第25讲函数y=Asin（ωx+φ）（3个知识点+1个要点+5种题型+3个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第25讲函数y=Asin（ωx+φ） （3个知识点+1个要点+5种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：五点法作图 “五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤． 第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值． 知识点2：参数φ，ω，A对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响 φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点3：三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图． 注意点： (1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响． (2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． 要点：由函数的图象确定函数的解析式 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)，或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，求得φ. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 题型1：利用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象 【例题1】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    【变式1】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数．    填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 【变式2】（22-23高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数． 填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； 0 【变式3】（高一上·湖北武汉·期末）某同学用“五点法”画函数的图象 ,先列表,并填写了一些数据,如表： 0 （Ⅰ）请将表格填写完整; （Ⅱ）画出函数在一个周期内的简图; （Ⅲ）写出如何由的图象变化得到的图象. 题型2：三角函数的图象变换 【例题2】（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式2】（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象是由的图象经过怎样的变换得到的？ 题型3：由函数的图象确定函数的解析式 【例题3】（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·天津·期末）设函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 【变式2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数 ()的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)求的值. 【变式3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 题型4：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的综合应用 【例题4】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．函数的图象关于点中心对称 【变式1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为奇函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 【变式2】（23-24高一上·天津·期末）如图为函数的部分图象，且当时，恰有5条对称轴，则的取值范围是 ． 【变式3】（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数的部分图象如图所示： (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在的最值和对称轴方程. 题型5：：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与三角恒等变换 【例题5】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）函数的最小值为 ，此时x的值为 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）回答下面两题： (1)求函数，的单调减区间. (2)求函数，的单调增区间. 易错点1：混淆了ω对图象的影响而致错 【例题1】（21-22高一上·广东深圳·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【变式1】（高一上·重庆·阶段练习）将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为（） A． B． C． D． 【变式2】（高一上·全国·课后作业）把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，最后把图像向左平移个单位长度，则所得图像表示的函数的解析式为（） A． B． C． D． 【变式3】（高一·全国·课后作业）函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则的值为 ． 易错点2：不理解“左右平移是对自变量x而言的”而致错 【例题2】（24-25高一上·全国·随堂练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·山西运城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 ． 【变式3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递减区间； (2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 易错点3：忽视三角函数名互异而致错 【例题3】（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式1】（22-23高一上·山东临沂·期末）为了得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．左移个单位长度 B．左移个单位长度 C．右移个单位长度 D．右移个单位长度 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）为了得到的图象只需将函数的图象 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到的图象，只要将的图象向 平移 个单位长度. 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（    ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则的图象（    ） A．与的图象相同 B．与的图象关于y轴对称 C．向左平移个单位长度，得的图象 D．向右平移个单位长度，得的图象 5．（24-25高一上·全国·课后作业）为了得到函数的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）将函数（）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A．函数的单调增区间为 B．若，则的最小值为 C．函数在区间内有个零点 D．函数在 上的值域为 10．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点成中心对称 11．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B．图象的对称轴过图象的对称中心 C．在上，与都单调递减 D．和图象的交点为 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）的图象纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到 的图象. 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到 的图象． 14．（23-24高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数在内的单调增区间. （2）求函数，的单调减区间. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 17．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数 (1)求的最小值和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 18．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数 ，且 (1)求，并作出函数在的图象； (2)求函数在区间的最值及对应的的值. 19．（22-23高一上·北京密云·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)求函数在区间上的最值及对应的x的取值； (3)当时，写出函数的单调区间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲函数y=Asin（ωx+φ） （3个知识点+1个要点+5种题型+3个易错点+过关检测） 知识点1：五点法作图 “五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤． 第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值． 知识点2：参数φ，ω，A对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响 φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点3：三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图． 注意点： (1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响． (2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． 要点：由函数的图象确定函数的解析式 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)，或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，求得φ. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 题型1：利用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象 【例题1】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    【答案】表格见解析，图象见解析 【分析】首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来即可. 【详解】 x 0 0 0    【变式1】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数．    填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 【答案】表格及图象见解析 【分析】直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； 【详解】，列表如下： 0 x 0 1 0 0 图象如图：    【变式2】（22-23高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数． 填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； 0 【答案】填表见解析；作图见解析 【分析】用“五点法”填表并画出在上的图象即可； 【详解】由题意可得表格如下： 0 0 0 可得图象如下图所示： 【变式3】（高一上·湖北武汉·期末）某同学用“五点法”画函数的图象 ,先列表,并填写了一些数据,如表： 0 （Ⅰ）请将表格填写完整; （Ⅱ）画出函数在一个周期内的简图; （Ⅲ）写出如何由的图象变化得到的图象. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【分析】（Ⅰ）根据正弦函数的五个关键点即可求出； （Ⅱ）由（Ⅰ）中五点，在坐标系中描出，连线即可画出简图； （Ⅲ）根据三角函数图像变换法则即可写出； 【详解】（Ⅰ）根据正弦函数的五个关键点可得， 0 0 2 0 -2 0 （Ⅱ）函数在一个周期内的简图如下： （Ⅲ）将的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大到原来的3倍，然后横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，即得 的图象． 【点睛】本题主要考查利用五点作图法作正弦型函数的简图，以及三角函数图像变换法则的应用，属于基础题． 题型2：三角函数的图象变换 【例题2】（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象平移“左加右减”的原则，直接推出平移后的函数解析式即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：． 故答案为：C． 【变式1】（24-25高一上·全国·随堂练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用正弦函数图象变换规律，即可得出结论. 【详解】要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度; 故选：C 【变式2】（23-24高一上·吉林长春·期末）已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①② 【分析】首先根据周期求得，然后由三角函数的单调性、对称性、值域等知识确定正确答案. 【详解】根据题意，的最小值是，所以， 所以，函数的最小正周期是，①正确； 由上可知，， 所以函数的图象关于直线对称，所以②正确； ， 所以不是的对称中心，所以③错误； ， 所以函数的图象可由图象向右平移个单位得到，④错误. 故答案为：①②. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象是由的图象经过怎样的变换得到的？ 【答案】答案见解析 【分析】利用平移和伸缩变换，先平移后伸缩求解即可. 【详解】先把函数的图象向右平移个单位长度，得的图象； 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得的图象； 然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍（横坐标不变） 得函数的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度， 得函数的图象 题型3：由函数的图象确定函数的解析式 【例题3】（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得周期，继而可求出，把点代入解析式可求出. 【详解】由， ，解得， 由， 所以， 则， 或1时，或， 又，而， 所以、可以取的一组值是，. 故选：. 【变式1】（23-24高一上·天津·期末）设函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】由图象可得，，求出周期，再利用周期公式求出，然后将代入函数解析式中结合可求出的值，从而可求出函数解析式. 【详解】由图象知，， 又，， 所以，得． 所以， 将点代入，得， 即，又， 所以． 所以． 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数 ()的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可得，，进而得到，将点代入的解析式可得，进而求解； （2）结合诱导公式直接代值计算 【详解】（1）由图象知，的最小正周期 ， 故，将点代入的解析式得 ， 又，所以， 故函数的解析式为. （2）由（1）知， 所以 【变式3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）如图是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解； （2）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. （2）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得，故实数a的取值范围是. 题型4：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的综合应用 【例题4】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】D 【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，即求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项判断. 【详解】由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1， 所以． 则函数的周期为4，由，，可得， 又，所以，则， 将点代入，得， 则，．而，则， 所以, 则，A错误； ，B错误； 若，则，显然函数不是单调的，C错误； ， 所以函数的图象关于点中心对称，D正确. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为奇函数 C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】D 【分析】根据函数图象求得，然后根据三角函数的对称性、单调性、奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题可知，又因，所以，则， ，则，，所以，， 由于，所以，所以，则. 对A：，故A错误； 对B：为偶函数，故B错误； 对C：，则，函数不具有单调性，故C错误； 对D：当时，，则是函数的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·天津·期末）如图为函数的部分图象，且当时，恰有5条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由图象先求得及其周期，从而可得，再由其最大值计算可得，从而可得函数的解析式，再借助正弦函数的性质计算即可得. 【详解】由题意，根据函数的部分图象， 可得，，所以，又， 则，即， 又由，即， 解得，即， 又因为，所以，所以， 由时，恰有5条对称轴， 即函数在上恰有5条对称轴， 则有，解得. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数的部分图象如图所示： (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在的最值和对称轴方程. 【答案】(1)，对称中心的坐标为（） (2)最大值2；最小值， 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求解，根据最高点求出，可得的解析式，再根据正弦函数的性质求出对称中心即可； （2）先根据三角函数图象变换法则求出，然后根据正弦函数的性质求解最值和对称轴即可. 【详解】（1）由图象可知：，可得， 又由于，可得，所以， 由图象知，即， 又因为，所以，所以. 所以， 令（），得（）， 所以的对称中心的坐标为（）. （2）将的图象向右平移个单位得，， 再将横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变得， 最后将图象向上平移1个单位得到， 所以当时，取得最大值2，当时，取得最小值， 的对称轴方程为. 题型5：：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与三角恒等变换 【例题5】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简与，再结合函数图象的平移求的值. 【详解】因为， . 且. 所以将的图象向左平移个单位可得的图象. 又函数与的周期均为. 所以将的图象向右平移个单位可得的图象. 故选：D 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需要根据辅助角公式将变形化简，根据正弦函数单调区间，求出在的单调区间即可. 【详解】因为． 的单调递增区间为 所以可得． 当时，； 当时，． 所以函数在上的单调递增区间是． 故选：C 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）函数的最小值为 ，此时x的值为 . 【答案】 / 【分析】利用三角恒等变换将化为只含有一个三角函数的形式，结合余弦函数的性质即可求得答案. 【详解】由题意得 ， ∵， ∴， ∴， 当时，有最小值， 此时，解得， 故答案为：； 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）回答下面两题： (1)求函数，的单调减区间. (2)求函数，的单调增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先代入正弦函数的单调递减区间，再和定义域求交集，即可求解； （2）首先利用二倍角公式和辅助角公式化解函数的解析式，再代入正弦函数的增区间公式，再和定义域求交集. 【详解】（1）由， 得，. 当时，， 故满足题意的单调减区间为. （2） . 由， 得，. 当时，， 故满足题意的单调增区间为 易错点1：混淆了ω对图象的影响而致错 【例题1】（21-22高一上·广东深圳·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论． 【详解】， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到， 故选：. 【变式1】（高一上·重庆·阶段练习）将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图像变换原则可得新曲线为,令求解即可 【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线, 令,得 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心 【变式2】（高一上·全国·课后作业）把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，最后把图像向左平移个单位长度，则所得图像表示的函数的解析式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数横坐标缩短到原来的，得到，再把纵坐标伸长到原来的倍，得到，再向左平移个单位长度，得到. 【详解】把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的， 所得图像的函数解析式为， 再把纵坐标伸长到原来的倍， 所得图像的函数解析式为， 最后把图像向左平移个单位长度， 所得图像的函数解析式为. 故选B. 【点睛】本题考查余弦函数的横纵坐标的伸缩变换，和平移变换，属于简单题. 【变式3】（高一·全国·课后作业）函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则的值为 ． 【答案】 【解析】直接由函数图象的周期变化求得的值． 【详解】解：把函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 所得图象对应的函数解析式为， 的值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了型函数的周期变化，属于基础题． 易错点2：不理解“左右平移是对自变量x而言的”而致错 【例题2】（24-25高一上·全国·随堂练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用正弦函数图象变换规律，即可求解. 【详解】要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平移个单位长度, 故选：A 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】的图象向左平移个单位长度，得到函数， 故， 故选：A 【变式2】（23-24高一上·山西运城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 ． 【答案】 【分析】因要求变换之前的函数解析式，故应逆向考虑，将函数进行先横向伸长再向左平移即得所求函数解析式. 【详解】把函数的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， 再向左平移个单位，得到函数，即的图象. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)求函数的对称中心和单调递减区间； (2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)对称中心为，单调递减区间为 (2)最大值3；最小值 【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得，再代入正弦函数的对称中心与单调递减区间求解即可； （2）根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可. 【详解】（1） ， 令，则， 所以的对称中心为， 令，则， 所以的单调递减区间为． （2）， 当时，， 所以当，即时，取得最大值3； 当，即时，取得最小值． 易错点3：忽视三角函数名互异而致错 【例题3】（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据诱导公式得，即可根据平移的性质求解. 【详解】，所以需要将函数的图象向左平移个单位， 故选：A 【变式1】（22-23高一上·山东临沂·期末）为了得到函数的图像，只需将函数的图象（    ） A．左移个单位长度 B．左移个单位长度 C．右移个单位长度 D．右移个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数图象的平移变换即可求解. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图像， 只需将函数的图象右移个单位长度， 故选:D. 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）为了得到的图象只需将函数的图象 ． 【答案】向右平移个单位长度 【分析】首先变形，再根据平移规律，即可求解. 【详解】由题意 ， 只需把的图象向右平移个单位长度即得到的图象． 故答案为：向右平移个单位长度. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）要得到的图象，只要将的图象向 平移 个单位长度. 【答案】 左； . 【分析】利用诱导公式将化为正弦函数，再由三角函数平移规则即可得出结果. 【详解】， 若设， 则， ∴应向左平移个单位长度. 故答案为：左；. 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个可能值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数平移法则写出平移后的解析式，进而得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度后的解析式为 ，由题知， ，所以， 所以，即，由题知，当时，. 故选：A 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】C 【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍； 【详解】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到， 故选：C． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（    ） A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则的图象（    ） A．与的图象相同 B．与的图象关于y轴对称 C．向左平移个单位长度，得的图象 D．向右平移个单位长度，得的图象 【答案】D 【分析】先应用诱导公式化简，再应用平移可得选项. 【详解】因为, , 所以向右平移个单位长度，得的图象. 故选：D. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）为了得到函数的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据图象的平移变换即可得到答案. 【详解】 所以函数的图象向右平移个单位得到的图象. 故选：B. 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）将函数（）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由三角函数的图像变换可得平移后的函数解析式，再将点代入计算，即可求解. 【详解】将函数（）的图像向右平移个单位长度， 所得函数为， 再由函数图像经过可得， 所以，即，且， 所以的最小值为. 故选：A 7．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，利用换元法令，画出函数，的函数图像，数形结合即可求解. 【详解】由正弦函数的对称轴可知： ，，又因为， 所以的最小值为，即. ，则，令， 则有，，函数图像如图所示： 由于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根， 根据的图像有实数a的取值范围是. 故选：D 8．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可. 【详解】根据图象可得，，解得， 所以，即， 将点代入的解析式，得， 则，解得，，又， ，所以. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A．函数的单调增区间为 B．若，则的最小值为 C．函数在区间内有个零点 D．函数在 上的值域为 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图象与性质得出函数解析式一一判定选项即可. 【详解】由图象可得，，，又，故， 所以. 对于A：令，故A正确； 对于B项，若，即分别对应最大值和最小值，则的最小值为 ，故B正确； 对于C项， 令，可得：即， 由，得，由，得，由，得，由，得， 可知函数在区间内有个零点，故C错误； 对于D项，，则， 当，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD 10．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点成中心对称 【答案】BD 【分析】利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到函数，所以的最大值为， 故A不正确； 由于，所以为偶函数， 故的图象关于轴对称，即B选项正确； 当时，，由于在上单调递增， 所以在上单调递减，故C选项不正确； 令，解得，当时，， 所以的图象关于点成中心对称；故D选项正确； 故选：BD 11．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B．图象的对称轴过图象的对称中心 C．在上，与都单调递减 D．和图象的交点为 【答案】AB 【分析】利用三角函数图象变换及三角函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】由的图象与的图象关于y轴对称可知=， 又根据题意可知， 整理得，即， 显然不能恒为零，所以，故A正确； 即， 令，所以， 即图象的对称轴为过图象的对称中心为，故B正确； 当，此时单调递增，显然C错误； 由， 即，此时，故D错误. 故选：AB 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）的图象纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到 的图象. 【答案】 【分析】根据图象的伸缩得出新的解析式即可. 【详解】把的图象纵坐标伸长到原来的3倍， 得到. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课堂例题）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到 的图象． 【答案】 【分析】根据正弦函数的图象变换即可得结果. 【详解】把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 得函数的图象， 把函数的图象上所有的点的纵坐标变为原来的3倍， 得函数的图象. 故答案为：. 14．（23-24高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解. 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 由图可知，，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数在内的单调增区间. （2）求函数，的单调减区间. 【答案】（1）和；（2） 【分析】（1）根据题意，由（），结合，求出函数的单调减区间. （2）通过降幂公式及辅助角公式得，由（），结合，求出函数的单调减区间. 【详解】（1）. 由（） 得（）. 当时，； 当时，. 故函数在内的单调增区间为和. （2） ， 由 得，. 当时，，k取其它值时,不合题意， 故函数，的单调减区间为. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解：将函数的图形向左平移个单位长度， 得到， 再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得， 由实数满足，则为函数的最值， 不妨设， 则， 解得， 则， 当或时，此时. 17．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数 (1)求的最小值和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)最小值为，递增区间位， (2) 【分析】由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论． 由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求出的取值范围． 【详解】（1）函数 ， 的最小值为． 令，， 求得，， 可得的单调递增区间为，． （2）将函数的图象向左平移个单位， 可得的图象； 再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的， 得到函数的图象． 若函数在上有且仅有两个零点， 即在上有且仅有两个解． 而，则，求得． 故的取值范围为 18．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数 ，且 (1)求，并作出函数在的图象； (2)求函数在区间的最值及对应的的值. 【答案】(1)，图象见解析. (2)最大值为，；最小值为，. 【分析】（1）利用给定的函数值即可求出的值；利用五点法的法则列表、描点、连线即可作出函数图象. （2）根据（1）中函数的图象及列表即可求解. 【详解】（1），，. 又，，，解得：. 则 列表： 0 描点、连线：   . （2）由（1）中函数的图象可得： 函数在区间的最大值为，此时； 最小值为，此时. 19．（22-23高一上·北京密云·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)求函数在区间上的最值及对应的x的取值； (3)当时，写出函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)减区间；增区间 【分析】（1）由函数的图象的最值点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式． （2），根据正弦函数性质求得函数在区间上的最值及对应的x的取值； （3）当时，分两种情况讨论，可写出函数的单调区间． 【详解】（1）由函数在一个周期内的图象可得： ， 再根据五点法作图可得 , （2）， 时，函数在区间上的最大值为 时，函数在区间上的最小值为 （3），故函数的单调减区间是； ，故函数的单调增区间是； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$