精品解析：广东省中山市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

中山市2024-2025学年第一学期期中水平试卷九年级数学 考试时间：120分钟 一、单选题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向上 B. ，开口向下 C. ，开口向上 D. ，开口向下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上， 故选：A． 3. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； C、是分式方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故符合题意． 故选：D． 4. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，，，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 5. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出的值即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根． 故选：A． 6. 在同一坐标系中，作y=3x2+2，y=﹣3x2﹣1，y=x2的图像，则它们（　　） A. 都是关于y轴对称 B. 顶点都在原点 C. 都是开口向上 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴x=0，对称轴为y轴． 【详解】观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0， 故对称轴x=-=0，对称轴为y轴，都关于y轴对称． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，解题的关键是掌握二次函数的一次项系数为0，对称轴是y轴． 7. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 8. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 故选： B． 9. 二次函数(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①2a＋b=0；②abc＜0；③9a＋3b＋c＞0；④3a＋c＜0；⑤若m≠1，则m(am＋b)－a＜b．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=1，可对①②进行分析判断；把代入解析式，根据函数图象可对③进行判断；当当 时， ，再根据对称轴可对④进行判断；根据函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵对称轴是直线x=1， ∴ ， ∴ ，故正确； ②∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴abc＜0，故正确； ③把代入解析式， ， 根据图象 时， ， ∴9a＋3b＋c＞0错误； ④当 时， ， ∵， ∴ ，故正确； ⑤ ， , ， 当 时， 为最大值， ∵ ， ∴，故m(am＋b)－a＜b正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用． 10. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断． 【详解】解：在和中，，，， ∴， ∴. 如图，连接， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，. ∴面积为， 作于，则， ∴， ∴等边面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 12. 将向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后其解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的变换，根据：“左加右减，上加下减”的方法求解即可． 【详解】解：将向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后可得：， 即， 故答案为：． 13. 如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段 上，、交于点，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得： ，从而有 ，然后由三角形的内角和可求出，最后根据互余求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ， 在 中， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值1；当时函数有最小值，进而求得它们的范围． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为， 在范围内，当，函数有最大值为1；当时函数有最小值：， 故答案为：． 15. 如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律总结归纳出旋转后的解析式为，进而求出抛物线的解析式，再把P代入，求出n的值即可． 【详解】解：∵一段抛物线与x轴交于点O，， ∴图象与x轴交点坐标为：， ∵将绕点旋转得，交x轴于点， ∴； ∴的解析式为， ∵将绕点旋转得，交x轴于点； ∴； ∴的解析式为， ∴的解析式为， ∴的解析式为， 当时，． 故答案为：． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 用公式法解即可． 【详解】解：， ，，，， ， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 18. 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【小问1详解】 以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程为一元二次方程，且方程的一个根为，请你求出方程的另一个根． 【答案】（1）的取值范围为； （2）方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（）分当时，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式，可得关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （）把代入方程，得出的值，再将的值代入原方程，解方程即可； 本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 当时，方程为，有实数根， 当时， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且， 综上可知：方程有实数根，的取值范围为； 【小问2详解】 ∵方程为一元二次方程，且方程的一个根为， ∴，解得：， ∴原方程为，即有， 解得：，， ∴方程的另一个根为． 20. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）当为何值时，的面积最大？ 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程即可； （2）由题意可得：，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，且， ∴， ∴， 解得：或； ∴当或3时，的面积为． 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值． 21. 某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． （1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：．” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； （2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 【答案】（1） 解：嘉嘉的说法不正确，理由如下： ， 解得：， 元， ∵15元16元， ∴亏本， ∴小宇的说法不正确． （2） ①两人的说法都正确，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴降价元或元都能达到期望目标， ∴两人的说法都正确； ②由于增加销售量可以减少库存， ∴应采取王经理的意见． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程中的销售问题， 一元二次方程的应用，掌握利润、售价、进价之间的关系是解题的关键． （1）根据已知的方程可求出具体降价金额， 从而可求出售价， 将售价与进价比较即可求解； （2）①根据题意列出方程，整理得到，求解即可得出结论； ②从增加销售量可以减少库存，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 【答案】（1）； （2） 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3），． 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【小问1详解】 由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； （3）将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）取得最大值9，点 （3）点N的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市2024-2025学年第一学期期中水平试卷九年级数学 考试时间：120分钟 一、单选题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A. ，开口向上 B. ，开口向下 C. ，开口向上 D. ，开口向下 3. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 在同一坐标系中，作y=3x2+2，y=﹣3x2﹣1，y=x2的图像，则它们（　　） A. 都是关于y轴对称 B. 顶点都在原点 C. 都是开口向上 D. 以上都不对 7. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 8. 一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①2a＋b=0；②abc＜0；③9a＋3b＋c＞0；④3a＋c＜0；⑤若m≠1，则m(am＋b)－a＜b．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根是________． 12. 将向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后其解析式为____． 13. 如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段 上，、交于点，则的度数为__________． 14. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 15. 如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则_________ 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 18. 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程为一元二次方程，且方程的一个根为，请你求出方程的另一个根． 20. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）当为何值时，的面积最大？ 21. 某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价每降低1元，则平均每月可多卖出20本，设每本科普读物的售价降低x元． （1）嘉嘉说：“既然是薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500本，可列出方程：．” 请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由； （2）该书店期望销售此科普读物平均每月的销售利润达到2860元，王经理说：“在原售价每本30元的基础上降价3元，销售利润即可达到期望目标．”李经理说：“不用降那么多，在原售价每本30元的基础上降价1元即可达到期望目标．” ①判断王经理、李经理二人的说法是否正确，并利用方程思想说明理由； ②试分析指出采纳谁的意见更合适． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； （3）将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $