2024-2025学年河南省南阳市宛城区两校联考九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年河南省南阳市宛城区两校联考九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 2.下列各式中，运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列方程一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 4.将方程左边配成完全平方式，得到的方程是(    ) A. B. C. D. 5.  6.已知、是方程的两根，则，分别为(    ) A. ， B. ，10 C. 5， D. 5，10 7.关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8.若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是(    ) A. 2018 B. 2011 C. 2014 D. 2021 9.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为(    ) A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10.如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共23分。 11.请写出一个有一根为的一元二次方程______. 12.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是______. 13.一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______. 14.计算：的结果是______. 15.已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程的一个根，则该三角形的面积是______. 16.计算：______ 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 17.先化简，再求值：，其中 四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题16分 用适当的方法解方程： ； ； ； 用配方法 19.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 若是该方程的一个根，求m的值及另一个根； 若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 20.本小题8分 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦，约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式其中① 我国南宋时期数学家秦九韶约，给出了著名的秦九韶公式② 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积写出计算过程 21.本小题8分 如图，矩形ABCD中，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． 经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ 在运动过程中，的面积能否等于矩形ABCD的面积的四分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 22.本小题9分 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件. 若每件童装降价x元，则每天销售量为______件，每件童装的利润为______元. 每件童装售价多少元时，能使顾客得到实惠并且商家平均每天能盈利1200元. 23.本小题10分 阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务. 倍根方程 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程的两个根是3和6，该方程可化简为，则方程就是“倍根方程”. 任务： 请你再写出一个“倍根方程”______要求化成一般形式； 研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，比较系数可得，，且，消去t可得倍根方程中系数a，b，c满足的关系式是______. 若是倍根方程，求的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意可知： ， 且， 故选： 根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案． 本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 2.【答案】B  【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选： 由二次根式的加减运算、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、是分式方程，故A错误； B、是二元二次方程，故B错误； C、时，是一元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 故选： 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2； 二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 4.【答案】B  【解析】解：移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 即 故选： 根据“配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方”求解即可得到结果. 本题考查了运用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5.【答案】    【解析】  6.【答案】C  【解析】解：、是方程的两根， ，，， ，， 故选： 若、为方程的两个根，则、与系数的关系式：， 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接根据根与系数的关系求解即可． 7.【答案】A  【解析】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选： 根据一元二次方程根的判别式解答即可． 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：关于x的一元二次方程为的解是， ， ， 故选 根据方程解的定义，求出，利用整体代入的思想即可解决问题． 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于基础题，中考常考题型． 9.【答案】C  【解析】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 即参加酒会的人数为11人． 故选： 设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米． 根据题意可得： 故选： 先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积=长宽，列方程即可． 本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：当时，， 所以方程的一个解为 故答案为： 由于时，，则方程满足条件． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 12.【答案】3  【解析】解：由题意可知：， ， 故答案为： 先把化成最简二次根，再根据同类二次根式的定义得出，然后求解即可得出答案． 本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型． 13.【答案】  【解析】解：设这个百分率为， 由题意得：，解得或舍 故答案为： 设这个百分率为，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的应用-百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解： 故答案为： 利用积的乘方的法则及二次根式的相应的法则进行运算即可． 本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 15.【答案】24或  【解析】解：，， 或10， 三角形两边的长是6和8，第三边 第三边 第三边的长为6或 三角形有两种： ①当三边为6、6、8时，三角形为等腰三角形，面积， ②当三边为6、8、10时，三角形为直角三角形，面积 先解出方程的根； 再结合三角形的三边关系判断是否能构成三角形及是否为特殊三角形等； 最后计算三角形的面积． 本题是综合题，涉及知识点较多包括方程、三角形等，而且答案不唯一． 易错点是漏解． 16.【答案】  【解析】解： 故答案为： 首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 17.【答案】解：原式 ， 当时，原式  【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式，再把x的值代入计算． 本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算，得到对应的分式的值． 18.【答案】解：， ， ，； ， 移项，得， 配方，得， ，； ， 移项，得， 或 ，； ， 方程的两边都除以8，得， 配方，得， ，  【解析】利用直接开平方法求解比较简便； 利用配方法或者公式法比较简便； 利用因式分解法比较简便； 先把方程的二次项系数化为1，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，再利用直接开平方法求解即可． 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法的一般步骤是解决本题的关键． 19.【答案】解：将代入一元二次方程，得， 解得 当时，代入原方程，得， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 即m的取值范围是且  【解析】先根据方程的解的定义把代入原方程求出m的值，则可确定原方程变为，然后解方程得到方程的另一根； 根据判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． 20.【答案】解：三边长依次为，，的三角形的面积  【解析】把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可． 本题考查的是二次根式的化简、三角形的面积计算，熟练掌握秦九韶公式是解题的关键． 21.【答案】解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， 厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动， ，， ， 解得：，； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； 根据题意得： ， 整理得：， ， 原方程无解， 不存在的面积等于矩形ABCD的面积的四分之一．  【解析】先设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，根据厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，得出，，再根据三角形的面积公式即可求出答案； 根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在的面积等于矩形ABCD的面积的四分之一的情况． 此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是三角形、矩形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22.【答案】  【解析】解：每件童装降价x元时， 每天可销售件，每件盈利元． 故答案为：，； 根据题意，得： ， 因为让利于顾客，所以符合题意． 售价为元 答：每件童装售价为100元，平均每天盈利1200元． 根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； 根据：总利润=每件利润销售数量，列方程求解可得． 本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 23.【答案】答案不唯一  【解析】解：例如的两个根是5，10， 该方程可化简为， 则就是半根方程， 故答案为：答案不唯一； ，且， ； 故答案为：； ， 或，解得， 方程是倍根方程， 或， 或 当时，； 当时， 综上所述，的值为或 根据例题写出一个半根方程即可； 根据，且，即可求解． 根据因式分解法解一元二次方程，进而根据半根方程的定义求得m，n的关系，代入分式，化简分式即可． 本题考查了新定义，解一元二次方程，求分式的值，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$