专题10二元一次方程组的六种特殊解法（六种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

专题10二元一次方程组的六种特殊解法（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01用整体代入法解二元一次方程组 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想．将方程①代入②，然后去括号即可． 【详解】解：将方程①代入②中，得， 故选D． 【例1-2】（22-23七年级·浙江金华·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x+y＝1③，将③代入②得： (1)请你替小阳补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可； （2）利用整体代入法进行求解即可． 【详解】（1）解：由①得：， 将③代入②得：， 解得， 把代入①得， ， 解得， 故原方程组的解是； （2）整理得， ， 把①代入②得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， 故原方程组的解是． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法 【例1-3】小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小智的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入法求解是解题的关键． （1）直接把①整体代入②求出，进而求出即可； （2）先把原方程整理得到，再把②整体代入①先求出，进而求出即可． 【详解】（1）解： 整理得， 把①整体代入②得，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 整理得， 把②整体代入①得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23七年级·河南鹤壁·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照题干思路直接作答即可． 【详解】， 方程①代入②中，得：， 去括号为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了代入消元的知识，细心计算是关键．去括号时，若括号前是负号，去括号后，括号内的各项均要变号 【变式1-2】（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】解： 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2） 由①得， 将③代入②得：， 解得， 将代入③，得， 解得， 则原方程组的解为． 【变式1-3】（22-23七年级上·吉林长春·期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可； （2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得， 将③代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：； （2）解：， 整理得：， 把③代入④得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 题型02用特殊消元法解二元一次方程组 【典例分析】 【例2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）消去，用加减消元法求解即可； （2）先化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得，③ ，得， 解得． 把号代入①，得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组化简，得 ，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为： 【例2-2】（24-25七年级上·吉林长春·期中）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为： 【例2-3】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先化简方程组为，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 解得：， 把代入，①得 解得：， ∴； （2）解：化简整理，得， 由，得， 解得：， 把代入①，得， ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元的思想方法是解题关键． （1）利用加减消元法即可解决； （2）先将原式化为整式后利用加减消元即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为； （2）解：原方程组整理，得， ，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程(组)： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）方程组利用加减消元法求出解即可； 本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次方程和二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】（1）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 系数化为，得； （2），得， ，得，解得， 把代入，得，解得， 故原方程组的解为． 【变式2-3】（23-24七年级上·全国·单元测试）解下列方程（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先去分母、再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案 （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同除以3，得． （2）解：原方程组化简，得， 由得：， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型03用换元法解二元一次方程组 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元法来解决”．参考他们的讨论，该方程组的解是 . 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键．所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】解：， 方程组中两个方程的两边都除以7，得， ∵方程组的解是， ∴， ∴， 故答案为． 【例3-2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 【例3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 【变式演练】 【变式3-1】（21-22七年级·江苏盐城·阶段练习）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组 ． 【答案】 【分析】根据题意，整体代入即可得出结果． 【详解】解：， 设x+y=u，x−y=v， 则原方程化为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查代入消元法，理解题意是解题关键 【变式3-2】（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______． 【答案】拓展提高：；能力运用： 【分析】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键． 拓展提高：设，，原方程组可变为，求解即可． 能力运用：设，，原方程组可变为，求解即可． 【详解】拓展提高：设，，原方程组可变为， 解方程组，得， ∴， 解方程组，得． 能力运用：设，，原方程组可变为， ∵关于，的方程组的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】（22-23七年级·福建泉州·期中）先阅读下列材料；再解决相关问题： 解方程组 解：设，，原方程组可转化为 解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法． (1)如果用换元法解方程组：，可以设______，______，则该方程组可以转化为关于、的方程组：______； (2)用换元法解方程组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察方程组的特点，可以设，即可解决问题； （2）设，然后根据题目提供的解方程组的方法解答即可． 【详解】（1）解：用换元法解方程组：，可以设， 则该方程组可以转化为关于、的方程组； 故答案为：，； （2）设， 则原方程组可以转化为关于、的方程组， 解这个方程组，得， 即， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、掌握换元法求解的方法是解题的关键． 题型04用同解交换法解二元一次方程组 【典例分析】 【例4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组与方具有相同的解，则a的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】解方程组 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 把代入，得， 所以． 【例4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 联立不含a与b的方程组成新方程组，求出x与y的值，再把x与y的值代入含a与b的方程组成方程组，求出a与b的值即可． 【详解】解：由已知可得解得 把代入方程组得 解得： 故答案为：；． 【例4-3】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值； (3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数，理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可； （2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即可求出a的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m，n的方程得， 解得； （3）解：将代入， 得， 解得：． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·重庆·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则 a 4b 3 的值为（　　） A． 1 B． 6 C． 10 D． 12 【答案】C 【分析】先求出的解，再将解代入中求出，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由解得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，能利用其中系数确定的方程先求出它们的解，再求出其中字母系数的值 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解即可，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再整体代入求出即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：， ∴， 故答案为： 【变式4-3】（21-22七年级·广西桂林·期中）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】100 【分析】由题意可得方程组，则有可求出方程组的解，然后再代入进行求解a、b，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，化简得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查同解方程组的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键 题型05用主元法解方程组 【典例分析】 【例5-1】（22-23七年级·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键． 【例5-2】（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】用将表示出来，代入式子，求解即可． 【详解】解：联立，可得 ，即，解得 将代入可得 ， 故答案为： 【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用将表示出来，并代入代数式求解． 【例5-3】（21-22七年级·江苏无锡·阶段练习）已知x、y、z 满足且xyz≠0，则x：y：z= ． 【答案】5：3：1 【分析】通过解方程组，得到x、y以z表示的代数式，然后将其代入求出x：y：z． 【详解】解：， 由①+②，得3x-15z=0， 得x=5z， 由②×1-①，得9y-27z=0， 得y=3z， 所以x：y：z=5z：3z：z=5：3：1 故答案为：5：3：1 【点睛】本题考查了解三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解方程组较简单． 【变式演练】 【变式5-1】（2023七年级·全国·专题练习）有理数、、满足，则的值是（　　） A． B．3 C．4 D．值不能确定 【答案】C 【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入即可求值． 【详解】解：， ①②得：， ， ②①得：， ， 把，代入得： ， 故本题选：C． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键 【变式5-2】已知x，y，z满足，则 ． 【答案】 【分析】本题侧重考解查三元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键． 把方程两式相加得出，把代入得，进而得到的值． 【详解】解：原方程组变为， 由得， 把代入得， 所以． 故答案为： 【变式5-3】（23-24七年级·全国·期末）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 题型06用设辅助元法解方程组 【典例分析】 【例6-1】解方程组 【答案】 【分析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】由①,设x=2k,则y=3k,代入②式,得k=-3. 则x=-6,y=-9. 所以原方程组的解为 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【例6-2】（2024七年级·江苏·专题练习）用代入法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，由得，设，则，把代入方程即可求出的值，进而求出方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：由得，， 设，则， 将代入方程得， ， 解得， ∴， ∴方程组的解为． 【例6-3】（20-21六年级下·上海静安·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】由①设，把，，代入②，求得，进而即可求得． 【详解】， 由①设， ∴，，， 把，，代入②， ∴，． ∴，，． ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据比例式设参数是解题的关键． 【变式演练】 【变式6-1】用代入法解方程组： 【答案】 【分析】采用先换元，再代入即可作答． 【详解】解：由①，得， 设，则，， 将，代入方程②， 得， 解这个方程得， 即，， 所以原方程组的解是 【点睛】本题考查了利用换元法和代入法解二元一次方程组的知识，掌握换元法，准确换元，是解答本题的关键． 【变式6-2】（21-22八年级上·贵州毕节·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：把①代入到②得：， 解得， 把代入到①得：， ∴方程组的解为； （2） 解：由①设x=3k，y=4k 将x=3k，y=4k代入②得4×3k+5×4k=32解的k=1 即x=3，y=4 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 【变式6-3】（21-22七年级·山东泰安·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把每个方程去分母变形，再用加减消元法消去n，解得m的值，再代入可得n的值； （2）用代入消元法即可解出方程组的解． 【详解】（1） ①×6得：3m+2n=72③， ②×12得：4m-3n=36④， ③×3+④×2得：17m=288， ∴， 把代入③得：， ∴， ∴ （2） 由①设x=2k，y=3k 把x=2k，y=3k代入②得：4×2k-3×3k=3得k= -3 ∴． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法，把二元转化为一元． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组－加减消元法．通过观察所给的方程组中各式子特点，②和③的方程组，可以直接利用加减进行消元． 【详解】解：①宜用代入消元法； ②中，的系数相同，宜用加减消元法； ③中，的系数互为相反数，宜用加减消元法； 故选：C． 2．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）若关于x的方程与有相同的解，则x的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据两个方程有相同的解，可联立方程组，然后解二元一次方程组即可． 【详解】解：联立方程组得， ①②式得 解得：， 则x=-3 故选：D． 【点睛】本题考查了方程的解与解二元一次方程组．解题的关键在于熟练掌握方程的解并正确的解方程组． 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题意，分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：A、当时，代入二元一次方程组得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴，故原选项正确，不符合题意； B、， 得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， 若，则有， 解得，，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、， 得，， 当时，则有， 解得，，故原选项错误，符合题意； D、由B选项可得，， ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 将与的两对值代入中，得到二元一次方程组，解方程组求出与的值，即可求解． 【详解】解：当时，；当时，； ， 解得：， ， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）当时，二元一次方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．先将代入方程可得，再将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得， ∵当时，二元一次方程与有相同的解， 是二元一次方程的解， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①，得③， 将③代入②，得，解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程组．熟练掌握解一元一次方程的步骤和消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）方程整理后，利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 8．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程（组） (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）方程组利用代入消元法求出解即可； 本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得： 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （2）解： 由得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 9．（23-24七年级上·重庆·期末）解方程： (1)解方程： (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）加减法解方程组即可． 【详解】（1）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）解：原方程组化为：， ，得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴原方程组的解为：． 10．（21-22七年级上·广东湛江·阶段练习）已知关于的方程与有相同的解，求的值及相同的解 【答案】6，2 【分析】由已知关于x的方程4x−k＝2与3（2＋x）＝2k的解相同，所以得关于x、k的方程组，解方程组即可． 【详解】解：已知：关于x的方程4x−k＝2与3（2＋x）＝2k的解相同， ∴ ， 解得 ， 所以k的值为6，相同的解为2． 【点睛】此题考查的知识点是同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程组． 11．（22-23七年级·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可． 【详解】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10二元一次方程组的六种特殊解法（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01用整体代入法解二元一次方程组 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级·河北邢台·阶段练习）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（22-23七年级·浙江金华·阶段练习）阅读以下材料： 解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x+y＝1③，将③代入②得： (1)请你替小阳补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【例1-3】小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小智的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23七年级·河南鹤壁·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得，解得． 将代入①，解得． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法解答． 请直接写出方程组的解为________； （2）实践运用： 请用“整体代入法”解方程组：． 【变式1-3】（22-23七年级上·吉林长春·期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 题型02用特殊消元法解二元一次方程组 【典例分析】 【例2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 【例2-2】（24-25七年级上·吉林长春·期中）解方程（组）： (1) (2) 【例2-3】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）解方程组 (1)； (2)． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程(组)： (1)； (2)． 【变式2-3】（23-24七年级上·全国·单元测试）解下列方程（组）： (1)； (2) 题型03用换元法解二元一次方程组 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元法来解决”．参考他们的讨论，该方程组的解是 . 【例3-2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【例3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式3-1】（21-22七年级·江苏盐城·阶段练习）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组 ． 【变式3-2】（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______ 【变式3-3】（22-23七年级·福建泉州·期中）先阅读下列材料；再解决相关问题： 解方程组 解：设，，原方程组可转化为 解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法． (1)如果用换元法解方程组：，可以设______，______，则该方程组可以转化为关于、的方程组：______； (2)用换元法解方程组： 题型04用同解交换法解二元一次方程组 【典例分析】 【例4-1】（2024七年级上·全国·专题练习）若方程组与方具有相同的解，则a的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【例4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【例4-3】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值； (3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级上·重庆·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则 a 4b 3 的值为（　　） A． 1 B． 6 C． 10 D． 12 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【变式4-3】（21-22七年级·广西桂林·期中）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 题型05用主元法解方程组 【典例分析】 【例5-1】（22-23七年级·江苏南通·阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【例5-2】（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知，，则 ． 【例5-3】（21-22七年级·江苏无锡·阶段练习）已知x、y、z 满足且xyz≠0，则x：y：z= ． 【变式演练】 【变式5-1】（2023七年级·全国·专题练习）有理数、、满足，则的值是（　　） A． B．3 C．4 D．值不能确定 【变式5-2】已知x，y，z满足，则 ． 【变式5-3】（23-24七年级·全国·期末）已知，且，求的值． 题型06用设辅助元法解方程组 【典例分析】 【例6-1】解方程组 【例6-2】（2024七年级·江苏·专题练习）用代入法解方程组： 【例6-3】（20-21六年级下·上海静安·期末）解方程组：． 【变式演练】 【变式6-1】用代入法解方程组： 【变式6-2】（21-22八年级上·贵州毕节·期末）解二元一次方程组： (1) (2) 【变式6-3】（21-22七年级·山东泰安·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）若关于x的方程与有相同的解，则x的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 二、填空题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 5．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）当时，二元一次方程与有相同的解，则 ． 三、解答题 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程组：． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）解方程（组）： (1)； (2)． 8．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程（组） (1)； (2)． 9．（23-24七年级上·重庆·期末）解方程： (1)解方程： (2)解方程组： 10．（21-22七年级上·广东湛江·阶段练习）已知关于的方程与有相同的解，求的值及相同的解 11．（22-23七年级·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$