， 易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记F1，F2，A到n的距离为d1，d2，d3， 由（2）知，， 所以d3， 由x0≥1得， ， 因为， 所以直线n为△AF1F2的等线． 【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 12．（2024•枣庄模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过右焦点F2且与双曲线C交于A、B两点． （1）若双曲线C的离心率为，虚轴长为，求双曲线C的焦点坐标； （2）设a＝1，，若l的斜率存在，且，求l的斜率； （3）设l的斜率为，，求双曲线C的方程． 【考点】双曲线与平面向量．版权所有 【专题】方程思想；转化法；平面向量及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算． 【答案】（1）（±，0）； （2）±． （3）x21． 【分析】（1）由题意可得：e，2b＝2，解得b，a，c，即可得出双曲线C的焦点坐标； （2）a＝1，，可得双曲线C的方程为x21，c＝2．设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝k（x﹣2）代入双曲线C的方程可得关于x的一元二次方程，Δ＞0，由，可得（x1+x2+4）•（x2﹣x1）+（y1+y2）•（y2﹣y1）＝0，利用根与系数的关系即可得出结论． （3）由，可得•0，OA⊥OB，|AB|＝4．直线l的方程为y（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l的方程代入双曲线方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣3a2c2﹣5b2a2＝0，利用根与系数的关系即可得出． 【解答】解：（1）由题意可得：e，2b＝2， 解得b，a＝1，c， ∴双曲线C的焦点坐标为（±，0）； （2）a＝1，，∴双曲线C的方程为x21，c2． 设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）， 把y＝k（x﹣2）代入双曲线C的方程可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0， 3﹣k2≠0，Δ＝16k4﹣4（3﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36（k2+1）＞0， 则x1+x2，x1x2， ∵， ∴（x1+x2+4，y1+y2）•（x2﹣x1，y2﹣y1）＝0， ∴（x1+x2+4）•（x2﹣x1）+（y1+y2）•（y2﹣y1）＝0， ∴x1+x2+4+k2（x1+x2﹣4）＝0， ∴4k2（4）＝0， 化为：k2，解得k＝±±． （3）由， 可得•0，∴OA⊥OB，|AB|＝4． 直线l的方程为y（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2）， 把直线l的方程代入双曲线方程可得：（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣3a2c2﹣5b2a2＝0， Δ＞0，x1+x2，x1x2， ∵•0，∴x1x2+y1y2＝0，x1x2（x1﹣c）（x2﹣c）＝0， 化为8x1x2﹣3c（x1+x2）+3c2＝0， ∴83c×（）+3c2＝0， 化为b2＝3a2，c2＝4a2， ∴ba，c＝2a， ∴x1+x2a，x1x2a2， ∴4， 解得a＝1，b， ∴双曲线C的方程为x21． 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、方程的解法、向量数量积性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13．（2024•苏州模拟）双曲线，F1，F2为两焦点，A1，A2为C1的顶点，D为C1上不同于A1，A2的一点． （1）证明：∠F1DF2，∠DF1F2的角平分线的交点的轨迹为一对平行直线的一部分，并求出这对平行线的方程； （2）若平面上仅有C1的曲线，没有坐标轴和坐标原点，请给出确定C1的两个焦点的位置的方法并给出作长为a，b的线段的方法．（叙述即可） 【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数．版权所有 【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算． 【答案】（1）证明见解答，x＝﹣a和x＝a； （2）作图方法见解答． 【分析】（1）利用内切圆的性质和双曲线的定义，即可证明所求交点在直线x＝﹣a上或在直线x＝a上； （2）利用双曲线的性质先确定双曲线的中心，再作圆确定坐标轴，最后直接根据双曲线的方程即可确定作法． 【解答】解：（1）证明：设∠F1DF2，∠DF1F2的角平分线的交点为I，则I就是△DF1F2的内心， 设△DF1F2的内切圆在边F1F2，F2D，DF1上的切点分别为M，N，P， 则|MF1|﹣|MF2|＝|PF1|﹣|NF2|＝（|PF1|+|DP|）﹣（|NF2|+|DN|）＝|DF1|﹣|DF2|， 由|DF1|﹣|DF2|＝2a或|DF1|﹣|DF2|＝﹣2a， 知|MF1|﹣|MF2|＝2a或|MF1|﹣|MF2|＝﹣2a， 而|MF1|+|MF2|＝|F1F2|＝2c， 故， 或者， 故M和A2重合，或者M和A1重合， 而M是I在x轴上的投影，故I的横坐标是a或﹣a， 所以点I必定在直线x＝﹣a或x＝a上，结论得证． （2）任意作一对平行线l1，l2，使得它们和C1都有两个公共点， 那么两直线分别将C1截得一条弦，取这两条弦的中点S，T，并设直线ST交C1于点Q，R， 取QR的中点O，则O是坐标原点， 以O为圆心，作一半径足够大的圆，使得该圆与C1有四个公共点，这四个公共点构成矩形， 过O作该矩形两条相邻边的平行线， 则与C1有公共点的平行线是x轴，与C1无公共点的平行线是y轴， 这就得到了两个实轴的端点A1和A2， 然后在x轴上方基于点O，A2作正方形OA2BE，并以O为圆心， 以|OB|为半径作圆，交x轴正半轴于点K，再过K作x轴的垂线，在x轴上方交C1于点U， 则我们得到所求|OA2|＝a，|KU|＝b， 最后以O为圆心，以|KU|为半径作圆，交y轴正半轴于点V， 再以O为圆心，以|A1V|为半径作圆，交x轴于点F1，F2，则F1，F2就是C1的两个焦点， 下面我们说明上面的作法是可行的，需要论证的地方有二： ①坐标原点O的确定；②最后F1，F2的确定， 关于①，利用韦达定理，我们可以证明用斜率为k的直线y＝kx+m截双曲线时， 弦的中点总在一条过原点的直线上， 事实上，联立，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2m2﹣a2b2＝0， 则两交点（x1，y1）和（x2，y2）满足，故， 代入y＝kx+m，可得弦的中点坐标为， 它总在直线上，这就证明了①； 关于②，根据后续的作法不难看出B（a，a），， 设，则t＞0，，解得t＝b， 从而|KU|＝b，故， 这就得到|OF1|＝|OF2|＝c，这就证明了②． 【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查逻辑推理能力，属于难题． 14．（2024•孝南区校级模拟）已知双曲线，过点D（2，0）的直线l与该双曲线的两支分别交于M，N两点，设M（x1，y1），N（x2，y2）． （1）若，点O为坐标原点，当OM⊥ON时，求x1•x2的值； （2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：λ+μ为定值． 【考点】双曲线与平面向量．版权所有 【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）﹣6； （2）证明见解析． 【分析】（1）由题意知C：，进而设直线l的方程为y＝k（x﹣2），与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可； （2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）），进而结合向量的坐标表示得，再结合M，N在双曲线上，推得λ，μ是方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的两根，进而得 ，证明结论． 【解答】解：（1）当 时，双曲线C：， 过点D（2，0）的直线l与该双曲线的两支分别交于M，N两点， 则直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2）， 与C联立得（2﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣2＝0，Δ＝8（3k2+2）＞0， 则，则k2＜2， 由， 可得，∴k2＝1， ∴； （2）证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2）， 则E（0，﹣2k）， ∵，， ∴， ∴，， 又点M在双曲线C上，∴， ∴3b2λ2﹣2b2λ﹣4k2﹣b2＝0，同理3b2μ2﹣2b2μ﹣4k2﹣b2＝0， ∴λ，μ是方程3b2x2﹣2b2x﹣4k2﹣b2＝0的两根， ∴为定值． 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，韦达定理的应用，向量共线的坐标运算，方程思想，化归转化思想，属中档题． 15．（2024•衡阳县校级模拟）已知双曲线与椭圆共焦点，点M、N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限的交点，若点E（0，3）满足ME⊥ON，（O为坐标原点）， （1）求双曲线的离心率； （2）求△OMN的面积． 【考点】直线与双曲线的综合；求双曲线的离心率．版权所有 【专题】函数思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理． 【答案】（1）． （2）8． 【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标和圆O的方程，通过联立方程组求出M，N两点，由ME⊥ON，求出a，b的值得双曲线的离心率； （2）由M，N的坐标，可求出△OMN的面积． 【解答】解：（1）在椭圆中，因为a2＝25，b2＝5，， 所以椭圆焦点为，所以双曲线的焦点坐标为． 又因为双曲线的渐近线方程为， ⊙O的方程：x2+y2＝20． 联立得， 解得，，． 由题意可知，点M、点N分别为第一、二象限的交点， 因为，， 所以，， 又因为ME⊥ON， 所以，∴． 化简整理得， 又因为代入上式，解得a＝2，b＝4． 所以双曲线方程为． 所以离心率． （2）由第一问知M（2，4），N（﹣2，4）， 所以|MN|＝|2﹣（﹣2）|＝4，yN＝yM＝4． 所以． 【点评】本题考查直线与双曲线的综合问题，属于中档题． 16．（2024•织金县校级模拟）已知双曲线过点M（3，4），左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q（P在第一象限）两点，，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标． 【考点】直线与双曲线的综合．版权所有 【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出a2，将点的坐标代入方程求出b2，即可得解； （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到y1＝﹣3y2，即可求出y2，即可求出yE＝2y2，从而求出xE，即可得解． 【解答】解：（1）易知双曲线C的左、右顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0）， 所以， 解得a2＝1， 因为点M（3，4）在双曲线上， 所以， 解得b2＝2， 则双曲线方程为； （2）设直线l的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，消去x并整理得， 此时Δ＝16（t2+1）＞0， 由韦达定理得，， 因为， 所以y1＝﹣3y2， 此时， 解得， 此时， 解得， 因为△PQE的重心在x轴上， 所以yE+y1+y2＝0， 所以， 代入双曲线得． 故或． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 17．（2024•威宁县校级模拟）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，|PQ|＝6． （1）求双曲线C的方程； （2）O为坐标原点，若S△OPQ＝3，求直线PQ的方程； （3）证明：以PQ为直径的圆经过定点． 【考点】双曲线的定点及定值问题；根据双曲线的几何特征求标准方程．版权所有 【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）； （2）PQ的方程为 x﹣y+2＝0 或x+y+2＝0； （3）证明见解析，定点为（1，0）． 【分析】（1）依题意建立关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值，即可求解双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，表示出韦达定理，表示出|PQ|及点O到直线PQ的距离，结合条件解方程，即可求解直线PQ的方程； （3）P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出以PQ为直径的圆的方程，结合韦达定理即可证明． 【解答】解：（1）当PQ⊥x轴时，P，Q两点的横坐标均为﹣c， 代入双曲线方程可得，，即， 双曲线的渐近线方程为，即， 可得，解得a＝1，，c＝2， 所以双曲线C的方程为． （2）设PQ的方程为x＝my﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0， △＞0且3m2﹣1≠0， 所以，， 点O到直线PQ：x﹣my+2＝0的距离为． 又由，x2﹣x1＝（my2﹣2）﹣（my1﹣2）＝m（y2﹣y1）， 所以， 即， 所以， 即，即2（m2+1）＝（3m2﹣1）2， 所以9m4﹣8m2﹣1＝0，即（9m2+1）（m2﹣1）＝0， 所以m2＝1，即m＝±1， 所以PQ的方程为x﹣y+2＝0或x+y+2＝0． （3）证明：以PQ为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0， ， 由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y＝0， 可得x2﹣（x1+x2）x+x1x2+y1y2＝0， 由（2）可得，， 而， ， 所以，即（3m2﹣1）x2﹣4x+5﹣3m2＝0， 即[（3m2﹣1）x+3m2﹣5]（x﹣1）＝0对∀m∈R恒成立， 所以x＝1，所以以PQ为直径的圆经过定点（1，0）． 【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题． 18．（2024•濮阳模拟）已知双曲线分别是C的左、右焦点．若C的离心率e＝2，且点（4，6）在C上． （1）求C的方程． （2）若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【考点】双曲线的定点及定值问题．版权所有 【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息、离心率公式以及a，b，c之间的关系，列出等式求出a和b的值，进而可得C的方程； （2）设出直线l的方程，将直线l的方程与双曲线方程联立，将|AF2|和|BF2|用坐标表示出来，利用韦达定理将表述出来，再进行化简求解即可． 【解答】解：（1）不妨设双曲线C的半焦距为c（c＞0）， 因为双曲线C的离心率e＝2，且点（4，6）在C上， 所以，解得， 则C的方程为； （2）为定值，理由如下： 由（1）知F2（4，0）， 不妨设直线l的方程为x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2+24my+36＝0， 此时， 因为， 所以， 同理得， 因为直线l过点F2且与C的左、右两支分别交于A，B两点， 所以A，B两点在x轴同侧， 此时y1y2＞0， 即3m2﹣1＞0， 解得， 则 ． 故，为定值． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 19．（2024•荔湾区校级模拟）已知双曲线的两条渐近线分别为l1：y＝2x和l2：y＝﹣2x，右焦点坐标为为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线y＝4x﹣6与双曲线的右支交于点A1，B1（A1在B1的上方），过点A1，B1分别作l2，l1的平行线，交于点P1，过点P1且斜率为4的直线与双曲线交于点A2，B2（A2在B2的上方），再过点A2，B2分别作l2，l1的平行线，交于点P2，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点． 证明：①P1，P2，⋯，Pn共线； ②为定值，1≤i≤n﹣1，i∈N*． 【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．版权所有 【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算． 【答案】（1）； （2）①证明过程见解析； ②证明过程见解析． 【分析】（1）根据渐近线方程与焦点坐标列方程组求解a，b，即可得双曲线标准方程； （2）①设斜率为4，与双曲线右支相交于Ak，Bk两点的直线方程为y＝4x+mk，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线AkPk与直线BkPk的方程，联立两直线可得坐标关系，从而证得结论； ②设Pi坐标为（xi，xi），直线Ai+1Bi+1方程为y＝4x﹣3xi，结合①中坐标关系，利用两点之间的距离公式可得结论． 【解答】解：（1）因为双曲线C的两条渐近线分别为l1：y＝2x和l2：y＝﹣2x，右焦点坐标为， 所以， 解得a＝1，b＝2， 则双曲线的标准方程为； （2）①证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于Ak，Bk两点的直线方程为y＝4x+mk，1≤k≤n，k∈N*， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根， 所以， 由韦达定理得， 易知直线AkPk的方程为， 因为， 即， 直线BkPk的方程为， 因为， 即， 联立， 两式相加得， 则， 因为， 易知， 则P1，P2，⋯，Ps都在直线y＝x上， 所以P1，P2，⋯，Pn共线； ②证明：由①得，设Pi（xi，xi），直线Ai+1Bi+1方程为y＝4x﹣3xi， 此时mk＝﹣3xi， 易知，， ． 故． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 20．（2024•成都模拟）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F．过点F的直线与双曲线C相交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为S，且直线AM，BS的斜率之积为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）直线BM，BN分别与直线x＝1相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过定点，并求出定点的坐标． 【考点】直线与双曲线的综合．版权所有 【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算． 【答案】（1）；（2）证明见解答，定点为． 【分析】（1）设M（x1，y1），S（x1，﹣y1），运用直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，化简可得a＝2，进而得到双曲线的方程； （2）设N（x2，y2），直线MN：x＝my+3，联立双曲线的方程，运用韦达定理，令x＝1，分别求得P，Q的坐标，以PQ为直径的圆的方程，再令y＝0，可得定点坐标． 【解答】解：（1）设M（x1，y1），S（x1，﹣y1）， ， ∵M（x1，y1）在双曲线上， 可得5a25a2，即5， ∴， 即a2＝4， 解得a＝2． ∴双曲线C的标准方程为． （2）证明：设N（x2，y2），直线MN：x＝my+3， 由消去x，． 即5（my+3）2﹣4y2＝20， 化简得（5m2﹣4）y2+30my+25＝0， 则， ∴， 直线， 令x＝1，解得，同理可得， ∵以PQ为直径的圆的方程为， 由对称性可得，若存在定点，则定点一定在x周上， 令y＝0，得， ∴ ， ∴， 即或， 解得或， ∴以PQ为直径的圆恒过点． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 考点卡片 1．根据双曲线的几何特征求标准方程 【知识点的认识】 双曲线的几何特征包括焦距、顶点和渐近线．顶点在坐标轴上，焦点间距2c，常数2a是双曲线上任意一点到两个焦点的距离差． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：利用几何特征a和b的关系求解． 2．代入标准方程：代入得到双曲线的标准方程． 【命题方向】 ﹣根据双曲线的几何特征（如焦点、顶点），确定标准方程． ﹣通过几何特征推导方程． 2．双曲线的几何特征 【知识点的认识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e（e＞1） 准线 x＝± y＝± 渐近线 ±0 ±0 3．求双曲线的离心率 【知识点的认识】 双曲线的离心率e是，其中是焦距的一半． 【解题方法点拨】 1．计算离心率：利用公式计算离心率． 2．求解参数：从双曲线方程中提取参数． 【命题方向】 ﹣给定双曲线的参数，求离心率． ﹣根据离心率计算双曲线的标准方程． 4．双曲线相关动点轨迹 【知识点的认识】 动点轨迹是指在双曲线上的点的运动轨迹．可以通过方程描述动点的位置变化． 【解题方法点拨】 1．确定轨迹方程：根据动点的位置变化描述轨迹． 2．分析性质：分析动点轨迹的几何性质． 【命题方向】 ﹣给定动点的条件，描述双曲线上的轨迹． ﹣分析轨迹方程及其性质． 5．直线与双曲线的综合 【知识点的认识】 直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则： 直线与双曲线相交⇔Δ＞0； 直线与双曲线相切⇔Δ＝0； 直线与双曲线相离⇔Δ＜0； 直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点． 【解题方法点拨】 （1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况： ①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切． （2）弦长的求法 设直线与双曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则|AB|（k为直线斜率） 注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 【命题方向】 双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助． 6．直线与双曲线的位置关系及公共点个数 【知识点的认识】 直线与双曲线的交点数量取决于它们的方程．可以通过联立方程求解交点数量． 【解题方法点拨】 1．联立方程：将直线方程和双曲线方程联立． 2．求解交点：通过解方程得到交点的数量． 【命题方向】 ﹣给定直线方程和双曲线方程，求交点数量． ﹣分析直线与双曲线的交点情况． 7．由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数 【知识点的认识】 根据直线与双曲线的交点数量，推导双曲线的方程或参数．公共点的个数可以帮助确定双曲线的方程． 【解题方法点拨】 1．分析公共点个数：根据交点数量求解双曲线的参数． 2．求解方程：利用交点情况确定方程参数． 【命题方向】 ﹣给定交点数量，求解双曲线的标准方程或参数． ﹣分析直线与双曲线的交点数量． 8．双曲线与平面向量 【知识点的认识】 双曲线与平面向量的关系涉及到向量在双曲线方程中的应用，如切线和法线的计算． 【解题方法点拨】 1．向量计算：利用向量计算双曲线上的切线和法线． 2．应用方程：将向量应用到双曲线的方程中． 【命题方向】 ﹣给定向量，计算双曲线上的相关向量性质． ﹣利用向量分析双曲线的性质． 9．双曲线的定点及定值问题 【知识点的认识】 定点问题指的是在双曲线上或双曲线的相关几何位置上找定点，定值问题指的是求双曲线上的定值． 【解题方法点拨】 1．找定点：确定双曲线上的定点． 2．计算定值：通过双曲线方程计算相关值． 【命题方向】 ﹣给定双曲线条件，求定点或定值问题． ﹣分析定点和定值的几何意义及计算方法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/30 10:20:37；用户：组卷37；邮箱：zyb037@xyh.com；学号：41419 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$