重庆市第一中学校2024—2025学年上学期消化作业数学试卷（三）

2024-2025学年重庆一中九年级（上）消化作业数学试卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在实数0，2，，中，无理数是(    ) A. 0 B. 2 C. D. 2.如图，一个立体图形由6个相同的正方体组成，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 3.如图，和是位似图形，位似中心是O，若OA：：2，，那么(    ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 4.估计的值在(    ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5.如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为米. A. B. C. D. 6.在锐角中，，则(    ) A. B. C. D. 7.用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个圆，第②个图案中有6个圆，第③个图案中有10个圆……按此规律下去，第⑧个图案中圆的个数为(    ) A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 8.某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且连接BE，CF，CF交对角线BD于G，连接若，则(    ) A. B. C. D. 10.已知两个实数a、b，可按如下规则进行运算：若为奇数，则计算的结果：若为偶数，则计算的结果.根据上述规则，每得到一个数叫做一次操作.对于给定的两个实数a、b，操作一次后得到的数记为；再从a、b、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从a、b、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去…以下结论正确的个数为(    ) ①若，，则； ②若a、b为方程的两根，则； ③若a、b均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数； ④若，，要使得成立，则n至少为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.计算______. 12.若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个内角是__________. 13.妈妈买了4个粽子，分别是2个红枣味和2个蛋黄味，小妍随意吃两个恰好都是蛋黄味的概率是______. 14.如图，在中，，点D为AB中点，在E在AC边上，，连接DE，若，则______. 15.如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点B，BC交x轴于点C，若的面积为5，则k的值是______. 16.关于x的不等式组有解且最多只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是______. 17.如图，在矩形ABCD中，，点F、G分别在AB、DC边上，沿GF将四边形AFGD翻折得到四边形EFGP，且点E落在BC边上，EP交CD于点若，则CE的长为______. 18.若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”.一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，若为整数，是4的倍数，则______；所有满足条件的 M的最大值和最小值的差为______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 计算： ； 20.本小题8分 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点只保留作图痕迹 已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作于点E，并交对角线BD于点F，作于点M，交对角线BD于点求证： 证明：四边形ABCD是菱形 ______ ， ______ ≌______ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则______. 21.本小题10分 为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩单位：分，并对数据进行整理、描述和分析，测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96， 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82， 两组数据的平均数、中位数、众数、如表： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 a 八年级 b 91 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______，______. 根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；写出一条理由即可 若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀大于或等于90分的学生共有多少人？ 22.本小题10分 喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务. 求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； 由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数. 23.本小题10分 如图，是边长为6的等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动；同时动点E以每秒2个单位长度的速度从C出发，沿折线方向运动，当两点重合时停止运动，设运动的时间为t秒，记的长度为 请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围； 在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； 结合函数图象，直接写出时t的取值范围. 24.本小题10分 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分.某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送.根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向参考数据：，， 求AB的长度； 骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米；②，速度为每分钟240米.请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 25.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线AB于点 求直线AB的解析式及C点的坐标； 如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值； 如图2，将沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由． 26.本小题10分 在中，，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段 如图1，连接CD，延长AD交BC延长线于点E，若，，，求BE的长； 如图2，连接CD，过点B作于点H，以AC为边作，且，连接AG交BC延长线于点F，若，求证：； 如图3，若为等边三角形，连接BD，K为线段BD上一点，且，M为线段BC上一点，连接MA，将MA绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接KN、当KN取得最小值时，请直接写出的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B.2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D.是无理数，故本选项符合题意． 故选： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个8之间依次多1个等形式． 2.【答案】B  【解析】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、 故选： 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图． 3.【答案】C  【解析】解：与是位似图形，位似中心为O，OA：：2， ：：4， ， 的面积为： 故选： 直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案． 此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键． 4.【答案】B  【解析】解： ， ， ， 故选： 先对该算式进行计算，再进行无理数大小的估算． 此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法． 5.【答案】D  【解析】解：， ， 故选： 根据正弦的定义进行解答即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：， ，， ，， 故选： 直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案． 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 7.【答案】C  【解析】解：由题知， 第①个图案中圆的个数为：； 第②个图案中圆的个数为：； 第③个图案中圆的个数为：； … 所以第n个图案中圆的个数为：…个， 当时， 个， 即第⑧个图案中圆的个数为45个． 故选： 依次求出每个图案中圆的个数，发现规律即可解决问题． 本题考查图形变化的规律，能用含n的代数式表示第n个图案中圆的个数是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：设应该安排x天生产桌腿，则安排天生产桌面， 根据题意得：， 故选： 设应该安排x天生产桌腿，则安排天生产桌面，根据每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，列出一元一次方程即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 9.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，，， 在与中， ， ≌， ， 在与中， ， ≌， ， 四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， 故选： 根据正方形的性质得出，进而利用SAS证明与全等，进而利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答． 10.【答案】B  【解析】解：①若，，则 ，故①正确； ②若a、b为方程的两根，则 ，， 则，故②错误； ③若a、b均为奇数，则为偶数，则无论进行多少次操作，得到的均不可能为偶数，故③正确； ④若，，则， 再从a、b、中任选两个数，选两个绝对值较大的b、，操作一次得到的数记为， 则， 同理， ，故④错误； 结论正确的个数为2个． 故选： 根据新规则，先判断是奇数还是偶数，再按照相应的算式计算即可判断结论． 本题考查新规则下实数运算及一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 11.【答案】5  【解析】解：原式 故答案为： 先计算负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算加法即可． 本题主要考查了负整数指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂和特殊角的三角函数值是关键． 12.【答案】  【解析】解：设这个正多边形是n边形， 则， 解得 故答案为： 根据多边形的内角和公式列式进行计算即可求解． 本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：用，代表2个红枣味的粽子，用，代表2个蛋黄味的粽子，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能的情况，其中两个恰好都是蛋黄味的结果数2个， 两个恰好都是蛋黄味 故答案为： 用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两个恰好都是蛋黄味的结果数，再按等可能事件概率公式计算即可． 本题考查列表法和树状图法，熟练掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 14.【答案】1  【解析】解：如图，取AD 的中点F，连接EF， 点D为AB中点， ， ，， ，， ， ∽， ，即， 点F是AD的中点， ， 故答案为： 取AD 的中点F，连接EF，证明∽，得到，根据线段垂直平分线的性质解答即可． 本题考查的是相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：点B在反比例函数上， 设点B的坐标为， 轴，， ，， 的面积， ； 故答案为： 设点B的坐标为，得，，根据的面积为5得，解之可得k的值． 本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据三角形的面积列出相应方程． 16.【答案】30  【解析】解：解不等式组， 得， 不等式组最多只有4个整数解， ， ， 解分式方程得： ， 关于y的分式方程有非负整数解， ，且， 即，且， 解得且， ， 满足条件的整数a的值为8，9，10，11，12，13， 当或11或13或15时，y值不是整数，不符合题意，舍去． 满足条件的a值有8，10，12， 故答案为： 根据题目的条件确定a的取值范围即可求解． 本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的解，根据题目的条件确定常数的取值范围是解答本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：由折叠的性质得：， ， ， ， 过G作于M，如图1所示： 则，四边形ADGM是矩形， ，， 由得：， ， ， 四边形ABCD是矩形， ，， ∽， ， ， 过P作，交BC的延长线于K，如图2所示， 由折叠的性质得：，， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或舍去， ，， ， ， 故答案为： 由折叠的性质得出，过G作于M，证∽，得，可得，过P作，交BC的延长线于K，由折叠的性质得，，再证出，则，设，则，，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键． 18.【答案】5 8082  【解析】解： ， ， 为整数， ，， ， 是4的倍数， ，5或9， 时，M取到最小值，，， ，或2， 的最小值为1239， 时，M取到最大值，，， ，或2， 的最大值为9321， 故答案为：5， 根据定义得到，进一步得到；，，是4的倍数，，5或9，进一步计算即可． 本题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意求出；是解题的关键． 19.【答案】解：原式 ； 原式   【解析】先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可； 先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的减法，最后算加法即可． 本题主要考查分式和整式的混合运算，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 20.【答案】两交点到顶点的距离相等  【解析】解：作图如下： 证明：四边形ABCD是菱形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ≌， ， 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等． 故答案为：①AD；②；③；④两交点到顶点的距离相等． 用尺规作图作出过 A与CD垂直的垂线；由菱形的性质易证≌，则可得；由此可归纳出结论． 本题考查了命题：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质． 21.【答案】  【解析】解：七年级成绩的众数分，八年级A、B等级学生人数为人，则其成绩的中位数分，C等级人数所占百分比为， 故答案为：88、、35； 八年级成绩更好， 七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级， 八年级高分人数多于七年级， 所以八年级成绩更好答案不唯一； 人， 答：估计两个年级参加测试学生中成绩优秀大于或等于90分的学生共有1320人． 根据众数、中位数的定义求解即可； 根据平均数、中位数及方差的意义求解即可； 用七、八年级的学生数分别乘以样本中优秀人数所占比例，再求和即可． 本题考查扇形统计图，用样本估算总体，平均数，中位数，掌握相关知识是解题的关键． 22.【答案】解：设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为x个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 根据题意得，， 解得，， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； 设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为x个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个．  【解析】设甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数x个，则增加前每天加工熊猫玩偶的个数为个，根据每天比增加前多加工20个列方程即可得到结论； 设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为x个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据提前2天完成任务列方程，即可得到结论． 本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确地理解题意是解题的关键． 23.【答案】解：、E两点重合时，， 解得：， ， 当点D、E分别在AB、AC上运动时，即， ，， ； 当点D、E都在AB上运动时，即， ，， ； 关于t的函数关系式为：； 由中的表达式可知：当时，；当时，；当时，； 分别描出三个点，，，然后依次连接，如图： 该函数的其中一条性质：当时，y随t的增大而减小；答案不唯一，正确即可； 在中，令，则， 解得：， 在中，令，则， 解得：， 结合图象可知，时，或  【解析】先计算出D、E两点重合的时间，再分两种情况讨论：当点D、E分别在AB、AC上运动时，即；当点D、E都在AB上运动时，即；写出不同时间的函数表达式即可； 根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可； 根据两段函数关系式分别求出当时的t值，再结合图象即可求解． 本题主要考查了等边三角形的性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合，分类讨论． 24.【答案】解：作于点 由题意得：，， ， 米， 米． 米， 米． 米 由题意得： ，米， 米，米． ①，需要的时间为：分； ②，需要的时间为：分 ， 选择路线②才能更快地将外卖送到小惠家．  【解析】易得，那么，则作于点F，根据的锐角三角函数，可得AF，FK的长度，进而根据勾股定理可得BF的长度，即为AB的长度； 根据的锐角三角函数可得KD和AD的值，进而分别计算出两条路线需要的时间，比较后即可得到应选择哪条路线． 本题考查解直角三角形的应用．合理应用所给条件，作出合适的辅助线构造直角三角形是解决本题的关键． 25.【答案】解：， 点A的坐标是， ， ， 点B的坐标为， 设直线AB的解析式为， 把点A 和点B的坐标代入可得，， 解得， 直线AB的解析式为， 联立直线和直线AB的解析式得，， 解得， 点C的坐标是； ，， ， ， ，， 直线OC：交直线AB于点 ， ， ， 点P在点C的上方， 为直线OC上一动点且在第一象限内， 设点P的坐标为，其中， 点P到x轴的距离为， ， ， 解得， ， 点P的坐标是， 如图，过点P向左作轴，且，则的坐标为，再作点关于x轴的对称点，则的坐标为，则连接交x轴于点M，在x轴上截取，连接PQ， 由作图过程知四边形是平行四边形，则， 的最小值为， 作于点，则的坐标为，则，， 的最小值为 即最小值为； 点H的坐标是或或  【解析】见答案. 见答案. 存在，理由如下： 第一种情况，DF是正方形的边，由勾股定理得， 由点C的坐标是，点C沿OC移动到点，由于平移规律相同，可得点平移到点，点平移到点， 如图，以AB为边作正方形，过点作于点， ， ， 在和 ≌， ，， ， 点的坐标为， 同理可得点的坐标为， 点C的坐标是，点C沿OC移动到点， 由于平移规律相同，可知点，点，平移后的坐标即点H的坐标分别为，； ②DF为对角线时，如图， 由题意可得， 在中，， ， ， 由点，，可知点K的坐标为， 设HN的表达式为， ，， ， ， 把点K的坐标代入得， ， 解得， 的表达式为， 设点H的坐标为， 由两点间距离公式得，， ， 解得舍去，， ， ， 点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标是或或 先求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB和OC的解析式，即可求得点C的坐标； 先求出的面积，证明点P在点C的上方，设点P的坐标为，其中，由，求得m，得到点P的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可； 分两种情况：DF是正方形的边和DF为对角线，分别进行求解即可． 此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键． 26.【答案】解：，， ，， ， ， 将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AD， ， ， ， ， ， 证明：如图，延长HD至K，使得， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AD， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 解：，则， 如图，以AB为边作等边，作的外接圆， ， 在的上运动， 如图，作A关于BC的对称点J，连接BJ，MJ，作交BC的延长线于点L，连接JN，NL， ， 设，则， 又， ， 将MA绕点M顺时针旋转得到线段MN， ，， ， 关于BC的对称点J， 在和中， ， ≌， ， ， 又，， ， ， 又，， ， ， 在LJ上运动， 当，且O，K，N三点共线时，KN取得最小值， 如图，过点O作于点S，则K，重合，N，S重合，OS与BC的交点为， ，， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 当KN取得最小值时，如图，过点K作于点F，过点A作于点E，过点O作于点G，过点K作于点H， 设， ，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ，，， 四边形HBFK是矩形， ， ，， ， 在中，， ， ，   【解析】根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，，进而根据平角的定义得出，根据旋转的性质可得，，进而得出，根据等角对等边即可得证； 延长HD至K，使得，证明≌，≌，≌，根据是等腰直角三角形，得出，根据全等三角形的性质可得，即可得证； 以AB为边作等边，作的外接圆，先确定K在的上运动，作A关于BC的对称点J，连接BJ，MJ，作交BC的延长线于点L，连接JN，NL，进而得出N在LJ上运动，当，且O，K，N三点共线时，KN取得最小值，过点O作于点S，则K，重合，N，S重合，OS与BC的交点为，求得，过点K作于点F，过点A作于点E，过点O作于点G，过点K作于点H，进而解直角三角形，求得KF，KD，AE，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 本题考查几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$