精品解析：江苏省无锡市新吴区新城集团校2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡市新吴区新城集团校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 角 C. 圆 D. 直角三角形 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是（ ） A. 14 B. 23 C. 19或23 D. 19 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 有三位同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为2、6、3，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 11 D. 12 7. 如图，若的三条角平分线，，交于点，则与互余的角是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D，给出下列结论：①AF=AC；②DF=CF；③∠AFC=∠C；④∠BFD=∠CAF， 其中正确的结论个数有． ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为（ ） A. B. 10 C. 12 D. 13 10. 如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 二．填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 11. 黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 ____． 12. 16的平方根是______． 13. 已知，，，则的度数为 ____． 14. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 15. 如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是___________． 16. 如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有______个． 17. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 ____尺． 18. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 三．解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. （1）如图①，AB，C'B'是两个以直线MN为对称轴的三角形的两边，试画出完整的△ABC和△A'B'C'(保留作图痕迹)． （2）如图②，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形底边，点A在∠MCN内部，且点A到角∠MCN的两边距离相等．(尺规作图) 21. 如图，点是上一点，交于点，为中点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 23. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求长． 24. 如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． （2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 25. 我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为． （1）请利用图①完成勾股定理的证明． （2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式． （3）已知，，利用上面的等式求． 26. 等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系． （1）如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______； （2）如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省无锡市新吴区新城集团校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 角 C. 圆 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 【详解】解：正方形、角、圆都找到这样的一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 直角三角形不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质，根据算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意； 故选：C． 3. 等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是（ ） A. 14 B. 23 C. 19或23 D. 19 【答案】C 【解析】 【详解】解：当5为底时，其它两边都为9，5、9、9可以构成三角形，周长为23； 当5为腰时，其它两边为5和9，5、5、9可以构成三角形，周长为19， 所以答案19或23， 故选：C． 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键． 5. 有三位同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要使凳子到三个人的距离相等，凳子要放在三边的线段垂直平分线的交点上． 【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 要使凳子到三个人的距离相等，凳子要放在三边的线段垂直平分线的交点上． 故选：B． 6. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为2、6、3，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设正方形、、、的边长分别为、、、，中间正方形的边长为，则，，从而得出，代入数据计算计算即可得解． 【详解】解：如图， 设正方形、、、的边长分别为、、、，中间正方形的边长为， 由图形知：两个白色的三角形的为直角三角形， ，， ， 、、三个正方形的面积分别为2、6、3， ， 正方形的面积为11． 故选：C． 7. 如图，若的三条角平分线，，交于点，则与互余的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，再逐项分析即可得解，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：的三条角平分线、、交于点， ∴，，， 三角形内角和是， ， A、，不一定互余，故选项A错误； B、，不一定互余，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、与不一定互余，故选项D错误． 故选：C． 8. 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D，给出下列结论：①AF=AC；②DF=CF；③∠AFC=∠C；④∠BFD=∠CAF， 其中正确的结论个数有． ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答． 【详解】解：在△ABC与△AEF中， ， ∴△AEF≌△ABC， ∴AF=AC， ∴∠AFC=∠C； 由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB， 可知：△ADE∽△FDB； ∵∠EAF=∠BAC， ∴∠EAD=∠CAF， 由△ADE∽△FD，B可得∠EAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠CAF． 综上可知：②③④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 9. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为（ ） A. B. 10 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示,作E关于AD的对称点M,连接CM交AD于F,连接EF,过C作CN⊥AB于N,因为AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线,所以BD=DC=5,AD⊥BC, AD平分∠BAC,所以M在AB上,在RtABD中,由勾股定理得:AD=, 所以 所以CN=,因为E关于AD的对称点M,所以EF=FM,所以CF+EF=CF+FM=CM,根据垂线段最短得出:CM≥CN, 即CF+EF≥,故选A. 10. 如图，在和中，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理外角和定理等知识的综合．掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意，可证，可判定结论②，由此可得，再根据三角形的外角可得，可证结论①，过点O作于点G，于点H，可证，根据角平分线的性质可证结论③错误，结论④正确，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 由三角形的外角性质得：， ∴，故①正确； 如图，过点作于点，于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾，故③不正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：． 二．填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 11. 黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．根据镜面对称的性质，即可得出结论． 【详解】根据镜面对称的性质，因此的真实图象应该是． 故答案为：． 12. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 13. 已知，，，则的度数为 ____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：，， ∴， ， ． 故答案为：． 14. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 【答案】5cm##5厘米 【解析】 【分析】先利用勾股定理求解斜边，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解本题的关键． 15. 如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵是的角平分线，，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有______个． 【答案】8． 【解析】 【详解】试题分析：如图所示只有C点在这8个点的位置，A、B、C三点为顶点才能构成等腰三角形， ∴满足条件的格点有：8个．故答案为8． 考点：1．等腰三角形的判定；2．勾股定理． 17. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 ____尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查主要考查了勾股定理得应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 如图，设水深是尺，得到尺，尺，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设水深是尺， 由题意可知，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴水深是尺， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设的垂直平分线交于点，交直线于点，根据题意分两种情况点在矩形内部时，点在矩形外部（下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，交直线于点，  ∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， 分两种情况讨论： 情况一：当点在矩形内部时， 在中，， ， 在中， 由勾股定理得：即 ， 解得， ∴； 情况二：当点在矩形外部（下方）时， 在中，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的加法运算，二次根式的性质以及加减运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简算术平方根和立方根，再计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）如图①，AB，C'B'是两个以直线MN为对称轴的三角形的两边，试画出完整的△ABC和△A'B'C'(保留作图痕迹)． （2）如图②，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形底边，点A在∠MCN内部，且点A到角∠MCN的两边距离相等．(尺规作图) 【答案】 作图如下：（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点A、点C’作直线MN的垂线，分别交于点D、点E，分别将其延长，分别以点D、点E为圆心，AD、C’E长为半径画圆交延长线于点A’、点C，连接AC、BC、A’C’、 A’B’即可； （2）求作以BC为底边的等腰三角形，则需要作线段BC的中垂线EF，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作的角平分线CG，CG与直线EF相交于一点即为点A，连接AB，即为所求作的等腰三角形． 【详解】略 【点睛】题目主要考查轴对称图形的作法及线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键． 21. 如图，点是上一点，交于点，为中点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，由题意可得，再利用证明即可得证； （2）先求出，再由全等三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ，即的长为5． 22. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， 是边上的高线， ， 是边上的中线， ， ， ， 点为的中点， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 则， 点为的中点， ， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ． 23. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）易得垂直平分，得到，三线合一求出的度数，中垂线的性质推出，三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的周长公式，求出的长，根据中垂线的性质，推出，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵周长为，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴． 24. 如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． （2）当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； （3）当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 【答案】（1） （2）米 （3）丙房间的宽是米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论; （2）证明△△，从而得到米，，即可求出结果； （3）根据以及的度数可得到为等边三角形，表示出的长，可得结果； 此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，等边三角形的判定，根据以及的度数可得到为等边三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，米，米， ， ， 甲房间的宽度米， 故答案为：3.2； 【小问2详解】 ， ， ， ． 在△与△中， ， △△， 米， ， ； 【小问3详解】 过点作垂线，垂足点，连接． 设，且． 梯子的倾斜角为， △为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），． ， ． ， △为等边三角形， ． △△， ， 米， 即丙房间的宽是3.3米． 25. 我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为． （1）请利用图①完成勾股定理的证明． （2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式． （3）已知，，利用上面的等式求． 【答案】（1） 证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为， 图中大正方形的面积为 或， ， 即； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式的几何应用，能正确表示出各个部分的面积和体积是解此题的关键． （1）两种方法表示出图中大正方形的面积为或，即可得解； （2）表示出图形的体积为或，即可得解 （3）根据（2）可得，代入计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图形的体积为：或， ， ； 【小问3详解】 解：，，， ， 解得：． 26. 等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系． （1）如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______； （2）如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q． 【答案】（1）， （2） 解：猜想：结论仍然成立， 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 的周长为：， ； （3）， 【解析】 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出．据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：、、之间的数量关系， 此时， 理由如下：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：如图，在上截取，连接， 同（2）可证， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ． ∵等边的周长为L， ∴， 的周长 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $