云南省昆明市第十二中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年云南省昆明十二中教育集团九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3 3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　） A．27° B．108° C．116° D．128° 4．（2分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 5．（2分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3） 6．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两不等实根，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 7．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 8．（2分）把抛物线y＝2x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2﹣3 B．y＝2（x+1）2+1 C．y＝2（x﹣1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2﹣3 9．（2分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE，点D在BC上，∠EAC＝40°，则∠B的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 10．（2分）2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办．某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．1+x+x2＝45 11．（2分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+1则关于该函数的结论正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于点（0，﹣1） C．函数的最小值为1 D．当x≤1时，y随x的增大而减小 12．（2分）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝2m，CD＝5m，则拱门所在圆的半径为（　　）m． A．2 B．2.5 C．2.6 D．3 13．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．5 14．（2分）已知点（0，y1）（1，y2）（3，y3）是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 15．（2分）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　） A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 二、填空题（本大题共4个小题，每题2分，共8分） 16．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为 　 　． 17．（2分）若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为 　 　． 18．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，根据函数图象可知当y＞0时，x的取值范围是 　 　． 19．（2分）如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是　 　m． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分.解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明.） 20．（6分）解方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）x（2x﹣1）＝4x﹣2． 21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A（﹣5，2），B（﹣1，1），C（﹣3，5），请根据题意解决下列问题： （1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标 　 　； （2）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A2BC2，并写出点C2的坐标 　 　； （3）线段AA2的长度为 　 　． 22．（6分）云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知，它肉质紧密，口感脆爽，甜度很高，香味浓郁．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率； （2）若阳光玫瑰葡萄产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量． 23．（7分） 2024年9月20日消息，上海女足获得2024第三届中国青少年足球联赛（女子高中年龄段U18组）冠军．在一次足球训练中，运动员张洁从球门正前方11m的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面3m．已知球门高AB为2.44m，现以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球？ 24．（8分）“秋风响，蟹脚痒”，秋风送爽之时，正是蟹肥膏红之日．某品牌大闸蟹的进价为每只20元，售价为每只30元，每天可卖出180只．商家决定采取适当的涨价措施，经调查发现：如果每只大闸蟹的售价每上涨1元，则每天就会少卖出10只，但每只售价不能高于35元．设每只大闸蟹的售价上涨x元，每天的销售总利润为y元． （1）用含x的式子表示：涨价后每只大闸蟹的利润是 　 　元，每天的销售量为 　 　只； （2）写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； （3）每只大闸蟹的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 25．（8分）如图，点O为圆心，AB为半圆的直径，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠1＝∠2，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若BD＝2，⊙O的半径为3，求AE的长． 26．（8分）旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形ABCD，点M是直线BC上一个动点，点N在直线DC上，且满足∠MAN＝45°，连接MN． （1）如图1，当点M在边BC上时，求证：MN＝BM+DN． 请根据下面的思路分析填空：因为∠MAN＝45°，所以∠BAM+∠DAN＝45°．将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，由旋转性质可得AM＝AE，BM＝DE，∠BAM＝∠DAE，所以∠NAE＝ 　 　． 由此可证明△AMN≌　 　，可得出MN＝ 　 　，再由线段的加法可以得出MN＝BM+DN． （2）如图2，∠MAN＝45°，当点M在边CB的延长线上，点N在DC的延长线上． ①猜想BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若BC＝4，BM＝1，则CN＝ 　 　． 27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝ax2+bx+3． （1）如图，若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），求抛物线的解析式． （2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点C．点P是抛物线在x轴上方的动点，且满足S△PAO＝2S△BCO，求出点P的坐标． （3）点M（﹣2，y1），N（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+3上，抛物线的对称轴为直线x＝t． ①若y1＝3，求t的值； ②若a＞0，当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y2，直接写出t的取值范围． 2024-2025学年云南省昆明十二中教育集团九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3 【分析】把x＝1代入一元二次方程得到2+1﹣m＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程2x2+x﹣m＝0得2+1﹣m＝0， 解得m＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　） A．27° B．108° C．116° D．128° 【分析】直接由圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵∠A＝54°， ∴∠BOC＝2∠A＝108°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 【分析】根据关于原点的对称点，横坐标与纵坐标都变为相反数解答． 【解答】解：点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）． 故选：D． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，规律：关于原点对称的点的坐标的横坐标与纵坐标都变为相反数． 5．（2分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3） 【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）． 故选：B． 【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 6．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两不等实根，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝4﹣4a＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝4﹣4a＞0， 解得a＜1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 7．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，则∠D的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角的度数． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝50°， ∴∠CBA＝40°， ∴∠D＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形． 8．（2分）把抛物线y＝2x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2﹣3 B．y＝2（x+1）2+1 C．y＝2（x﹣1）2+1 D．y＝2（x﹣1）2﹣3 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣1）2﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 9．（2分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE，点D在BC上，∠EAC＝40°，则∠B的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】由旋转得，∠EAC＝∠BAD＝40°，AB＝AD，可得∠B＝∠ADB，进而可得答案． 【解答】解：由旋转得，∠EAC＝∠BAD＝40°，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°． 故选：A． 【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 10．（2分）2024年官渡区运动会（中学生篮球项目）暨昆明市中学生“希望杯”篮球三级联赛在新亚洲体育城举办．某学校为选拔篮球运动员参赛，要组织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比赛一场．根据场地和时间等条件要安排45场比赛，组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请x个队参赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．1+x+x2＝45 【分析】利用比赛的总场数＝参数队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：＝45． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（2分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+1则关于该函数的结论正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于点（0，﹣1） C．函数的最小值为1 D．当x≤1时，y随x的增大而减小 【分析】根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征求解即可． 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣1），函数有最小值﹣1， ∴当x≤1时，y随x增大而减小， 将x＝0代入y＝2x2﹣4x+1得y＝1， ∴抛物线与y轴交于点（0，1）， 故D正确， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 12．（2分）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝2m，CD＝5m，则拱门所在圆的半径为（　　）m． A．2 B．2.5 C．2.6 D．3 【分析】连接OA．OA＝OC＝r m，根据垂径定理求出AD，在Rt△ADO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：连接OA． 设OA＝OC＝r m． ∵CD⊥AB，AB＝2m， ∴AD＝AB＝1m， ∵CD＝5m， ∴OD＝CD﹣OC＝（5﹣r）m， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2， ∴1+（5﹣r）2＝r2， ∴r＝2.6， ∴拱门所在圆的半径为2.6m． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，掌握查垂径定理和勾股定理是解题的关键． 13．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．5 【分析】根据根与系数的关系求得x1x2、（x1+x2）的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个实数根， ∴x1x2＝1，x1+x2＝4， ∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝1﹣4＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 14．（2分）已知点（0，y1）（1，y2）（3，y3）是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论． 【解答】解：当x＝0时，y1＝02﹣2×0﹣3＝﹣3； 当x＝1时，y2＝12﹣2×1﹣3＝﹣4； 当x＝3时，y3＝32﹣2×3﹣3＝0． ∵﹣4＜﹣3＜0， ∴y2＜y1＜y3． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，求出y1，y2，y3的值是解题的关键． 15．（2分）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　） A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每题2分，共8分） 16．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为 　72°　． 【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝108°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 17．（2分）若关于x的方程是一元二次方程．则m的值为 　﹣2　． 【分析】利用一元二次方程的定义，可列出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2﹣2＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2， ∴m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 18．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，根据函数图象可知当y＞0时，x的取值范围是 　﹣1＜x＜3　． 【分析】依据题意，由二次函数的对称轴是直线x＝1求出抛物线与x轴另一交点的横坐标，再由当y＞0时对应图象是x轴上方部分，其对应自变量即为所求． 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝1， 又抛物线与x轴的一交点横坐标为﹣1， ∴另一交点横坐标为：1+1﹣（﹣1）＝3． 又当y＞0时对应图象是x轴上方部分， ∴其对应x的取值范围是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 19．（2分）如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是　3　m． 【分析】根据栅栏的总长度是18m，AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可． 【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m． 根据题意可得，x（18﹣2x）＝36． 解得x1＝6（舍去），x2＝3． 答：AB的长为3m． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分.解答时必须写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明.） 20．（6分）解方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）x（2x﹣1）＝4x﹣2． 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先移项得到x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣1＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2+4x+3＝0， （x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣1； （2）x（2x﹣1）＝4x﹣2， x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝，x2＝2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A（﹣5，2），B（﹣1，1），C（﹣3，5），请根据题意解决下列问题： （1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标 　（1，﹣1）　； （2）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A2BC2，并写出点C2的坐标 　（3，3）　； （3）线段AA2的长度为 　　． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点B1的坐标为（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． （2）如图，△A2BC2即为所求． 由图可得，点C2的坐标为（3，3）． 故答案为：（3，3）． （3）由勾股定理得，AA2＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、勾股定理，熟练掌握中心对称的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键． 22．（6分）云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知，它肉质紧密，口感脆爽，甜度很高，香味浓郁．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率； （2）若阳光玫瑰葡萄产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量． 【分析】（1）设该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为x，根据2024年的产量＝2022年的产量×（1+年平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由（1）中的平均增长率，列式计算即可． 【解答】解：（1）设该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为x， 根据题意得：60（1+x）2＝86.4， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去）， 答：该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率为20%； （2）根据题意得，86.4×（1+20%）＝103.68（吨）， 答：预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量为103.68吨． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（7分） 2024年9月20日消息，上海女足获得2024第三届中国青少年足球联赛（女子高中年龄段U18组）冠军．在一次足球训练中，运动员张洁从球门正前方11m的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为6m时，足球达到最高点，此时足球离地面3m．已知球门高AB为2.44m，现以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球？ 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把抛物线上的点（0，0）代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）取x＝11，代入（1）中得到的抛物线的解析式，求得y的值，与2.44比较即可判断此次射门在不受干扰的情况下能否进球． 【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为：（6，3）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+3（a≠0）， ∵经过点（0，0）， ∴36a+3＝0， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+3； （2）此次射门在不受干扰的情况下能进球． 理由：当x＝11时，y＝﹣×（11﹣6）2+3＝﹣+3＝， ∵＜2.44， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求出抛物线的解析式是解决本题的关键． 24．（8分）“秋风响，蟹脚痒”，秋风送爽之时，正是蟹肥膏红之日．某品牌大闸蟹的进价为每只20元，售价为每只30元，每天可卖出180只．商家决定采取适当的涨价措施，经调查发现：如果每只大闸蟹的售价每上涨1元，则每天就会少卖出10只，但每只售价不能高于35元．设每只大闸蟹的售价上涨x元，每天的销售总利润为y元． （1）用含x的式子表示：涨价后每只大闸蟹的利润是 　（10+x）　元，每天的销售量为 　（180﹣10x）　只； （2）写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； （3）每只大闸蟹的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）涨价后每只大闸蟹的利润＝涨价后的售价﹣进价，每天的销售量＝原来的销售量﹣10×涨价的价钱； （2）销售总利润y＝涨价后每只大闸蟹的利润×涨价后每天的销售量，根据每只大闸蟹的售价不高于35元可得自变量x的取值范围； （3）根据二次函数二次项的系数可得二次函数的开口方向，进而判断出二次函数的对称轴，结合自变量的取值范围可得每只大闸蟹的售价及最大利润． 【解答】解：（1）涨价后每只大闸蟹的利润＝（30+x）﹣20＝（10+x）元，每天的销售量为（180﹣10x）只， 故答案为：（10+x），（180﹣10x）； （2）y＝（10+x）（180﹣10x） ＝1800﹣100x+180x﹣10x2 ＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5）； （3）∵﹣10＜0， ∴抛物线的开口方向向下， ∴当x＝﹣＝4时，y最大， ∵0≤x≤5， ∴当x＝4时，y最大＝14×140＝1960（元）， ∴每只大闸蟹的售价为34元时，每天可获得最大利润，最大利润是1960元． 答：每只大闸蟹的售价为34元时，每天可获得最大利润，最大利润是1960元． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意得到涨价后大闸蟹的销售量是解决本题的易错点． 25．（8分）如图，点O为圆心，AB为半圆的直径，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠1＝∠2，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若BD＝2，⊙O的半径为3，求AE的长． 【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，即∠BCO+∠ACO＝90°，求得∠OCA＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）根据勾股定理得到OB＝3，根据切线的性质得到AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠1＝90°， 又∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠ACO＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB＝3， ∴OC2+CD2＝OD2， ∴32+CD2＝（3+2）2， ∴CD＝4， ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线， ∵CD是⊙O的切线； ∴AE＝CE， ∵AD2+AE2＝DE2， ∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2， 解得AE＝6． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． 26．（8分）旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形ABCD，点M是直线BC上一个动点，点N在直线DC上，且满足∠MAN＝45°，连接MN． （1）如图1，当点M在边BC上时，求证：MN＝BM+DN． 请根据下面的思路分析填空：因为∠MAN＝45°，所以∠BAM+∠DAN＝45°．将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，由旋转性质可得AM＝AE，BM＝DE，∠BAM＝∠DAE，所以∠NAE＝ 　45°　． 由此可证明△AMN≌　△AEN　，可得出MN＝ 　EN　，再由线段的加法可以得出MN＝BM+DN． （2）如图2，∠MAN＝45°，当点M在边CB的延长线上，点N在DC的延长线上． ①猜想BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若BC＝4，BM＝1，则CN＝ 　　． 【分析】（1）由旋转的性质可得AM＝AE，BM＝DE，∠BAM＝∠DAE，由SAS可证△AMN≌△AEN，可得MN＝EN，即可求解； （2）①在CD上截取DF，使得DF＝BM，连接AF，由SAS证得△ABM≌△ADF，得出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，证明∠FAN＝∠MAN，由SAS证得△AMN≌△AFN，得出MN＝FN，即可得出MN＝DN﹣BM； ②由正方形的性质得CD＝BC＝4，由①得BM＝DF＝1，则CM＝5，CF＝3，设CN＝x，由①得MN＝FN＝x+3，在Rt△MCN中，由勾股定理得CM2+CN2＝MN2，解方程即可得出结果． 【解答】解：（1）如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM+∠DAN＝45°， 由旋转性质可得AM＝AE，BM＝DE，∠BAM＝∠DAE， ∴∠NAE＝∠DAN+∠DAE＝45°， ∴∠NAE＝∠MAN， 又∵AN＝AN， ∴△AMN≌△AEN（SAS）， ∴MN＝EN， ∴MN＝DE+DN＝BM+DN； 故答案为：45°，△AEN，EN； （2）①猜想BM，DN，MN之间的数量关系为：MN＝DN﹣BM；理由如下： 在CD上截取DF，使得DF＝BM，连接AF，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝∠BAD＝90°， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠MAN＝45°， ∴∠FAN＝∠BAD﹣∠DAF﹣∠BAN＝90°﹣∠BAM﹣∠BAN＝90°﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAN＝∠MAN， 在△AMN和△AFN中， ， ∴△AMN≌△AFN（SAS）， ∴MN＝FN， ∵FN＝DN﹣DF＝DN﹣BM， ∴MN＝DN﹣BM； ②∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝BC＝4， 由①得：BM＝DF＝1， ∴CM＝BC+BM＝4+1＝5，CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3， 设CN＝x， 由①得：MN＝FN＝x+3， 在Rt△MCN中，由勾股定理得：CM2+CN2＝MN2， 即：52+x2＝（x+3）2， 解得：x＝，即CN＝． 故答案为：． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝ax2+bx+3． （1）如图，若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），求抛物线的解析式． （2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点C．点P是抛物线在x轴上方的动点，且满足S△PAO＝2S△BCO，求出点P的坐标． （3）点M（﹣2，y1），N（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+3上，抛物线的对称轴为直线x＝t． ①若y1＝3，求t的值； ②若a＞0，当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y2，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由S△PAO＝2S△BCO，即AO×yP＝OB×OC，即3×yP＝1×3，即可求解； （3）①点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3上，则3＝4a﹣2b+3，得到b＝2a，即可求解； ②当点M在对称轴的左侧时，即t＞﹣2，得到t﹣（﹣2）＞t+2﹣t，即可求解；当点M在对称轴右侧时，即t＜﹣2，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），即OC＝3， ∵S△PAO＝2S△BCO， 即AO×yP＝OB×OC，即3×yP＝1×3， 解得：yP＝2， 则2＝﹣x2﹣2x+3， 解得：x＝﹣1， 即点P（﹣1+，2）或（﹣1﹣，2）； （3）①∵点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3上， ∴3＝4a﹣2b+3， ∴b＝2a， ∴t＝＝﹣1； ②∵a＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）开口向上， 当x＞t时，y随x的增大而增大， ∵当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y2， ∴N（m，y2）在对称轴的右侧， 当点M在对称轴的左侧时，即t＞﹣2， ∵y1＞y2， 则t﹣（﹣2）＞t+2﹣t， 解得：t＞0， 即t＞0， 当点M在对称轴右侧时，即t＜﹣2， ∵y1＞y2， 则﹣2﹣t＞t+2﹣t， 解得：t＜﹣4， 即t＜﹣4， 综上，t＞0或t＜﹣4． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$