江苏省南京市秦淮区钟英中学2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市秦淮区钟英中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的半径是6cm，线段，则点P(    ) A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定 2.将一元二次方程化成一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的两根是，，则，的值分别是(    ) A. ， B. ，2 C. 2， D. 2，2 4.-元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 5.如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度是(    ) A. 5mm B. 6mm C. 8mm D. 10mm 6.如图，在中，直径，BC是弦，，点P在BC上移动，点Q在上移动，且，PQ长的最大值是(    ) A. 4 B. 2 C. D. 二、填空题：本题共11小题，共28分。 7.一元二次方程的解是______. 8.若m是方程的一个根，则______. 9.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______. 10.若关于x的方程的解为，，则方程的解为______. 11.如图所示圆中，AB为直径，弦，垂足为若，，则______. 12.数据显示，南京市7月新房成交量是7800套，9月份高达13100套，若月成交量平均增长率为x，则可列方程______. 13.在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x人，则可列得方程______. 14.如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：______. 15.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______. 16.某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000公斤.今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000公斤.已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率.若设平均亩产量的增长率为x，则可列得方程为______. 17.如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点.若，则MN的最小值为______. 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题16分 解下列方程： ； ； ； 19.本小题6分 已知：如图，在中，AB是弦，CD是直径，且CD平分AB，并交AB于点M，求证：，， 20.本小题6分 如图，点A、B、C、D在上，，，连接 求证：AC是的直径． 21.本小题8分 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点P，且求证： 22.本小题6分 已知：如图，四边形ABCD是的内接四边形，求证：不允许用全等来证明 23.本小题8分 如图，中， 用直尺和圆规作的外接圆保留作图痕迹，不写作法； 若，求的外接圆的半径. 24.本小题8分 如图，是的内接四边形ABCD的一个外角，且求证： 25.本小题6分 如图，若所在平面内有一点D，满足，，利用尺规求作点不写画法，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑 26.本小题6分 如图，BD、CE是锐角的高，连接求证：请用隐圆解决问题 27.本小题10分 我们知道，各类方程的解滋虽然形尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程. 认识新方程： 像这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得，，但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是 运用以上经验，解下列方程： ； ； 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内． 【解答】 解：点到圆心的距离， 该点P在内． 故选： 2.【答案】D  【解析】解：方程整理得： 故选： 方程整理为一般形式即可． 此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为 3.【答案】A  【解析】解：， ， 故选： 根据根与系数的关系得出，，代入即可求出答案． 本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地运用根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查判断一元二次方程根的判别式，一元二次方程根有没有实数根主要看根的判别式的值．①，有两个不相等的实数根；②，有两个相等的实数根；③，没有实数根． 先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况． 【解答】 解：， ， 原方程没有实数根． 故选 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 连接AB，OA，过点O作于点D，先根据钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm求出OA及OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，由垂径定理即可得出结论. 【解答】 解：连接AB，OA，过点O作于点D， 钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ，， ， 在中，， 故选 6.【答案】C  【解析】解：如图，连接OQ， ，且， 当OP最小时，PQ最大， 易得当时，OP的值最小， ， ， ， 故选： 连接OQ，则是直角三角形，PQ越长，则OP越短，当时，OP取得最小值，使用勾股定理即可求解． 本题主要考查垂径定理、勾股定理等内容，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 7.【答案】，  【解析】解：， ， 或， ，， 故答案为：， 利用因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤． 8.【答案】5  【解析】解：由题意可知：， 故答案为：5 根据题意可知：，利用配方法即可求出答案． 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解定义，本题属于基础题型． 9.【答案】且  【解析】解：根据题意得且， 解得且 故答案为且 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10.【答案】，  【解析】解：把方程看作关于的一元二次方程， 而关于x的方程的解为，， 所以或， 所以， 故答案为， 把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一元一次方程． 本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出关于x的应用一次方程是解题的关键． 11.【答案】8  【解析】解：取AB的中点O，连接OD，设，则， 在中， ，即，解得， 故答案为： 取AB的中点O，连接OD，设，则，再根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论． 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：8月份新房成交量：， 9月份新房成交量：， 故答案是： 增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额增长率三月份的营业额，等量关系为：7月新房成交量月份成交量，把相应数值代入即可求解． 本题考查了一元二次方程的应用．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 13.【答案】  【解析】解： 设参加聚会的有x人，根据题意可列方程，， 故答案为： 由题意可知1人需要握手次，则可表示出握手的次数，可列出方程． 本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设小道进出口的宽度为xm， 根据题意，得：， 整理，得： 故答案为： 设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：设这种台灯的售价定为x元，由题意得 故答案为： 设这种台灯的售价定为x元，那么就少卖出个，根据利润=售价-进价，可列方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是看到定价和销售量的关系，根据利润列方程． 16.【答案】  【解析】解：设今年平均亩产量的增长率为x，则今年种植面积的平均增长率为 根据题意，得 故答案为： 根据增长后的产量=增长前的产量增长率，设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般． 17.【答案】  【解析】解：如图，延长CD到点G，使 四边形ABCD为正方形， ，， ， 又，， ≌， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ≌， 设，，则， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理可得：， ， ， 当时，y最小值为 故：MN的最小值为 由识别出半角模型，从而构造≌，将MN线段进行转化，设，，再利用勾股方程进行转化，建立一个关于y的式子，利用不等式的性质求最值即可． 本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，其中识别半角模型进行转化是解题的关键． 18.【答案】解：， ， ， ， 则， 所以 ， ， ， ， 则或， 所以， ， ， ， 则或， 所以 ， ， ， ， ， 则或， 所以， 当时，， 所以是原分式方程的增根． 当时，， 所以是原分式方程的解．  【解析】利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 根据解分式方程的步骤，对所给分式方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-配方法及解分式方程，熟知配方法、因式分解法解一元二次方程的步骤及解分式方程的步骤是解题的关键． 19.【答案】证明：连接OA，OB， 在与中，， ≌， ，， ，， ， ，   【解析】根据全等三角形的判定和性质，以及垂径定理即可得到结论． 考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，垂径定理的运用． 20.【答案】证明：过D作于E点，连接OD， ， 是以D为顶点的等腰三角形， ， 是AC中点且， ， 与O重合， 是AC中点， 是直径．  【解析】过D作于E点，连接OD，根据等腰三角形的性质和圆的直径证明即可． 此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答． 21.【答案】证明：连接AC， ， ， ， ， ，   【解析】连接AC，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，即可解答． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22.【答案】解：连接AC， ， ， ，   【解析】连接AC，根据已知易得：，从而根据等弧所对的圆周角，然后利用平行线的判定，即可解答． 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23.【答案】解：如图，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径画圆， 则即为所求． 连接AO并延长，交BC于点D，连接OB， 可得， ， 在中，根据勾股定理得， 设的外接圆的半径为x， 则， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为  【解析】分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径画圆，即可得的外接圆． 连接AO并延长，交BC于点D，连接OB，可得，即可得，在中，根据勾股定理得，设的外接圆的半径为x，则，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.【答案】证明：是的内接四边形ABCD的一个外角， ， ， ， ， ，   【解析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角得到，由圆周角定理得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到答案． 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 25.【答案】解：如图，点D为所作．   【解析】先作AB和AC的垂直平分线，它们相交于点O，再以O点为圆心，OA为半径作，然后以B点为圆心，BC为半径画弧交于点D，根据圆周角定理得到 本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 26.【答案】证明：取BC的中点M，连接EM、DM，如图， 、CE是锐角的高， ， 在中，M是BC中点， ，同理可证， ， 、C、D、E四点共圆， ， ，   【解析】取BC的中点M，连接EM、只要证明B、C、D、E四点共圆，可得，，即可推出； 本题考查确定圆的条件，圆周角定理，解答本题的关键是学会证明四点共圆，利用圆的性质解决有关问题． 27.【答案】解：移项得：， 两边平方，得： ， 整理得：， 解得，； 经检验是增根， 所以原方程的根为：； 原方程就是：， 设， 原方程变为：， 解得：或不合题意，舍去 当时，， 两边平方，得：， 整理得：， 解得， 经检验它们都是原方程的根， 所以原方程的根为：或； 设，则， 原方程变为：， 去分母得：， 解得，， 当时，， 当时，， 经检验它们都是原方程的根， 原方程的根为：或  【解析】根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案； 设，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案； 设，则，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案． 本题主要考查了无理方程的解法，换元法，本题是阅读型题目，正确利用题干中的方法解答是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$