专题5-3二次函数的压轴题（考点清单，10种题型解读+9种题型方法）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

专题5-3 二次函数压轴题 （10题型解读+9种方法解读） 【考点题型一】将军饮马与二次函数 1．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，三点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在对称轴上有一点，使最小时，点坐标为________． (3)是抛物线第一象限上一动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当、、三点共线时，周长最小，求出直线与对称轴的交点即为点； （3）求出过点与平行的直线，当直线与抛物线有唯一交点时，点到直线距离最大，即四边形面积最大， 【详解】（1）将代入， ∴， 解得， 配方得： 故顶点坐标为：， 故答案为：；； （2） ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点A、B关于直线对称， ∴， ∴ ， 当、、三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； 故答案为； （3）设点的横坐标为， 设过点与平行的直线为， 解得， 当有唯一解时，点到直线距离最大， 解得， 此时 故，此时四边形面积最大， 故； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，平行四边形的性质，直线与抛物线交点的求法是解题的关键， 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． (2)根据图象回答：当x取何值时，． (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为， (2)或 (3)的最小值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可； （2）根据函数图象即可得到答案； （3）如图所示，连接，由抛物线的对称性可得，则当三点共线时，最小，即最小，最小值为，求出抛物线对称轴为直线，，则，即的最小值为；求出直线解析式为，可得． 【详解】（1）解：把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （2）解：∵抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标分别为， ∴当时，或； （3）解：如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴的最小值为，此时．    【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式中，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点Q坐标为： 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解； （3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时，的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， ∴顶点坐标， ∵， ∴的面积为：； （3）解：连接与直线交于点Q，    ∵点A与点B关于对称， ∴， ∴的周长为， ∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为， ∵ 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点Q坐标为： ． 【考点题型二】二次函数与面积最值 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 4．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； （3）解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点． (1)直接写出该抛物线的解析______（结果用一般式表示） (2)如图，将直线绕点顺时针旋转后得到直线与抛物线的另一个交点为，求的长． (3)如图，点是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若、的面积分别为、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理定理及其逆定理推出，延长与交直线于点，过点作轴，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，解直角三角形，求出点的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； （3）设，过点作轴，证明，求出的长，将转化为，进而转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点和， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 延长与交直线于点，过点作轴，则：， ∵将直线绕点顺时针旋转后得到直线 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，，代入，得： ，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴； （3）设，过点作轴， 则：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ； ∴当时，有最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图1，已知二次函数的图像与x轴交于、B两点，与y轴交与点，点P是线段上一动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点D，交于点E．    (1)二次函数的表达式是 ； (2)求面积的最大值； (3)当中有一个角与相等时，求点P的坐标；    (4)如图3，将沿翻折至，当点P从点O运动至点B时，记点的运动轨迹为G，若直线与图象G有两个公共点，直接写出m的取值范围 ．    【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，则，，再推出，由此利用二次函数的性质可得答案； （3）先证明，则只存在或这两种情况，然后分当时，过点D作于F，当，过点C作于G，表示出，的长，再证明，，通过相似三角形的性质建立方程求解即可； （4）如图4-1所示，设直线与直线交于N，与x轴交于m，过点B作使得，则，，证明，得到，则点M与点T关于直线对称，求出，则直线的解析式为 ，则直线关于直线的对称直线为直线，再根据对称性可得当直线与抛物线在部分图象有两个交点时，图象G与直线有两个交点，如图4-2所示，求出当直线恰好经过点C时， 当直线与抛物线只有一个交点时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴只存在或这两种情况， 如图3-1所示，当时，过点D作于F， 设，则， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴；    如图3-2所示，，过点C作于G， 设，则， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，点P的坐标为或    （4）解：如图4-2所示，设直线与直线交于N，与x轴交于m，过点B作使得， 在中，当，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点M与点T关于直线对称， 联立，解得， ∴， 同理可得直线的解析式为 ， ∴直线关于直线的对称直线为直线， ∵将沿翻折至， ∴点D与点关于直线对称， ∴当直线与抛物线在部分图象有两个交点时，图象G与直线有两个交点， 如图4-2所示，当直线恰好经过点C时，此时直线 与抛物线在部分图象有两个交点， ∴，即， 当直线与抛物线只有一个交点时， 联立得， ∴， 解得； 综上所述，当时，直线与抛物线在部分图象有两个交点时，即图象G与直线有两个交点．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用数形结合的思想画出对应的图形，以及分类讨论的思想求解是解题的关键，遇到求解析式，利用待定系数法求解；遇到线段和面积的最大值和最小值，注意把面积和线段转换成某条线段关于坐标的二次函数求解，遇到二次函数与角度问题，利用相似三角形求解． 【考点题型三】二次函数与等腰三角形存在性问题 8．（22-23九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入解析式，待定系数法求解析式，进而令，得出点的坐标； （2）若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上，如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接，勾股定理得出，即可得出点的坐标，进而根据中点坐标公式得出点的坐标，待定系数法求解析式求得直线的解析式，联立组成方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵已知抛物线（）与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，解得：， ∴； （2）存在， ∵， ∴， 若存在以为底的等腰，则，点在的垂直平分线上， 如图，设的垂直平分线交轴于点，交于点，连接， 则，设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴， 设直线得到的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴点的坐标为：或 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 9．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B．    (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式； （2）由对称轴知，，得；当取最小值时，周长最小．，当三点共线时，取最小值，相应的周长最小．进而求得； （3）设点P的坐标为，则，，分情况讨论①若，②若，③若，分别构建方程求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，解得 ∴抛物线解析式为 令，解得 ∴． 由直线经过两点，得 ，解得 ∴直线解析式为． （2）解：如图， ∵是抛物线的对称轴， ∴点关于直线对称． ∴． ∴． 当取最小值时，周长最小． 如图，， 当三点共线时，取最小值，相应的周长最小． 时，． ∴    （3）解：设点P的坐标为，则， ， ①若，则，解得 ∴点的坐标为． ②若，则，解得或． ∴点的坐标为． ③若，则，解得或 ∴点的坐标为    综上，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质；根据几何图形的性质构建方程是解题的关键． 10．（22-23九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】(1)由待定系数法即可求解； (2)点关于对称轴对称，则与对称轴l的交点即为所求的点，进而求解； (3)求得的长，分为顶点、为顶点、底边三种情况讨论，进而求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线解析式得 ， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线对称， ∴与对称轴的交点即为点，如下图， 则此时为最小， 设直线经过，两点， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为； 当时，， ∴点； （3）解：∵， ∴， ∴， 当为顶角的顶点时， 则， ∴点的坐标为或； 当为顶角的顶点时， 则， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 当为底边时， 则，即点在线段的垂直平分线上， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度． 【考点题型四】二次函数与直角三角形 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 11．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点．    (1)求拋物线及直线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)若点是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，进而求解； （3）设，可得，，，再由勾股定理得，列出方程求解即可． 【详解】（1）由点的坐标知，， ，故点的坐标为， 将点、、的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， 故抛物线的表达式为； 将点、的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得， 故直线的表达式为； （2）点、关于抛物线的对称轴对称， 设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小，    理由：由函数的对称性知，， 则为最小， 当时，，故点， 由点、的坐标知，， 则， 即点的坐标为、的最小值为； （3）存在 设， ∵，， ∴，，， ∵以点为直角顶点的， ∴， ， ，， ∴或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 12．（21-22九年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式． (2)过点作轴交直线于点，求的最大值． (3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为； (2) (3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式； （2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD＝，由二次函数的性质可得出答案； （3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，证明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标． 【详解】（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式中， 得：， 解得：， ∴二次函数得表达式为； 设BC的函数表达式为y=kx+b， 把点B，点C的坐标代入可得：， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为：； （2）如图，∵轴， ∴点P和点D的横坐标相同， 设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，）， PD＝ ， 当x=时，PD有最大值； （3）分情况讨论： ①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E， ∵为等腰直角三角形，且为直角， ∴NM＝MO，∠NMO＝90°， ∴∠NME＋∠OMF＝90°， ∵∠NME＋∠MNE＝90°， ∴∠MNE＝∠OMF， 又∵∠MEN＝∠OFM＝90°， ∴△MEN≌△OFM（AAS）， ∴OF＝EM，MF＝NE， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴OF＝EM＝1， 设点M坐标为（1，a），则NE＝MF＝a， ∴N（1-a，1+a）， ∵点N在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：， ∴N（，）， ②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2， 同理可得：点N坐标为（，）； ③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3， 同理可得：点N坐标为（，）； ④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4， 同理可得：点N坐标为（，）； 综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键． 13．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）， 则， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知： AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E， ∴AE=PE==t，即E（3-t，0）， 又Q（-1+t，0）， ∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ = = ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC=，AB=4， ∴0≤t≤3， ∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4； （3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F， ∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°， ∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°， ∴∠PMF=∠QPE， 在△PFM和△QEP中， ， ∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t， ∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t， ∴点M的坐标为（3-2t，4-t）， ∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3， 解得：t=或（舍）， ∴M点的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【考点题型五】二次函数与等腰直角三角形存在性问题 14．（23-24九年级上·广东珠海·阶段练习）如图①，已知抛物线L：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接、，当面积最大时，求出P点坐标； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）将，的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用的代数式表示出线段，再利用得到关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得值，则结论可求； （3）由可知点的横坐标为2，设，抛物线的对称轴交轴于点，则，分四种情况：①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵，， ∴，． 过点作轴，交于点，如图，    设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时， 的面积最大，此时， ∴点的坐标为； （3）存在，点的坐标为或或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵是抛物线的对称轴上的一点， ∴点的横坐标为2． 设，抛物线的对称轴交轴于点，则． ①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 同上可得， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， 同上可得， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，配方法，全等三角形的判定与性质，配方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 15．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【分析】（1）由顶点公式求出即可； （2）先按照直线上下方分类，按照角度要求找出点P所在的直线，得到直线与抛物线交点为点P，利用特点求其正切值，可设点P的坐标，结合点C坐标，表示出值，再求出点P坐标； （3）先按照图中点Q的大致位置确定等腰直角三角形只有3种位置，再由等腰直角三角形构造三垂直全等，最后设长度表示出点Q、P坐标，代入函数求出点Q坐标． 【详解】（1），， 故； （2）， 点P存在如下图直线上下两种位置，，    ， 由点P在抛物线上，设点， 作于点， ， 解得或， 或； （3）当点Q在x轴上方左侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴上方右侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴下方时，存在以下三种情况： 当点Q在轴左侧时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    由等腰直角三角形得， ，， 设，， 则， 将点G代入得， 得，代入得：，得， ； 当点Q在轴右侧，点C下方时， 分别过点G、B作水平线交过Q的竖直线于N、M， 同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：， ； 当点Q在轴右侧，点C上方时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：，得 ； 综上所述点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数于几何结合的综合问题，包含特殊角和特殊三角形．通常求解抛物线上的点使角为特殊角，先找到满足角度关系的射线，目标点为抛物线与射线交点采用联立方程求出，当角度具有特殊情况时可结合相似、三角函数、全等构造出适合求出射线的方式，有时也可利用动点所在函数直接设动点坐标，表述出长度，来计算几何特性．构造等腰直角三角形时通常采用三垂直得到点的边长关系，再通过设元表示坐标代入函数求出点坐标． 16．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交线段、轴于点、．设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接、，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为轴上方抛物线上的一个的动点，点为轴上的动点，是否存在这样的点和点，使得以为腰的等腰直角？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①，②存在，最大值为 ； (3)存在，或或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）运用待定系数法可得直线的解析式为，设点（），则点，则①；②，再运用二次函数性质即可求得答案；（3）设（），分两种情况：①当，时；②当，时，分别讨论计算即可． 【详解】（1）解：（1）把，代入得， ， 解得：     ， ； （2）当时，， 点 ， 设直线的表达式为：， 把、代入得，， 解得：， 直线的表达式为：，       设点，则点， ① ， ②， ，故有最大值， ，有最大值是， 的面积的最大值是． （3）存在． 设（），分两种情况：①当，时，    过点作轴，过点、作，，垂足为、， 则， 是等腰直角三角形，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：，， 点坐标为或； ②当，，点在轴右侧时，    过点作轴，过点作，垂足为、， 则， 同理， ， ， 解得：（舍去），， 点坐标为； 当，，点在轴左侧时，    过点作轴，过点作，垂足为、， 则， 同理， ， ， 解得：，（舍去）， 点坐标为； 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，等腰直角三角形的性质等，添加辅助线构造全等三角形及运用分类讨论思想是解题关键． 【考点题型六】二次函数与平行四边形存在性问题 17．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）令，则，即点，点，将点，点代入抛物线，即可求解； （2）由，设点，则，求出利用二次函数的性质即可求解； （3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ，， 将，代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， 设点，则， ， ， ， 当时，面积最大， ； （3）解： ， 抛物线的对称轴为：， 令，则， 解得：， ， ， 设点，点， ①当是平行四边形的一条边时， 当点P在对称轴的右侧时， 点M向左平移个单位向下平移个单位得到A， 同理向左平移个单位向下平移个单位得到， 即，解得：，故点； 当点P在对称轴的左侧时， 同理可得点； ②当是平行四边形的对角线时， 的中点坐标为，此坐标即为P，Q的中点坐标， 即，解得：，故点； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 18．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点C． (1)__________，__________； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为秒（）；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2)当时，的面积最大，最大面积是 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，最大面积是； （3）由，得直线解析式为，设，，分三种情况：①当，是对角线，有，解得；②当，为对角线，有，解得；③当，为对角线，有，解得或． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得， 解这个方程组得， 二次函数的表达式为； （2）解：过点作轴于点，如图： 设面积为， 根据题意得：，． ， ， 在中，令得， ， ， ． ， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是； （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，，又，， ①当，是对角线，则，的中点重合， ， 解得（与重合，舍去）或， ； ②当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得（舍去）或， ； ③当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角函数的应用，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 19．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在点D，使原点O关于的对称点E恰好在直线上，请求出D点的坐标； (3)若点P是对称轴上一点，点Q是抛物线上一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当E在线段上时，；当E在延长线上时， (3)存在，，， 【分析】（1）利用待定系数法可进行求解函数解析式； （2）当E在线段上时，设交对称轴于F点，过F点作y轴的垂线，垂足为H，由题意可求出直线的解析式为，然后可得，则有，进而问题可求解；当E在延长线上时，同理可进行求解； （3）由题意可分当以为该平行四边形的对角线时，当以为平行四边形的一条边时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，设交对称轴于F点，过F点作y轴的垂线，垂足为H，    在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 当E在线段上时， 由对称知， ∵平行与y轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当E在延长线上时，如图所示，    同理可得，， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，或； （3）解：存在，设点，，由题意可分： ①当以为该平行四边形的对角线时，则也为对角线，根据平行四边形的性质可知与的中点为同一个点， ∴，解得：， ∴； ②当以为平行四边形的一条边时，则该平行四边形的对角线分别为，同理可得： ，解得：， ∴； ③当以为平行四边形的一条边时，则该平行四边形的对角线分别为，同理可得： ，解得：， ∴； 综上所述：使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点，，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 【考点题型七】二次函数与矩形存在性问题 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线上方的抛物线上的一动点（点不与点重合），连接，设四边形的面积为，求的最大值； (3)若点在平面直角坐标系内一点，则在抛物线上是否存在一点，使得以四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为； (3)点坐标为或或或． 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）过作轴于点，与交于点，设，则，则，当时，的最大值为； （3）设点的横坐标为t，分三种情况讨论：①当为边，点在上方时；②当为边，点在上方时；③当为对角线时，计算即可求解． 【详解】（1）解：将代入， ， 解得：， ； （2）解：过作轴于点，与交于点， ，， ， 当时，， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ，， ∴，，作轴于点，设点的横坐标为t， ①当为边，点在上方时，如图，作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； ②当为边，点在上方时，如图， 同理，， ∴点的坐标为， ∴， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，如图，作于点， ∴，，，，∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（舍去），（舍去），， ∴点的坐标为或， 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 21．（2023·江苏淮安·二模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．        (1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； (2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． (4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)h的最大值为 (3)不变，这个四边形的面积为16 (4)存在，点P的横坐标为， 【分析】 （1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积； （4）分两种情况，点N在y轴上，点N在x轴上，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为：， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解；∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：，解得：， ∴一次函数解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为：； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴；    （4）解：存在，理由如下： 如图1，当点N在y轴上时，四边形是矩形，此时点P的横坐标为：，        如图2，当四边形是矩形时，设，，则， 由题意得：，得，解得：， 综上所述，点P的横坐标为：，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想，利用参数构建方程是解题的关键． 22．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入解析式即可求解； （2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解； （3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 故抛物线的表达式； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 点D的横坐标是，过点D作直线轴， ，，， ①如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， ； ②如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：线段的长为或． （3）解：设点，， 当四边形是矩形时，则为直角， ①当在对称轴的左侧时， 如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，   ， ∵为直角， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是矩形邻边之比为，即或， 即和的相似比为或， 即， 由题意得：，， ∴， 则， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ②当在对称轴的右侧时，    同理可得：， 解得：， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键． 【考点题型八】二次函数与菱形存在性问题 23．（23-24九年级上·重庆江北·期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)，，1 (3)存在，点M坐标为或或或或 【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出，，的长度，利用勾股定理逆定理可得结论； （2）根据A，C的坐标可得出直线的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可得结论； （3）由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分三种情况讨论，列出方程解之即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． 当时，， 当时，， 则或， ，，， ，，， ，，， ，即， 是直角三角形，且． （2）设直线的解析式的解析式为：， ， ， ， 解得：， 直线的解析式的解析式为：， ∵点是抛物线在第一象限部分上的点，轴， ，，， ， ， ， ， 当时，的最大值为8，此时， ，， ； （3）点M坐标为或或或或 ，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线，则可设， 由（1）（2）可知：，， ，，， 由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，则需要分以下三种情况： ①当时，则， 解得， ∴或； ②当时，则， 解得， ∴或； ③当时，则， 解得：， ∴． 综上，存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，点坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质及勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 24．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将、两个点的坐标代入关系式，求出，的值即可得出答案； （2）先根据点的坐标求出直线的解析式，即可表示点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，再证明，可得，，然后表示出点，最后将点代入直线解析式，求出答案即可； （3）先将关系式配方得出点的坐标，再分两种情况讨论：当为菱形的边时，作，再求出，即可求出点的坐标；当为菱形的对角线时，作，可知，，再设，表示，在中，根据勾股定理求出的值， 可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）由（1）得，点， 设直线的解析式为：， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图①所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ，． ， 点在直线上， ， 解得：， 把代入中得， 当时，点的坐标为； （3）存在． ， 点的坐标为． 分两种情况讨论： 当为菱形的边时，如图所示②：过作于． ， ， ， ， 点的坐标为或； 当为菱形的对角线时，如图所示③：过点作于． 由题意可知，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 点的纵坐标为， 此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数、二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理等． 25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或或． 【分析】（1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式； （2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：， ∴点C坐标， 将代入一次函数得：， ∴点B坐标， 将点B、C代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线． （2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况： 由（1）可得，点，，， ， 当时，，解得（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，，解得或0（0舍去）， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为； 综合上述，存在，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法，考查一次函数和二次函数图象上的点的特点，考查菱形的性质，解题的关键是结合图形分情况讨论，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题． 【考点题型九】二次函数与特殊角的存在性问题 26．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或 【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标； （2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式； （3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标． 【详解】（1）解：二次函数， ， ， ， ， ， 代入得：， ， 二次函数， 令得， 解得：或， 的坐标为， 故答案为：，； （2）解：设， ，， ， ， 当最大时的值最大， 二次函数， 为抛物线的顶点时最大， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：； （3）解：，， 抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 是直角三角形，且， 记为对称轴与轴的交点，如图，连接， ， ， ， ， ， 则①当与重合，即； ②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设， ，， 圆心在直线上，设圆心坐标为，则， ，即， 解得：， ，即， 解得：，， ， 综上，点坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 27．（23-24九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求a的值； (2)点与点是抛物线上两个不重合的点，求的值； (3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数综合问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质，利用数形结合思想解答； （1）根据题意得出再由且即可求解； （2）由（1）得抛物线的解析式为,将和代入解析式，将两式相加和相减即可求得； （3）设点P坐标为，根据题意可确定当为与对称轴交点时，可使得根据，即可求解； 【详解】（1）令 则， 解得：， 令，解得： 点A在点B的左侧, ∴， ∵ 且 ； （2）由（1）得抛物线的解析式为, 将和代入解析式得： ， 两式相减可得：，两式相加可得：， 即，或， 将代入可得：， ； （3）由（1）得： 抛物线对称轴为设点P坐标为， ∴， 则直线方程：, 设点坐标， ，， 可得，当为与对称轴交点时，可使得 ， 点的坐标为．    28．（2023·江苏泰州·二模）如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，且．      (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图，点是抛物线顶点，点是在第二象限抛物线上的一点，分别连接、、，若，求的值； (3)如图，若的角平分线交轴于点，过点的直线分别交射线、于点、（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值． 【答案】(1)； (2)； (3)不变，． 【分析】 （1）利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）如图，过作于，连接，先求顶点，证明，，则，再列方程求解即可； （3）过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，证明，，可得，同理可得：，从而可得答案． 【详解】（1） 解：抛物线与、轴分别交于、两点 设抛物线为：， ， ， 把点代入， ， 解得 所以抛物线解析式为； （2） 解：如图，过作于，连接，    ， 顶点， ，，， ，，， ， ， ，，，，， ，     ，经检验是方程的解且符合题意； 即的值为； （3） 解：不变，求解过程如下： 过作轴交于，过作轴交于，过作轴，如图：    ∵轴，轴，轴， ， ∴，， ， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， 由（1）可知：，， ，， ， 为定值不变． 【点睛】 本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，锐角三角函数的应用，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 29．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点．与轴另一个交点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上在直线上方一点，连接，直线把分成面积比为的两部分，请求出符合条件的点坐标； (3)在抛物线上找符合条件的点，使，并求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）在线段上取或，经过点或点时符合题意，证明，得出，，进而分情况讨论即可求解； （3）取点，连接，过点作于点，则，设交轴于点，则，进而得出则，根据对称性可得当点在负半轴时，，求得直线与抛物线的交点的横坐标即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）如图，在线段上取或，经过点或点时符合题意，    过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴，； 由，当时，即 解得：， ∴， ①当经过点时，设的直线方程为， ∴，解得： ∴的直线方程为：； 与抛物线方程 联立可得，解得，． ∴点的坐标为； ②当经过点时， 设的直线方程为， ∴，解得： 的直线方程为：；与抛物线方程 联立可得，解得， ∴点的坐标为； ∴符合条件的点的坐标为或． （3）解：如图所示，取点，连接，过点作于点，      ∵，，则， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∵， 如图所示，设交轴于点，则      ∴，则 设直线解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 根据对称性可得当点在负半轴时，， 设直线解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【考点题型十】二次函数与相似三角形的存在性问题 30．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线经过三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使是的面积一半，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点E是y轴上的动点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)或或或，详见解析 (4)，详见解析 【分析】 （1）将点代入中即可求解析式； （2）两个三角形相似有两种情况，在利用相似三角形的边对应成比例即可求解； （3）由于与共底，利用平行线的性质，的高只要是高的一半即可，找到的中点N，分两种情况找平行线，①过N点作交y轴于点H，直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为Q；②由H点关于C点对称的点为，过点与直线平行的直线解析式为，该直线与抛物线的交点即为； （4）接，过点M作交于点T，过点M作轴交于点K，在中，，，当三点共线，并且时，值最小,在中，，可求，则即为所求的最小值． 【详解】（1） 将点代入中，得到 ， 解得 ， ∴； （2） 函数对称轴为直线， 设， 由已知可得， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， 当以为顶点的三角形与相似时， ①时， ， ∴或； ②当时，，即， ∴或； 综上所述：以为顶点的三角形与相似时，满足条件的G点坐标为）或或或； （3） 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，可得 ，解得， ∴， ∴ 线段的中点坐标N为 过的中点作交y轴于点H， ∴直线的解析式为， 联立 ， 解得或， ∴或； 当时，， ∴， ∵H点关于C点对称的点为， ∴过点与直线平行的直线解析式为， 联立 ， 解得或， ∴或； 综上所述：与的面积的一半时，Q点坐标为或或或； （4） 连接，过点M作交于点T，过点M作轴交于点K， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 此时的值最小； 设直线的解析式为, 将点代入得， ，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式的，三角形相似的性质，共边的三角形面积问题，利用平行线构高；的最小值求法等知识点，通过构造，将转化为TE的长，再由垂线段最短确定最短距离是解题关键． 31．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或； (3)或或或． 【分析】()由题得抛物线的解析式为，将点坐标代入求 ，进而得到抛物线的解析式，设直线的解析式为，将两点坐标代入求解即可得到直线的解析式； ()由题可得坐标，分别求出，，，对等腰三角形中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解； ()对点在点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点 ，， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得，， ∴, ∴抛物线的表达式为， 即， 设直线的表达式为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵点在直线上，且， ∴点的坐标为， ∴， ∴，， 当为等腰三角形时， 若，则， 即， 解得； 若，则， 即， 解得或(不合，舍去) ； 若，则， 即， 解得或(不合，舍去)； 综上，或或； （3）解：∵点与点相对应， ∴或 若点在点的左侧，则 ，，， 当，即时， 直线的表达式为， ∴， 解得或(不合，舍去)， ∴ ， ∴， ∴，即 ， 解得， ∴； 当，即时， ，， ∴，即 解得， ∵， ∴不合，舍去； 当，即时， ， ， ∴，即， 解得(负值舍去)， ∴； 若点在点的右侧， 则，， 当，即时， 直线的表达式为， ∴， 解得或(不合，舍去)， ∴, ∴，即， 解得， ∴； 当，即时， ，， ∴，即， 解得或(不合，舍去)， ∴； 综上，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识． 32．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图．抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴与直线交于点D，连接，，求的面积； (3)点E为直线上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)或或或 【分析】（1）把点，代入解析式中，即可求解； （2）连接，由点A与点B关于对称轴对称即可得到点A的坐标，从而得到的长，待定系数法求出直线的解析式，从而求得点D的坐标，进而得到的高，根据，结合三角形的面积公式即可解答； （3）分两种情况讨论：①当时，②当时，与相似，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图1所示，连接．        ∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵将代入得：， ∴ 设对称轴与x轴的交点为G， ∴． ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图2所示：当时．      ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点F的纵坐标为1． 将代入抛物线的解析式得；，解得：，， ∵将代入得：， ∴． ∵将代入得：， ∴的坐标为． 如图3所示：当时，    ∵，， ∴． ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，即， ∴点F在直线上， ∴点F是直线与抛物线的交点． ∵，， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点或， ∵轴， ∴点E的横坐标为1或4， ∴将代入得， ∴． 将代入得， ∴． 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，三角形的面积，相似三角形的判定，函数图象的交点，综合运用相关知识是解题的关键． 33．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． ①连接，当三角形的面积最大时，求此时点P的坐标； ②探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)解析式为 (2)①；②存在，或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①求出直线解析式，设点P坐标为，则可得点Q的坐标，由可求得面积取最大值时点P的坐标； ②分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过与点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设直线解析式为， 则有，解得：， 即直线解析式为； 设点P坐标为， ∵轴， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵，， ∴， 当时，面积有最大值，此时， 即此时点P的坐标为； ②存在 当时； 则，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 此时； 当时，如图， 则，， 则有， ∴； 过点C作于E，则， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-3 二次函数压轴题 （10题型解读+9种方法解读） 【考点题型一】将军饮马与二次函数 1．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，三点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)在对称轴上有一点，使最小时，点坐标为________． (3)是抛物线第一象限上一动点，求四边形面积的最大值． 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．    (1)求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． (2)根据图象回答：当x取何值时，． (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的最小值，并求当取最小值时点P的坐标． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．   【考点题型二】二次函数与面积最值 解题思路： 1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线； 2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)； 3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值. 4．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点． (1)直接写出该抛物线的解析______（结果用一般式表示） (2)如图，将直线绕点顺时针旋转后得到直线与抛物线的另一个交点为，求的长． (3)如图，点是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若、的面积分别为、，求的最大值． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图1，已知二次函数的图像与x轴交于、B两点，与y轴交与点，点P是线段上一动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点D，交于点E．    (1)二次函数的表达式是 ； (2)求面积的最大值； (3)当中有一个角与相等时，求点P的坐标；    (4)如图3，将沿翻折至，当点P从点O运动至点B时，记点的运动轨迹为G，若直线与图象G有两个公共点，直接写出m的取值范围 ．    【考点题型三】二次函数与等腰三角形存在性问题 8．（22-23九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B．    (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为等腰三角形的点P的坐标． 10．（22-23九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标； (3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【考点题型四】二次函数与直角三角形 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 11．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点．    (1)求拋物线及直线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)若点是抛物线对称轴上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   12．（21-22九年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式． (2)过点作轴交直线于点，求的最大值． (3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2021·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型五】二次函数与等腰直角三角形存在性问题 14．（23-24九年级上·广东珠海·阶段练习）如图①，已知抛物线L：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接、，当面积最大时，求出P点坐标； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 16．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交线段、轴于点、．设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接、，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为轴上方抛物线上的一个的动点，点为轴上的动点，是否存在这样的点和点，使得以为腰的等腰直角？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点题型六】二次函数与平行四边形存在性问题 17．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 18．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点C． (1)__________，__________； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发.设运动时间为秒（）；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在点D，使原点O关于的对称点E恰好在直线上，请求出D点的坐标； (3)若点P是对称轴上一点，点Q是抛物线上一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型七】二次函数与矩形存在性问题 20．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线上方的抛物线上的一动点（点不与点重合），连接，设四边形的面积为，求的最大值； (3)若点在平面直角坐标系内一点，则在抛物线上是否存在一点，使得以四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2023·江苏淮安·二模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．        (1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； (2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． (4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 【考点题型八】二次函数与菱形存在性问题 23．（23-24九年级上·重庆江北·期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 24．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由． 25．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型九】二次函数与特殊角的存在性问题 26．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 27．（23-24九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． (1)求a的值； (2)点与点是抛物线上两个不重合的点，求的值； (3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得，求点P的坐标． 28．（2023·江苏泰州·二模）如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，且．      (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图，点是抛物线顶点，点是在第二象限抛物线上的一点，分别连接、、，若，求的值； (3)如图，若的角平分线交轴于点，过点的直线分别交射线、于点、（不与点A重合），则的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值． 29．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知抛物线经过，两点．与轴另一个交点为．    (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上在直线上方一点，连接，直线把分成面积比为的两部分，请求出符合条件的点坐标； (3)在抛物线上找符合条件的点，使，并求出点的横坐标． 【考点题型十】二次函数与相似三角形的存在性问题 30．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线经过三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使是的面积一半，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点E是y轴上的动点，连接，直接写出的最小值． 31．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图．抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴与直线交于点D，连接，，求的面积； (3)点E为直线上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． ①连接，当三角形的面积最大时，求此时点P的坐标； ②探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$