精品解析：江苏省无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试题

无锡市玉祁高级中学2024－2025学年秋学期期中检测 高一数学 时间：120分钟总分150分 命题人：刘广科 审核人：蒋志丽 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合，，得． 故选：A 2. 函数的单调增区间是（ ）. A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 3. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数及单调性列出满足的条件求解即可. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得， 故选：A 4. 已知函数，若，则 A. -26 B. 26 C. 18 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】令,利用为奇函数整体代换,进行求解. 【详解】令,由得为奇函数, 则由得,所以, 所以. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数整体代换思想,利用函数奇偶性求函数值的问题,属于一般难度的题. 5. 已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据命题是假命题得到对应的真命题，然后利用判别式完成计算，从而确定出的可能范围. 【详解】因为命题是假命题， 所以可知“,”为真命题， 所以，所以， 又因为“”可以推出“”， “”可以推出“”， 故选：BCD. 6. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 7. 已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，当即时，在上单调递减， 函数是定义域上的减函数，则，解得. 故选：A. 8. 定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，结合题设，判断函数的单调性，继而分类讨论求解不等式，可得答案. 【详解】不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ①当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ②当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小周给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等关系成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：，当时，，A选项错误； B选项：，即，又，即，所以，B选项正确； C选项：，即，又，即，所以，所以，C选项正确； D选项：，即，又，即，所以，无法判断与是否异号，D选项错误； 故选：BC. 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式一一判断计算可得． 【详解】正实数，满足，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项A正确； ， 当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项B正确； ，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故选项C错误； ， 当且仅当时取等号，所以有最小值，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取， ，且，则，， 根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确； 对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确； 对于C选项，任取， ，且，则，， 所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误； 对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的化简与运算直接得出结果. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质，结合在时的解析式即可得解. 【详解】因为当时，， 所以当时，，则， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 因此当时，. 故答案为：. 14. 若对，，使不等式成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，故． 恒成立， 函数图象的对称轴为， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合，可得或， 所以； 【小问2详解】 由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 16. 已知二次函数.其中， （1）若在区间上是单调递减，求的取值范围； （2）若函数在区间的最小值为2，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数在区间上的单调性可得，解之即可求解； （2）分类讨论当、、时的单调性，求出对应的最小值，建立方程，依次求解判断即可. 【小问1详解】 二次函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上单调递减，则，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 因，二次函数的图象对称轴为， 当即时，函数在区间上单调递减，，得，不符合题意； 当即时，函数在区间上单减，在上单增， ，得，不符合题意； 当即时，函数在区间上单调递增， ，解得，符合题意. 综上，， 所以当函数在区间上的最小值为2时，实数. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 18. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 【答案】（1） （2）生产万台时，年利润最，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合利润=销售收入-成本，即可得到年利润关于年产量的函数解析式为； （2）由（1）知，当时，，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，年利润关于年产量的函数解析式为： 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 所以，当年生产万台时，年利润取得最大值，最大利润为万元. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； （3）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再利用不动点的定义求解； （2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解； （3）由题意得到，进而得到，利用对勾函数的性质求解. 【小问1详解】 解：当时，， 设为不动点，因此， 解得或， 所以为函数的不动点. 【小问2详解】 因为恒有两个不动点， 即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意恒成立. 令， 则， 解得. 【小问3详解】 因为， 所以， 设，因为，所以， 由P函数性质得在上单调递增， 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市玉祁高级中学2024－2025学年秋学期期中检测 高一数学 时间：120分钟总分150分 命题人：刘广科 审核人：蒋志丽 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调增区间是（ ）. A. B. C. D. ， 3. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 4. 已知函数，若，则 A. -26 B. 26 C. 18 D. 10 5. 已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（     ） A. B. C. D. 6. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小周给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等关系成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值2 D. 有最小值 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______. 14. 若对，，使不等式成立，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知二次函数.其中， （1）若在区间上是单调递减，求的取值范围； （2）若函数在区间的最小值为2，求的值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 18. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； （3）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $