浙江省温州市瑞安市部分学校2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件是必然事件的是(    ) A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2.已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在(    ) A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 3.不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是(    ) A. B. C. D. 4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. 正三角形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形 5.如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为、、和、、，若：：，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.为了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为(    ) 看书数量本 人数人 A. ， B. ， C. ， D. ， 7.下列命题正确的是(    ) A. 平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B. 垂直于弦的直线平分弦 C. 平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D. 平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 8.如图，线段是半圆的直径．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交半圆于点，交于点，连接，，若，则的长是(    ) A. B. C. D. 9.若点在抛物线上，其中，则不等式的解为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 10.已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 发芽种子个数 发芽种子频率 根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为          精确到． 12.如图，绕点逆时针旋转得到，若，则           度． 13.已知线段，，则，的比例中项线段长是          ． 14.将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新抛物线解析式是          ． 15.已知的直径，是的弦，，垂足为点，，垂足为点，且，则的长为______． 16.如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点顺时针旋转后，点与点对应，点与点对应，当边与原三角板的一边平行时，则点与点的距离为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知抛物线经过点，． 求该抛物线的对称轴． 自变量在什么范围内时，随的增大而减小？ 18.本小题分 四张卡片上分别标有，，，，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀，任意从盒子里抽取一张卡片，不放回，再任意抽取第二张卡片． 请用画树状图或列表的方式求出抽取的两张卡片数字和大于等于的概率； 若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 19.本小题分 如图，已知抛物线经过点，． 求抛物线的表达式． 利用函数图象，求当时，的取值范围． 20.本小题分 如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． 求证：点为弧的中点； 若，，求的直径． 21.本小题分 某商店购进一种商品，每件商品进价元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量件与每件销售价元的关系数据如下： 已知与满足一次函数关系，根据上表，求出与之间的关系式； 设该商店每天销售这种商品所获利润为元，求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？ 22.本小题分 如图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离米与小球飞行的高度米的变化规律如下表： ，；小球的落点是，求点的坐标． 小球飞行高度米与飞行时间秒满足关系，求的值． 23.本小题分 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， 求圆弧所在的圆的半径的长； 当洪水泛滥到跨度只有米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有米，即米是否要采取紧急措施？ 24.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为． 求点的坐标； 如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； 如图，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案． 【详解】解：、明天早上会下雨，是随机事件，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，故此选项符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，故此选项不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握：点在圆外；点在圆上；点在圆内是解题的关键．根据点与圆的位置关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ，即点在内． 故选：． 3.【答案】  【解析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：袋子中装有个红球，个绿球，每个球被摸到的概率相同， 从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故选：． 4.【答案】  【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：两条直线和被三条平行线所截， ， 又：：，， ， ． 故选：． 由两条直线和被三条平行线所截，利用平行线分线段成比例定理，可得出，再结合：：，，即可求出的长． 本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由题意可知，假期里该班学生看书数量的平均数本， 看书数量为本的有人，人数最多， 众数为本， 故选：． 直接根据平均数及众数的定义求解即可． 本题考查了众数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式． 7.【答案】  【解析】解：、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：． 根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图，连接． 根据作图知垂直平分， ，， ， ， 即， 线段是半圆的直径， ， 在中，根据勾股定理得，， 故选A． 根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角定理的推论得，根据勾股定理即可得． 本题考查了作图基本作图，圆，勾股定理，圆周角定理的推论，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 9.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：点在抛物线上， ， ， ， ， ， 又， 或， 或， 故选：． 10.【答案】  【解析】本题考查二次函数的图象及性质． 将二次函数的解析式配方成顶点式，可得出抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，当时，取得最小值，由已知“当时，总有”根据抛物线的对称性和增减性分类讨论若时，若时，分别求出的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线， 当时，取得最小值， 当时，总有， ， 若，则当时，， 即有， 解得：； 若，则当时，， 即有 解得：，不合题意， 这种情况不存在， 综上所述，当时，总有，则． 故选： 11.【答案】  【解析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右，从而得到结论． 【详解】解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右， 该植物的种子发芽的概率为， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】设线段，的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，求得的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设线段，的比例中项为， 是长度分别为、的两条线段的比例中项， ， 即， 负数舍去， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】本题考查的是抛物线的平移．按照抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新抛物线的解析式是即． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：如图，作于，连接，延长交于，连接． ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ． 故答案为． 如图，作于，连接，延长交于，连接证明，利用勾股定理求出，再利用三角形的中位线定理求出即可解决问题． 本题考查垂径定理，勾股定理，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16.【答案】或  【解析】解：中，，， ， 由旋转性质可得：， 如图所示， 将三角板绕着点顺时针旋转 后，， 此时； 如图所示， 将三角板绕着点顺时针旋转后，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：或． 据题意画出图形，分将三角板绕着点顺时针旋转 及两种情况讨论，进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题． 17.【答案】解：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线； 抛物线的对称轴为直线，，开口向上， 则时，随的增大而减小．  【解析】根据抛物线的对称性以及抛物线与坐标轴的交点，即可求解； 根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得时，随的增大而减小，即可求解． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18.【答案】解：列表如下： --- --- --- --- 所有等可能的情况数有种，其中抽取的两张卡片数字和大于等于的有种， 则抽取的两张卡片数字和大于等于的概率是； 列表如下： --- --- --- --- 所有等可能的情况数有种，其中两张卡片上的数字都为奇数有种，取出的两张卡片上的数字为一奇一偶有种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， ， 这个游戏不公平．  【解析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案； 根据列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，根据概率公式求出甲和乙各获胜的概率，再进行比较，即可得出答案． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】【小题】 解：把，代入，得， 解得， 抛物线的表达式为 【小题】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最小值， 当时，的值为， 当时，的取值范围．   【解析】  本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法求二次函数的表达式；   利用配方法得到，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，当时，有最小值，当时，的值为，从而可得结论． 20.【答案】【小题】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， 点为的中点； 【小题】 解：，， ， 在中，， ， ， ， 的直径为．   【解析】  根据圆周角定理、平行线的性质可得，再根据垂径定理即可证明；   根据垂径定理可得，再用勾股定理解即可． 21.【答案】【小题】 解：设该函数的表达式为，根据题意，得： 解得 与之间的关系式为． 【小题】 解：根据题意，得 ， ， 当时，的值最大， ，符合题意， 当销售单价为元时，获得利润最大，最大利润是元．   【解析】  本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是找到题中的等量关系并列出函数解析式． 待定系数法求解一次函数解析式即可；   根据题意得，计算求出满足要求的解即可． 22.【答案】【小题】 解：根据小球飞行的水平距离米与小球飞行的高度米的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为， 解得： 二次函数解析式为： 当时， 解得：或舍去， 当时， 故答案为：，； 联立得： 解得：或 点的坐标是； 【小题】 解：由题意可知小球飞行最大高度为米， 解得：，负值舍去， 的值为．   【解析】  本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式等知识，从图象和表格中获取数据是解题的关键． 由抛物线的顶点坐标为可建立过于，的二元一次方程组，求出，的值即可； 联立两函数解析式求解，可求出交点的坐标；   根据题意可知最大高度为米，将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得值． 23.【答案】【小题】 连接， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得，； 【小题】 连接， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ． ， 不需要采取紧急措施．   【解析】  连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；   连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 24.【答案】【小题】 点在抛物线的图象上， ， 点的坐标为； 【小题】 过作于点，过点作轴交于点，如图： ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； 【小题】 存在． 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为 分三种情况：当为平行四边形的边时，如图， ，， ，即 解得，． 点的坐标为 当为平行四边形的边长时，如图， 方法同可得，， 点的坐标为； 当为对角线时，如图， ，， 线段的中点的坐标为，即 ，解得，。 点的坐标为 综上，点的坐标为：或或．   【解析】  把点的坐标代入，求出的值即可；   过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得，再根据二次函数的性质求解即可；   分当为平行四边形的边，当为平行四边形的边，当为对角线三种情况讨论求解即可． 第2页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$