山西省2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

山西省2024-2025学年度九年级阶段评估（A） 数学 上册第21~22章 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 56 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 6. 用配方法解一元二次方程，则方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税万元．若该公司这两年缴税的年平均增长率是x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在一片广袤的森林里，有一只机灵的猴子渴望爬到一棵大树的顶端．为了实现这个目标，它得借助一根连接地面和大树顶端的藤蔓．已知大树顶端距离地面的高度为米，猴子站立的位置距离大树底端的水平距离为米，则这根藤蔓的长至少是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 10. 已知关于x的一元二次方程（），若，且方程有一个根大于2，则另一个根是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 无法确定 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 已知实数x，y满足，则的值为__________． 13. 意大利数学家斐波那契曾经研究了一列数，该数列（按照一定的顺序排列的一列数）中的第n（）个数可以用来表示，该数列也被称为“斐被那契数列”，则“斐波那契数列”中的第一个数__________． 14. 定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为______． 15. 小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请利用小明发现的方法，化简______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程：． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 18. 如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． （1）图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． （2）求图1中阴影部分图形的周长和面积． （3）小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 19. 山西平遥古城是著名的旅游胜地．某旅游纪念品店在旅游旺季销售一种具有山西特色的手工刺绣手帕．已知该手帕的进价为每件元，根据市场调查，当销售单价为元时，平均每天能售出件；而销售单价每提高元，平均每天的销售量就减少件．要使每天的销售利润恰好达到元，这种手工刺绣手帕的销售单价应定为多少元？ 20. 小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． （1）（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组 研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】 （1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是． （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：． 【概念理解】 （1）的有理化因式是__________． （2）后分母有理化的结果为__________． 任务： （1）直接写出研究报告中“______”处空缺的部分分别是__________、__________． （2）利用分母有理化比较与的大小． （3）计算：． 22. 综合与实践 【方法研究】 配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性来解决某些问题． 例：求代数式的最大值 解：原式． ， ， 的最大值为． 【探索探究】 （1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的周长． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得．我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”．已知代数式的最小值是勾系一元二次方程的一个根，且四边形的周长为，试求四边形的面积． 23. 综合与探究 如图，在菱形中，对角线和相交于点O，且，的长为关于x的一元二次方程的两个根（），菱形的边长为． （1）用含k的代数式表示方程的两个根， （2）求菱形的面积． （3）如图，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动，同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着运动．当点P运动到，点C时，点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 山西省2024-2025学年度九年级阶段评估（A） 数学 上册第21~22章 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】19 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】## 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1）；（2）， 【17题答案】 【答案】（1） 证明：由题意得，． ∴该方程总有实数根； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 （3） 【19题答案】 【答案】这种手工刺绣手帕的销售单价应定为元或元 【20题答案】 【答案】（1） （2） 小明的说法对． 理由：依题意，得． ， 与是同类二次根式， x的值与属于同类二次根式， 故小明的说法对． 【21题答案】 【答案】（1）； （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1）；2；（2）13或14；（3） 【23题答案】 【答案】（1） （2）140 （3）存在，2或3或6 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $