专题5-2二次函数与实际问题（考点清单，知识导图+1个考点清单&10种题型解读+3种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

专题5-2 二次函数与实际问题 （1个考点梳理+10种题型解读+3种方法解读） 1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 利用二次函数解决面积最值的方法：求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答,也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决运动型几何问题的方法：对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律. 【考点题型一】销售问题 解题思路：利用二次函数解决实际生活中的利润问题，要认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面，此类问题一般是先运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品所获利润✖销售数量”,建立利润与价格之间的函数关系式，再求出这个函数的最大值即求得最大利润. 解题步骤：1）设未知数 x，y； 2）根据题目条件找到x、y的关系式； 3）利用配方法求二次函数的最值及取得最值的x的取值. 【例1】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． (1)设降价x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，______； (2)请你测算一下，当售价为多少元时，可使日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考查一次函数在销售问题的应用，一元二次方程在销售问题中应用，二次函数在销售问题中的应用． （1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）解：设日销售利润为元，降价x元，由题意得： ， ， 当时，（元），此时售价为（元）； 答：每件售价为70元时，可使日销售利润最大，最大利润为8000元． 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）（）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量） 【答案】(1) (2)当销售价定为80元时，销售利润最大，为元 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出二次函数的解析式． （1）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出二次函数即可； （2）根据二次函数的性质，求最值即可； （3）根据题意，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ∴当时，有最大值为：， 答：当销售价定为80元时，销售利润最大，为元； （3）由题意，当：时， 解得：或， ∴当时，， 又， 解得：， 综上：． 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某商店经销一种手提包，已知这种手提包的成本价为50元/个．市场调查发现，这种手提包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：．设这种手提包每天的销售利润为元． (1)当这种手提包销售单价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (2)如果物价部门规定这种手提包的销售单价不得高于68元，该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元 (2)该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）根据数量关系列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解； （2）当时，代入即可求解； 理清题意，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得：， 整理得：， 当时，有最大值为， 答：当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元． （2）当时，， 解得：，， ， ， 答：该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元． 【变式1-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“双十一”促销活动，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该童装每天销售获利为1200元，每件童装应降价多少元？ (2)该童装每天的销售获利能达到2000元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件童装应降价10元； (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，以及二次函数的应用， （1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利为元，，根据题意列方程求解即可； （2）设童装每天的销售获利为w元，得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 【详解】（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每件盈利为：，不合题意，舍去； 当时，每件盈利为：，符合题意； 答：每件童装应降价10元； （2）不能，理由如下： 设童装每天的销售获利为w元， 由（1）知，， ∴当时，w的值最大，最大值为1250， ∵， ∴该童装每天的销售获利不能达到2000元． 【考点题型二】行程问题 【例2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）物理实验课小明做一个实验： 在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度（单位：）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间ts 0 1 2 3 运动速度 10 9 (1)小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 　 　． (2)求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式，并求出黑球滚动的最远距离．[提示：本题中，距离，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度] 【答案】(1) (2)滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为，黑球滚动的最远距离为 【分析】（1）设关于t的函数解析式为，由表中数据得出二元一次方程组，求出a、b的值即可． （2）先求出，再根据求出，然后由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）设关于t的函数解析式为， 根据题意，得， 解得， 故关于t的函数解析式为． （2）∵，=10，， ∴， ∵， ∴， 故滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为， 当时，黑球滚动的最远距离为， 答：滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为，黑球滚动的最远距离为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式2-1】（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） (2)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【答案】(1)； (2)钢球从斜面顶端滚到底端用． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）先求出，然后得到，再由即可得到答案； （2）根据（1）计算的结果把代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知， ． ， 即． （2）把代入中，得． 解得，（舍去）． ∴钢球从斜面顶端滚到底端用． 【变式2-2】（2023·江苏无锡·模拟预测）有两条相邻的平行滑道（不光滑）．甲木块在一条滑道内自动滑行，直到停止．甲木块与起点线m的距离（厘米）与滑行时间t（秒）之间满足．甲木块滑行2秒后，乙木块在另一滑道从起点线m以某一初速，持续受力运动，乙木块与起点线m的距离（厘米）与受力时间t（秒）是二次函数关系，变化规律如下表： t（秒） 0 1 2 S乙（厘米） 0 16 36 (1)求与t之间的函数关系式； (2)求乙木块追上甲木块用时多长； (3)求甲木块停止时，乙木块与甲木块的水平距离． 【答案】(1) (2)3秒 (3)27厘米 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出与t之间的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）求出甲停止时滑行的最大距离，以及此时乙滑行的距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可设与t之间的函数关系式为：， 把代入解析式可得： ， 解得：， ∴S乙与t之间的函数关系式为：； （2）∵甲木块滑行2秒后，乙才开始运动， ∴， 方程整理可得：， 解得：（舍去）， 答：乙木块追上甲木块用时3秒； （3）根据题意可得：， ∵，且甲木块在一条滑道内自动滑行，直到停止， ∴当时，甲滑行的最大距离为厘米，此时甲停止滑行， ∵甲木块滑行2秒后，乙才开始运动， ∴乙的受力时间（秒）， 此时， ∴（厘米）， 答：甲木块停止时，乙木块与甲木块的水平距离为厘米． 【变式2-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是城市平直道路，道路限速，A路口停车线和B路口停车线之间相距，A、B两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，速度每秒增加．某时刻A路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间． (2)写出汽车加速后行驶的路程S（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数解析式．（提示：本题中，路程平均速度时间t，其中是开始时的速度，是t秒时的速度），并求该汽车最快需要多少时间可以通过停车线 (3)在（2）条件下，若A路口绿灯亮起后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶．若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线，请直接写出该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，，该汽车最快需要可以通过停车线 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合题，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键． （1）先求出，根据速度每秒增加即可求解； （2）根据平均速度的定义即可求出函数解析式，根据题意求得时间，由（1）可知汽车从停车线出发加速到限速所需的时间，则，再求出剩余路程以限速行驶所用的时间即可得到答案； （3）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【详解】（1）解：∵限速为 ∵汽车启动后开始加速，速度每秒增加． ∴ （2）解：当时，， 由（1）可知汽车从停车线出发加速到限速所需的时间， 则， 以行驶的时间为 该汽车最快需要可以通过停车线 （3）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,即汽车加速到． 由（1）可得汽车加速到所用的时间为， 则汽车从停车线出发加速到的路程为，匀速所用时间为， 根据题意可得当B路口绿灯亮起时通过可得，， 整理得： ， 解得：（舍），经检验,是原方程的解， 可得当B路口绿灯熄灭时候通过， ， 解得：（舍），经检验,是原方程的解， 综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为：， 答：该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 【考点题型三】拱桥问题 解题步骤： 1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中； 2）从已知和图像中获得求二次函数图像所需条件； 3）利用待定系数法求二次函数的解析式； 4）运用已求二次函数的解析式解决问题. 【例3】（2023·河南平顶山·二模）隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨度为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到中点O的距离），为7.2m，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为． (1)结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01） (2)当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点C到水面的距离只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法函数关系式，由函数值求自变量的值，两点间的距离公式． （1）把代入，求出a值即可； （2）结合（1），令求出x的值，即可求出的长度，再和21比较可得答案． 【详解】（1）解：由已知可得，抛物线顶点， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 在中，令， 得：， 解得，， ∴， ∵， 故需要采取紧急措施． 【变式3-1】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？ 【答案】(1)y= x2+2x； (2)这个“支撑架”总长是（8+）米 【分析】（1）根据抛物线的对称性知该抛物线的顶点坐标为（6，6），利用抛物线的顶点式求解即可； （2）令（1）中解析式的y=4解一元二次方程，得出C、D的横坐标，进而求出CD即可解答． 【详解】（1）解：由题意，该抛物线过O（0，0）、M（12，0）， ∴该抛物线的对称轴为直线x=6，顶点坐标为P（6，6）， 设该抛物线的解析式为y=a(x－6)2+6， 将点O(0，0)代入，得：36a+6=0，解得：a=， ∴该抛物线的解析式为y= (x－6)2+6= x2+2x； （2）解：∵AD﹣DC﹣CB组成的是矩形“支撑架”， ∴AD=CB=4， 令y=4，由4= x2+2x得：x2－12x+24=0， 解得：，， ∴C(，4)，D（，4）， ∴CD=－()=， ∴AD+DC+CB=4+4+=8+， ∴这个“支撑架”总长是（8+）米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用、待定系数法求二次函数解析式、解一元二次方程、矩形性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 【变式3-2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较，的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令得：； 解得或， ， ， ， ． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 【考点题型四】喷水问题 【例4】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【答案】6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 【变式4-1】（23-24九年级上·吉林·期中）圆形喷水池中心处有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同． 如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点．已知雕塑高米，与水平距离米处为水柱最高点，落水点、之间的距离为米，求喷出水柱的最大高度是多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．根据题意得水柱形成抛物线的对称轴为直线，，，用待定系数法求出函数的解析式，即可得到喷出水柱的最大高度． 【详解】解：由题知，水柱形成抛物线的对称轴为直线，，， 设抛物线解析式为，把，代入，得，解得， 水柱形成抛物线的解析式为， 抛物线顶点坐标为， 喷出水柱的最大高度是米． 【变式4-2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米， ①通过计算说明：水流能不能刚好喷射到小树的顶部； ②绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？ 【答案】(1) (2)①不能；②3米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解打式、二次函数图象平移及二次函数图象上点的坐标牲是解题的关键． （1）题目中告知了抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，又抛物线经过点即可求解顶点式中的，从而求解； （2）①把代入，求出此时y值与3.75比较，若则能，否则不能． ②设抛物线向后平移了米，用（1）中的顶点式，表示出新的抛物线解析式，将点坐标代入解析式中，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米， 则可设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， 抛物线， （2）解：①不能；理由： 把代入，得 ， ∵， ∴水流不能刚好喷射到小树的顶部； ②设喷射架向左水平平移了m米， 则平移后的抛物线可表示为， ∵斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米， ∴点， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 喷射架应向左水平移动3米． 【变式4-3】（23-24九年级上·北京东城·期中）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 【答案】(1)喷出水的最大射程为米 (2) (3)不能 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移米得到的，可得点B的坐标； （3）根据米，米，米，可求得点F的坐标为，当时，求出y的值，再与0.9比较，从而得出答案． 【详解】（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴ ∴喷出水的最大射程为米； （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移米得到的， ∵向左平移米得到点B ∴点B的坐标为； （3）由题意得米，米，米， ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能． 【考点题型五】增长率问题 【例5】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以每次降价的百分率，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 【考点题型六】投球问题 【例6】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）掷实心球是南宁市中考体育考试的项目．如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，此时距离地面． (1)求关于的函数表达式； (2)南宁市体育中考评分标准（女生）如下表所示： 成绩（分） 距离（米） 该女生在此项考试中获得多少分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该女生获得8分，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用； （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴； （2）解：令，即， 解得，（舍去）， ∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为， ∴该女生获得8分． 【变式6-1】（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点垂直地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心距离地面． (1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； (2)求出篮球在该运动员出手时的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求二次函数的解析式，先设，代入，即可作答． （2）已知，令，算出对应的值，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得：，，点C的横坐标为． 设y与x满足的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴y与x满足的函数解析式为； （2）解：由（1）知 令，则， ∴篮球在该运动员出手时的高度是米． 【变式6-3】（2023·江苏盐城·一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同． 已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线． (1)求小铁球从抛出到落地所需的时间； (2)当时，求小铁球P此时的坐标； (3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，自变量x的范围是 【分析】（1）将代入，求出t即可； （2）将代入，得到点P的横坐标；将代入即可得到纵坐标； （3）由（1）可知， 设抛物线的函数表达式为，将、、代入，求出解析式及自变量x的范围． 【详解】（1）将代入，得， 解得． （2）当时，，， ∴， ∴此时． （3）由（1）可知，∴， 设抛物线的函数表达式为， 将、、代入， 解得， 自变量x的范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，正确理解图形及各等量关系是解题的关键． 【考点题型七】隧道问题 【例7】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图1，某高速路有一段隧道，隧道的横截面如图2，横截面的上边缘是一段抛物线，以抛物线的对称轴作为轴，以水平地面作为轴建立平面直角坐标系．已知该抛物线的顶点坐标为，抛物线与轴的交点分别为点和点，抛物线的表达式为．（长度单位：） (1)求的长； (2)若每个隧道都是双向车道，中间是实线（车辆不能压实线，实线的宽度忽略不计），现有一辆高，宽的货车次通过此隧道，请你判断该货车能否通过该隧道，并说明理由． 【答案】(1) (2)高，宽的货车能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，抛物线与x轴的交点坐标．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式是解题的关键． （1）把点代入，计算求解，进而可得抛物线的表达式．将代入表达式，可求得，根据，计算求解即可； （2）当时，，根据，判断作答即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴抛物线的表达式为． 当时，， 解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：该货车能通过该隧道，理由如下： 当时，， ∵， ∴高，宽的货车能通过该隧道． 【变式7-1】（21-22九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． (1)求抛物线的解析式； (2)现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ (3)如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？ 【答案】(1)； (2)它能通过该隧道； (3)货运卡车不能通过． 【分析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+c,根据E点及D点的坐标由待定系数法就可以求出结论； （2）当y=2.4时代入（1）的解析式求出x的值和高作比较，就求出结论； （3）据题意，求出当x=-2.6m或x=0.2+2.4=2.6m时，对应的y值，与高4.4m相比较，即可求出答案． 【详解】（1）∵OE为线段BC的中垂线， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=8m,AB=CD=2m, ∴OC=4． ∴D（4，2，）．E（0，6）． 设抛物线的解析式为y=ax2+c,由题意，得 ， 解得： ， ∴； （2）由题意，得 当y=4.4时，， 解得：， ∴宽度为：， ∴它能通过该隧道； （3）据题意，x=-0.2-2.4=-2.6m或x=0.2+2.4=2.6m, 把x=±2.6代入解析式， 得y=4.31m. ∵4.31m＜4.4m, ∴货运卡车不能通过． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 【变式7-2】（23-24九年级上·贵州安顺·期末）按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基，宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示） ②已知人行道台阶，高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：）． 【答案】(1)原计划每天修20米 (2)①②人行道宽度设计达标，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键． （1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）①由题意可得，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令时求得，然后再减去0.5即可解答；③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令可解答点G的横坐标为，然后求出的长度即可解答． 【详解】（1）解：设原计划每天修x米， 则根据题意可得：， 解得：（舍去，不符合实际）或， 经检验，是分式方程的解． 答：原计划每天修20米； （2）解：①根据题意可得：， 设抛物线的函数表达式为， 由题意可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为， ②∵车的宽度为4米，车从正中通过， 如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3， 令，则有：， 解得：（舍弃负值）， ∴人行道台阶的宽度为：， ∴人行道宽度设计达标． 【变式7-3】（22-23九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表： x/米 0 2 4 6 8 y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5    (1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式； (2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？ 【答案】(1) (2)隧道需标注的限高应米 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时，y有最大值5.5，然后运用待定系数法求出解析式即可； （2）把代入解析式，求出函数值即可解题． 【详解】（1）根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值5.5， ∴设隧道满足的关系式为． 把，代入解析式，得， 解得． ∴隧道满足的关系式为． （2）当时，，∴（米）． 答：隧道需标注的限高应3.25米． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系，求得解析式是解题的关键． 【考点题型八】图形问题 解题思路：求几何图形的最大面积，应在分析图形的基上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数关系式求出最值及取得最值时相应的自变量的值. 一般方法解题步骤：1）设未知数(一般面积为S，边长为x，题目已设出未知数则省掉)； 2）根据题目条件列出面积S和边长x之间的关系式； 3）利用配方法求二次函数的最值. 【注意】在求解几何图形的最大面积时,应注意自变量的取值范围,一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围,一般有以下几种情况: 边长,周长,面积大于0,三角形中任意两边之和大于第三边. 【例8】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为． (1)为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少？ (2)请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)羊圈的长为，宽 (2)羊圈的长为，宽时，羊圈的面积最大，最大值 【分析】（1）设长，则宽为，根据矩形场地面积为，列出方程，解方程即可； （2）设矩形的面积为，根据题意，得构造二次函数解答即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：设长，则宽为， ∵矩形场地面积为， ∴， 即， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，舍去， 故当时，成立， 答：矩形的长为，宽为． （2）解：设矩形的面积为，根据题意，得， ∴当时，y有最大值，最大值为． 此时矩形的长为，宽为． 答：矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为． 【变式8-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【答案】(1) (2) (3)4种 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）首先根据其宽度不小于，不大于，求出，然后用大矩形的面积减去4个小矩形的面积即可求解； （2）将整理为顶点式，利用抛物线性质即可求解； （3）设费用为w，由题意得，利用抛物线性质和x的取值范围结合即可求解． 【详解】（1）出口的宽度为， ∵其宽度不小于，不大于， ∴． 解得， ∵四周的4个出口宽度相等，设绿化区的宽为a， ∴ ∴ 根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； （2）， ∵，抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，． ∴活动区的面积y的最大值为； （3）设投资费用为w， 由题意得，， ∴当时，解得，． ∵，对称轴为， ∴当时，W随x增大而减小， 又∵w不超过72000元， ∴，且x为整数， ∴共有4种建造方案． 【变式8-2】（23-24九年级上·广西防城港·期中）综合与实践： 如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体． 请完成下列方案设计中的任务 【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体． 任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长． （1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？ （2）如图，设的长度为，请用含有x的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为． （3）在（2）的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）在（3）的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？ 【答案】（1）圆柱体的侧面展开图是一个矩形，的长度等于圆柱体的底面周长；（2）见解析；（3）；（4）当时，圆柱体的侧面积y最大，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式、圆柱的侧面展开图，根据矩形的面积公式列方程是解题的关键． （1）根据图形求解即可； （2）根据矩形的周长公式和圆的周长公式求解即可； （3）根据矩形的面积公式列函数解析式，再根据矩形的周长确定x的取值范围即可； （4）把（3）中的解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，圆柱体的侧面展开图是一个矩形，的长度与圆柱体的底面周长相等； （2）； （3） ， 即； （4）由知， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，圆柱体的侧面积最大， 最大面积为：， 所以，当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 【变式8-3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】任务1 ，剪掉的正方形的边长为；任务2，当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的定义，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据各数量之间的关系得出关于函数关系式，是解此题的关键． 任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，根据“折一个底面积为无盖纸盒”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出关于函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 剪掉的正方形的边长为； 任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值， 设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 由题意得：，即， ， 当时，取得最大值，最大值为， 当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 【考点题型九】动点问题 【例9】（2022·江苏苏州·二模）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当 时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当 时， ，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当 时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当 时， ， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 【变式9-1】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为t． (1)则 ， ， ；（用含t的式子表示） (2)求出的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积S随移动时间t增大如何变化． 【答案】(1)，， (2)； (3)当时，S随移动时间t增大而增大，当时，S随移动时间t增大而减小． 【分析】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意用t表示出； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 则， 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴是， 当时，S随移动时间t增大而增大，当时，S随移动时间t增大而减小． 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，到点停止；同时动点从点出发，以每秒的速度在间做往复运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点运动的时间是（秒），的面积是． (1)点共运动________秒； (2)当点沿折线运动时，用含的代数式表示线段的长； (3)当且时，用含的代数式表示S； (4)当两点相遇时，直接写出的值． 【答案】(1)15 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时，；当时， (4)11或15 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用，一元一次方程的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键． （1）根据点Q运动时间与点P运动时间相同，求出点P运动时间即可得点Q运动时间； （2）分情况讨论：当时，当时，分别求解即可； （3）分情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可； （4）根据P、Q共有两次相遇求解即可． 【详解】（1）解：点Q运动时间为（秒）， 故答案为：15； （2）解：当时，点P在上运动．； 当时，点P在上运动，； 综上，当时，；当时，； （3）解：当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动， 此时，，， ； 当时，点P在上运动，点Q由点C向点B运动， 此时，，， ； 当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动， 此时，，， ； 综上，当时，；当时，；当时，； （4）解：当P与Q第一次相遇时，根据题意，得：， 解得：； 当P与Q第二次相遇时，根据题意，得：， 解得：； 综上，当或15时，P、Q两点相遇． 【变式9-3】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，当点的坐标为时，线段 (3)或，或，或 【分析】（1）把点，，分别代入解析式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据，列出方程即可求解； （3）设，然后由题意可分当时，当时， 当时，根据两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）能；理由： 设直线的表达式为，把点，代入得： 解之得： ， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 点的坐标为， 在中，由勾股定理得： ． ， ，， 又，           ， 要使     解得：（舍去）； 当点的坐标为时，线段 ； （3）∵抛物线的解析式为的对称轴为：直线， ∴， ， ∴， 设，则，， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或，或，或 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质及等腰三角形的性质、两点距离公式是解题的关键． 【考点题型十】其它问题 【例10】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)这次表演失败，理由见解析 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值、二次函数的应用等知识点，正确求得二次函数解析式成为解题的关键． （1）将抛物线解析式整理成顶点式求得最大值，即可求得最大高度； （2）将代入抛物线解析式，计算函数值是否等于进行判断即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴函数的最大值是． 答：演员弹跳的最大高度是米． （2）解：这次表演失败，理由如下： 当时，，即这次表演失败． 【变式10-1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得， 解得， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【变式10-2】．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分． 已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．    (1)请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式； (2)运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由． 【答案】(1)坐标系见解析， (2)这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆，理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用， （1）以点为原点，地平线为轴，竖直为轴建立平面直角坐标系．利用待定系数法进行解答即可； （2）在（1）的基础上，由题意，得．运动员落地即为，则． 解得（舍去），．即可进行判断． 【详解】（1）解：以点为原点，地平线为轴，竖直为轴建立平面直角坐标系．    则． 设抛物线． 将点代入函数表达式，得． 解得． 抛物线的表达式为． （2）解：在（1）的基础上，由题意，得． 运动员落地即为， ． 解得（舍去），． 由可判断这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆． 【变式10-3】（23-24九年级上·江苏·期中）塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成（如图2），矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点坐标为，其横截面有三根支架，，（三根支架均垂直于地面），且．    (1)求此抛物线对应的二次函数关系式； (2)已知大棚共有支架300根（，，各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到（如图3）．若增加的支架（，，）单价为60元/米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度的最大值． 【答案】(1) (2)大棚向上调整高度的最大值为0.8米 【分析】（1）由题意可确定抛物线的顶点的坐标，以及点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线对应的二次函数关系式； （2）设改造后抛物线解析式为，用的代数式表示，再表示出，、，，，的坐标，以及，，的长，根据题意用得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）如图，由题意知抛物线顶点， 可设抛物线解析式为， 由题意，知点的坐标为， 代入解析式得， 解得， 抛物线对应的二次函数关系式为； （2）改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为， 过点， ， ， 即改造后抛物线解析式为， 米，， 则，，，，，， ，，， ， 由题意可列不等式，， 解得， ， 当时，的值最大（米． 答：大棚向上调整高度的最大值为0.8米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-2 二次函数与实际问题 （1个考点梳理+10种题型解读+3种方法解读） 1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 利用二次函数解决面积最值的方法：求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答,也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决运动型几何问题的方法：对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律. 【考点题型一】销售问题 解题思路：利用二次函数解决实际生活中的利润问题，要认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面，此类问题一般是先运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品所获利润✖销售数量”,建立利润与价格之间的函数关系式，再求出这个函数的最大值即求得最大利润. 解题步骤：1）设未知数 x，y； 2）根据题目条件找到x、y的关系式； 3）利用配方法求二次函数的最值及取得最值的x的取值. 【例1】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件． (1)设降价x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y，______； (2)请你测算一下，当售价为多少元时，可使日销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）（）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量） 【变式1-2】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某商店经销一种手提包，已知这种手提包的成本价为50元/个．市场调查发现，这种手提包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：．设这种手提包每天的销售利润为元． (1)当这种手提包销售单价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (2)如果物价部门规定这种手提包的销售单价不得高于68元，该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【变式1-3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“双十一”促销活动，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该童装每天销售获利为1200元，每件童装应降价多少元？ (2)该童装每天的销售获利能达到2000元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由． 【考点题型二】行程问题 【例2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）物理实验课小明做一个实验： 在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度（单位：）随滚动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间ts 0 1 2 3 运动速度 10 9 (1)小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 　 　． (2)求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式，并求出黑球滚动的最远距离．[提示：本题中，距离，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度] 【变式2-1】（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） (2)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【变式2-2】（2023·江苏无锡·模拟预测）有两条相邻的平行滑道（不光滑）．甲木块在一条滑道内自动滑行，直到停止．甲木块与起点线m的距离（厘米）与滑行时间t（秒）之间满足．甲木块滑行2秒后，乙木块在另一滑道从起点线m以某一初速，持续受力运动，乙木块与起点线m的距离（厘米）与受力时间t（秒）是二次函数关系，变化规律如下表： t（秒） 0 1 2 S乙（厘米） 0 16 36 (1)求与t之间的函数关系式； (2)求乙木块追上甲木块用时多长； (3)求甲木块停止时，乙木块与甲木块的水平距离． 【变式2-3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是城市平直道路，道路限速，A路口停车线和B路口停车线之间相距，A、B两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，速度每秒增加．某时刻A路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间． (2)写出汽车加速后行驶的路程S（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数解析式．（提示：本题中，路程平均速度时间t，其中是开始时的速度，是t秒时的速度），并求该汽车最快需要多少时间可以通过停车线 (3)在（2）条件下，若A路口绿灯亮起后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶．若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线，请直接写出该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【考点题型三】拱桥问题 解题步骤： 1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中； 2）从已知和图像中获得求二次函数图像所需条件； 3）利用待定系数法求二次函数的解析式； 4）运用已求二次函数的解析式解决问题. 【例3】（2023·河南平顶山·二模）隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨度为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到中点O的距离），为7.2m，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为． (1)结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01） (2)当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点C到水面的距离只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【变式3-1】（21-22九年级上·江苏连云港·期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？ 【变式3-2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：    (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【变式3-3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【考点题型四】喷水问题 【例4】（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 【变式4-1】（23-24九年级上·吉林·期中）圆形喷水池中心处有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同． 如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点．已知雕塑高米，与水平距离米处为水柱最高点，落水点、之间的距离为米，求喷出水柱的最大高度是多少米？ 【变式4-2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米， ①通过计算说明：水流能不能刚好喷射到小树的顶部； ②绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？ 【变式4-3】（23-24九年级上·北京东城·期中）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 【考点题型五】增长率问题 【例5】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【变式5-3】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【考点题型六】投球问题 【例6】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）掷实心球是南宁市中考体育考试的项目．如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，此时距离地面． (1)求关于的函数表达式； (2)南宁市体育中考评分标准（女生）如下表所示： 成绩（分） 距离（米） 该女生在此项考试中获得多少分，请说明理由． 【变式6-1】（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【变式6-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点垂直地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心距离地面． (1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； (2)求出篮球在该运动员出手时的高度． 【变式6-3】（2023·江苏盐城·一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同． 已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线． (1)求小铁球从抛出到落地所需的时间； (2)当时，求小铁球P此时的坐标； (3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 【考点题型七】隧道问题 【例7】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图1，某高速路有一段隧道，隧道的横截面如图2，横截面的上边缘是一段抛物线，以抛物线的对称轴作为轴，以水平地面作为轴建立平面直角坐标系．已知该抛物线的顶点坐标为，抛物线与轴的交点分别为点和点，抛物线的表达式为．（长度单位：） (1)求的长； (2)若每个隧道都是双向车道，中间是实线（车辆不能压实线，实线的宽度忽略不计），现有一辆高，宽的货车次通过此隧道，请你判断该货车能否通过该隧道，并说明理由． 【变式7-1】（21-22九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． (1)求抛物线的解析式； (2)现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ (3)如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？ 【变式7-2】（23-24九年级上·贵州安顺·期末）按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基，宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示） ②已知人行道台阶，高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：）． 【变式7-3】（22-23九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表： x/米 0 2 4 6 8 y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5    (1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式； (2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？ 【考点题型八】图形问题 解题思路：求几何图形的最大面积，应在分析图形的基上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数关系式求出最值及取得最值时相应的自变量的值. 一般方法解题步骤：1）设未知数(一般面积为S，边长为x，题目已设出未知数则省掉)； 2）根据题目条件列出面积S和边长x之间的关系式； 3）利用配方法求二次函数的最值. 【注意】在求解几何图形的最大面积时,应注意自变量的取值范围,一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围,一般有以下几种情况: 边长,周长,面积大于0,三角形中任意两边之和大于第三边. 【例8】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为． (1)为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少？ (2)请你帮忙计算一下羊圈的长与宽分别是多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？ 【变式8-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【变式8-2】（23-24九年级上·广西防城港·期中）综合与实践： 如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体． 请完成下列方案设计中的任务 【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体． 任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长． （1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？ （2）如图，设的长度为，请用含有x的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为． （3）在（2）的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）在（3）的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？ 【变式8-3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【考点题型九】动点问题 【例9】（2022·江苏苏州·二模）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【变式9-1】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为t． (1)则 ， ， ；（用含t的式子表示） (2)求出的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积S随移动时间t增大如何变化． 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，到点停止；同时动点从点出发，以每秒的速度在间做往复运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点运动的时间是（秒），的面积是． (1)点共运动________秒； (2)当点沿折线运动时，用含的代数式表示线段的长； (3)当且时，用含的代数式表示S； (4)当两点相遇时，直接写出的值． 【变式9-3】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点题型十】其它问题 【例10】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【变式10-1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【变式10-2】．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分． 已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．    (1)请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式； (2)运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由． 【变式10-3】（23-24九年级上·江苏·期中）塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成（如图2），矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点坐标为，其横截面有三根支架，，（三根支架均垂直于地面），且．    (1)求此抛物线对应的二次函数关系式； (2)已知大棚共有支架300根（，，各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到（如图3）．若增加的支架（，，）单价为60元/米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$