浙江省湖州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是(    ) A. B. C. D. 4.如图，点，，在上，，则的大小是(    ) A. B. C. D. 5.如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则(    ) A. B. C. D. 6.已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是(    ) A. B. C. D. 7.如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 9.已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；其中；若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与，交于点，设，(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的值          ． 12.做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上频数 杯口朝上频率 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为          结果精确到 13.一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是          ． 14.如图，、是以线段为直径的上两点位于两侧，，且，则的度数是          ． 15.在半径为的圆中分别是它的两条弦，且，其中，，求此时这两条弦之间距离为          ． 16.在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是           三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如果，且，求的值． 18.本小题分 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，在格点上． 画出过，，三点的圆的圆心； 求的长． 19.本小题分 如图，是的直径，，在上，且位于异侧，，的度数分别为，，请仅用直尺按要求作图． 画出一个大小为的角，并写出该角． 画出一个以为腰的等腰三角形，并写出该等腰三角形． 20.本小题分 如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． 求证：； 若，，求的长度． 21.本小题分 如图，在中，弦，于，于． 求证：． 若的半径为，，，求的长． 22.本小题分 如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连结，，延长，相交于点． 求证：． 若，，求的半径． 23.本小题分 已知二次函数是常数，且 证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； 若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； 若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，其中，是关于的函数．且，当时，求的取值范围． 24.本小题12分 定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解：如图，在中，，点是的中点．试证明：以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究：已知一条抛物线经过轴的两点在的左边，且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展：将抛物线向下平移个单位后得新的抛物线抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为在左侧，把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：圆被等分成份，其中红色部分占份， 落在红色区域的概率． 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点式为， 其顶点坐标为：． 故选： 3.【答案】  【解析】画出树状图，共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果有种，由概率公式即可得出结果． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有种， 则甲被选中的概率为． 故选：． 4.【答案】  【解析】根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：点、、在上，， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求得，再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角求解． 【详解】解：， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将点代入据此及可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的函数表达式为； 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为， 故选： 7.【答案】  【解析】解：如下图，连接， 是劣弧的中点， 即弧弧， ， ， ， ， ， 即． 故选：． 首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， ， ，所以选项A正确，不合题意； 抛物线与轴有个交点， ，所以选项B正确，不合题意； 抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以选项C不正确，符合题意； 时，， ，所以D正确，不合题意． 故选：． 用抛物线的对称性可确定点坐标为，则可对选项A进行判断；利用根的判别式的意义和抛物线与轴有个交点可对选项B进行判断；由抛物线开口向下得到，再利用对称轴方程得到，则可对选项C进行判断；利用时，，即和可对选项D进行判断． 本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．也考查了二次函数的性质． 9.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得： ， 解得， ，故正确； 抛物线开口方向向下， ， ，， ，故错误； ．， ， 又，， ， 即其中，故正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 当时，随的增大而减小， ， ，故错误， 故选：． 根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断正确，错误，根据．，，，可以得到，从而得到正确；根据抛物线的增减性可以判断出错误，问题得解． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 10.【答案】  【解析】解：连接，设的度数为， 则， 为直径， ， ， ， ，， ， 解得：， 即的度数为， A、当时，的度数是，故本选项错误； B、当时，的度数是，故本选项正确； C、当时，即，的度数是，故本选项错误； D、当时，即，的度数是，故本选项错误； 故选：． 连接，根据圆周角定理求出，，再根据三角形外角性质得出，得到的度数为，再逐个判断即可． 本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 11.【答案】答案不唯一  【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数，据此求出的范围，得到合适的值． 【详解】解：因为抛物线的开口向上， 所以，即，故的取值范围是， 则可以取． 故答案为：答案不唯一． 12.【答案】  【解析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为， 故答案为： 13.【答案】  【解析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：红球个，白球个，黑球个， 取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为， 取得白球的概率与不是白球的概率相同， ， ， 当时，原分式方程有意义， 与的和是， 故答案为：． 14.【答案】度  【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据，只要求出即可． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15.【答案】或  【解析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是分情况讨论． 连接、，过点作于，交于，则，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出、，即可得出答案． 【详解】解：连接过点作于，交于， 当和在圆心的同侧时，如图所示， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 则； 当和在圆心的两侧时，如图所示， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 则． 故答案为：或． 16.【答案】或  【解析】分，两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求的取值范围． 【详解】设线段所在的直线解析式为： 点，点， 解得， 抛物线与线段有两个不同的交点， 令，则 当时， 解得： 当时， 解得： 综上所述：或． 故答案为：或． 17.【答案】解：令， ，，， ， ， ， ，，， ．  【解析】令，从而表示出，，再代入，即可求出的值，于是可以解决问题． 本题考查比例的有关知识，设，是解题的关键． 18.【答案】解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 由勾股定理得，．  【解析】连接，，分别作线段，的垂直平分线，交点即为过，，三点的圆的圆心． 利用勾股定理计算即可． 本题考查作图应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键． 19.【答案】解：如图，； 如图：等腰为所求；   【解析】由的度数为，可知它所对的圆周角度数为，由此即可解题； 由的度数为，是的直径，可得的度数为，进而可得，，延长交与点即可得到，从而可得等腰三角形． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 20.【答案】证明：平分， ， ，， ， ； 解：连结、，如图， ， 为等边三角形， ， ， 的长度  【解析】先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，利用圆周角定理得到，所以，从而得到结论； 连结、，如图，利用的结论得到，则为等边三角形，所以，，根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求解． 本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． 21.【答案】【小题】 证明：， ，， 即， ． 【小题】 解：连接，如图所示： ，， ． 由勾股定理，得． 同理可得． ．   【解析】  本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； 由题意易得，进而问题可求证；   连接，由勾股定理，得根据垂径定理可进行求解． 22.【答案】【小题】 证明：为的中点， ， ， 是的直径， ， ， ； 【小题】 解：连结，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径，则， ， ， ， 整理得， 解得舍去，  的半径为．   【解析】  本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是综合运用以上知识解决问题； 根据垂径定理的推理可知，由直径对直角可知，进而可证明；   连结，则，利用等腰三角形的性质可证，由平行线的性质可得，进而可证，设的半径，由勾股定理可知，进而可得方程，解方程即可． 23.【答案】【小题】 证明：在二次函数中， ， 不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； 【小题】 解：，是该二次函数图象上的两个不同点， 当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点， 二次函数对称轴为， ， 解得，， 二次函数解析式为：； 【小题】 解：令，则， ， ， ， 解得，，， ， ， 如图所示， 当时，， 解得，， 当时，或．   【解析】  本题主要考查二次函数与轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键． 根据二次函数与轴交点的判定方法进行判定即可；   当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出的值，代入即可求解；   分别用含的式子表示出，再代入，得到是关于的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解． 24.【答案】【小题】 解：证明：，点是的中点， ， 抛物线以为顶点与轴交于两点， ， ， 是等边三角形， 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 【小题】 且，点在轴上且在的左边， 一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， 是等边三角形， ，， 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， ， ， 当时，设抛物线解析式为， 把点代入得： ， ， 综上所述，这条抛物线的解析式为或； 【小题】 抛物线， 向下平移个单位后得抛物线， ，，， ， 是等边三角形， 第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与相同，第三次翻滚得， 即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为：， ， 第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标．   【解析】  由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得，即证得是等边三角形；   设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式；   根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边，所以即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，能被整除，代入即能求此时点坐标； 本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第2页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$