浙江省温州市五校联考2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期五校联考期中教学质量检测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号 3.须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的半径为，点在外，则的长可能是(    ) A. B. C. D. 2.在所在平面内有一点，若，半径为，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 3.对于的图象下列叙述正确的是(    ) A. 顶点作标为 B. 对称轴为：直线 C. 当时随增大而减小 D. 函数的最小值是 4.已知的半径为，点到圆心的距离为，则点(    ) A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 5.一个不透明的袋子里装有个绿球、个黑球和个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是(    ) A. B. C. D.   7.某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．则每星期售出商品的利润单位：元与每件涨价单位：元之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 8.的半径为，是圆外一点，，，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 9.抛物线当时，的最大值与最小值的差为，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 10.如图在给定的中，弦的弦心距，，点在弦上，且，当面积的为最大时，的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每空3分，共21分。 11.抛物线经过点，则           ． 12.如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是          ． 13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是          ． 14.如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，若，，则的长为          ． 15.如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为          ． 16.在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点若，，则 ______填“”或“”；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知，求：的值． 已知线段，，求线段，的比例中项． 18.本小题分 一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，，，． 摇匀后任意摸出个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为____； 摇匀后先从中任意摸出个球不放回，再从余下的个球中任意摸出个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 19.本小题分 已知二次函数，当时，求的最大值和最小值． 20.本小题分 尺规作图问题： 如图，弦交直径于点，连结，，用尺规作弦，，是直径上一点． 小蔡：如图，以为圆心，长为半径作弧，交于另一点，连结，以为圆心，长为半径作弧，交直径于点，连结，则，． 小通：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，以为圆心，长为半径作弧，交直径于点，连结，则，． 小蔡：小通，你的作法有问题． 小通：哦我明白了． 求证：，． 指出小通作法中存在的问题． 21.本小题分 掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 求关于的函数表达式； 根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 22.本小题分 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；抛物线型；圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． 如图，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； 如图，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； 现有一艘宽为米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 23.本小题分 如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，点不与、重合，连接并延长与交于点，连接． 求的长； 若点在，之间点不与点重合，求证：； 若点在，之间点不与点重合，求与满足的关系． 24.本小题分 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图，点为坐标原点，的半径为，点动点在上，连结，作等边为顺时针顺序，求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接． 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； 线段的最大值为          ． 【灵活运用】如图，，点是以为直径的半圆上不同于、的一个动点，以为边在的右侧作等边，求的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了点和圆的位置关系； 根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 的长可能是， 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查了点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与圆的半径进行判定，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．根据题意，点到圆心的距离与圆的半径，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在园内；由此即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离为，圆的半径为， ， ， 点在外， 故选：． 3.【答案】  【解析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标、对称轴、开口方向，进一步可求得其最值及增减性． 【详解】解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为，当时，函数有最大值， 、、不正确； 对称轴为，且开口向下， 当时随的增大而减小， 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 根据的半径和点到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为， ， ， 点在圆内， 故选：． 5.【答案】  【解析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，根据概率公式可知，用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：袋子里装有个绿球、个黑球和个红球，共有个球， 从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：如图任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， 共有个空白处，将处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共处， 构成轴对称图形的概率是， 故选：． 分别将个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：每涨价元，每星期要少卖出件，每件涨价元， 销售每件的利润为元，每星期的销售量为件， 每星期售出商品的利润． 故选：． 由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为件，再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论． 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式． 8.【答案】  【解析】解：过作于，连接，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，过， ， 即， 故选：． 过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可． 本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键． 9.【答案】  【解析】解：， 对称轴为直线， 当时，当时有最小值，当时，有最大值是， 的最大值与最小值的差为， ， 解得：； 当时，当时有最大值，当时，有最小值是， 的最大值与最小值的差为， ， 解得：； 故选：． 利用二次函数的性质分别求得的最大值与最小值，利用已知条件列出关于的方程，解方程即可求得结论． 本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的极值，能分类讨论是解答本题的关键，难度中等． 10.【答案】  【解析】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于确定点的轨迹以及当点三点共线时，最大，则面积最大．过点作于点，则点轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由，，则当点三点共线时，最大，则面积最大，过点作延长线的垂线，垂足为点，过点作于点，由垂径定理得，则，由勾股定理得，显然，则，，故，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点轨迹为以点为圆心，为半径的圆， ，， 当点三点共线时，最大，则面积最大，如图： 过点作延长线的垂线，垂足为点，过点作于点， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， ，， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：． 11.【答案】  【解析】点代入，可得关于的方程，即可求解． 【详解】点代入得： 故答案为： 12.【答案】  【解析】本题考查了坐标与图形，垂径定理的推论，掌握垂径定理的推论，坐标与图形的关系是解题的关键． 根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，分别作的垂直平分线交于点， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：共种情况，正面都朝上的情况数有种，所以概率是． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质，根据三角形的外角性质求出，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：， ， 由同弧所对的圆周角相等得：， ， 故答案为：． 16.【答案】    【解析】解：， 二次函数图象的对称轴为直线，开口向下， ，， ，即比离对称轴直线的水平距离近， ； ，，， ， 对于，，，存在， ，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ， ，且， ，， ，且， 解得， 故答案为：，． 先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 17.【答案】解：， ， ， ：：； 设为线段 ，的比例中项， 则， 即， 由于 ， 故．  【解析】根据比例的基本性质得到，移项得到，于是得到：：； 根据比例中项的定义得到方程，解之可得答案． 本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键． 18.【答案】解：； 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为， 所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．  【解析】【分析】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 直接利用概率公式计算； 画树状图展示所有种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】 解：摇匀后任意摸出个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率； 故答案为：； 见答案． 19.【答案】解：由题意，二次函数为， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，． 当时，的最大值为和最小值为．  【解析】依据题意，由二次函数为，从而当时，取最小值为，结合当时，；当时，，进而可得，最后可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 20.【答案】【小题】 证明：， ． 弦， ． ， ． ， 四边形为平行四边形， ． 【小题】 解：点还可能在上，如图，此时与相交，不满足结论．   【解析】  利用等腰三角形性质得到，根据圆周角定理得到，再结合等量代换和平行线判定得到，最后根据平行四边形的判定和性质，即可推出；   根据“以为圆心，长为半径作弧，”作图可知点还可能在上，此时与相交，即可判断解题． 21.【答案】【小题】 解：当水平距离为时，实心球行进至最高点处， 设， 经过点， ， 解得： ， 关于的函数表达式为； 【小题】 解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下 对于二次函数，当时，有， ， 解得，舍去， ， 该女生在此项考试中是得满分．   【解析】  本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法． 根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数表达式即可；   根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解． 22.【答案】【小题】 解：， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； 【小题】 解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径米； 【小题】 解：若设计成抛物线型时，当时，，  米米， 货船不能顺利通过该桥； 若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥．   【解析】  根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式；   设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径米；   若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； 若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 23.【答案】【小题】 解：如图，连接， 是的直径，弦， ， ，， ， 由勾股定理得， ； 【小题】 证明：如图，连接， 由题意知，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； 【小题】 解：； 如图，连接，   由题意知，垂直平分， ， ， ， ， 由圆内接四边形可得，， ．   【解析】  如图，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可；   连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证；   连接，同理可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 24.【答案】【小题】 解：如图中，结论：， 理由：，都是等边三角形， ，，， ，， ， ； 【小题】 【小题】 以为边向上作等边，连接， ，都是等边三角形， ，， ，即 ， 当在的上方且时，的值最小，即为 连接， ， ． 的最小值为．   【解析】  只要证明≌即可；   当、、共线，有最大值，此时有最大值，据此求解即可； 点坐标为， ， ， 当、、共线，有最大值，的最大值为， 的最大值为；   以为边向上作等边，连接，证明，得到，则当在的上方且时，的值最小，即为，由此求解即可． 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$