精品解析：河南省驻马店市平舆县完全中学2024-2025学年 上学期期中试卷九年级数学试题

平舆县完全中学2024−2025学年度上期期中试卷 九年级数学 （考试时间：100分钟试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版九年级上册第21.1章~第24.1章． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如下图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义进行判断即可得出答案． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 2. 已知x1，x2是一元二次方程的两根，则x1＋x2的值是【 】 A. 0 B. 2 C. －2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】∵x1，x2是一元二次方程的两根，∴x1+x2=2．故选B． 3. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的物物线解析式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线平移法则“左加右减，上加下减”得到新抛物线解析式，整理即可． 【详解】解：将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的新抛物线解析式是，即． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移法则是解题的关键． 4. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. 438（1+x）2=389 B. 389（1+x）2=438 C. 389（1+2x）=438 D. 438（1+2x）=389 【答案】B 【解析】 【详解】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得： 389（1+x）2=438． 故选B． 5. 已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A. k＜﹣2 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程的二次项系数不为零、根的判别式的值大于零，从而列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的取值范围． 【详解】根据题意得：，且， 解得：，且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，能够准确得到关于的不等式组是解决问题的关键． 6. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案． 【详解】，， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 若点，是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】由、是抛物线上的两点，而这两点关于抛物线的对称轴对称，从而可得答案. 【详解】解：，是抛物线上的两点， 抛物线的对称轴是直线，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用抛物线上对称的两点坐标求解对称轴方程，理解对称轴方程的含义是解本题的关键. 8. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝＝， ∴A（1，）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，）， 故选：B 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 10. 已知一次函数的图象如图，则二次函数 在平面直角坐标系中的图象可能（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的综合．根据图象，得到，，判定即可． 【详解】解：观察一次函数图象可知：，， ∴二次函数的图象开口向上，且与y轴的交点在y轴正半轴． 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 点与点关于原点对称，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求出，的值，即可得出答案，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：3． 12. 若是方程的一个根，则式子的值为__________． 【答案】2020 【解析】 【分析】将a代入方程中得到，将其整体代入中，进而求解． 【详解】由题意知，，即， ∴， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键． 13. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可． 【详解】解：由题意得，解得． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点． 14. 如图，AB、AC是⊙O的弦，点D是CA延长线上的点．，若，则∠BOC的度数是________°． 【答案】100 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠ADB=∠ABD=25°，再利用三角形外角性质得到∠BAC，最后利用圆周角定理即可求出∠BOC． 【详解】解：∵AD=AB，∠ADB=25°， ∴∠ADB=∠ABD=25°， ∴∠BAC=∠ADB+∠ABD =50°， ∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质等知识，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 15. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ， 其中正确的是________． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=1,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负,由此得出①正确，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,可知c为正结合a<0、b>0即可得出②错误，将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③正确，根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标,即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标,④正确，⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题. 【详解】∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴对称轴为x=-=1， ∴2a+b=0，①正确， ∵a，b,抛物线与y轴交于正半轴， ∴c ∴abc0，②错误， ∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y= ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度， ∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根， ③正确. ∵对称轴为x=-=1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为（-2，0），④错误， 由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1.， ⑤正确. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉二次函数的性质是解题关键. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，再利用配方法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 等式两边加6，得， 由完全平方公式得， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 提取公因式，得， 解得：， 17. 在如图网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在中，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，并直接写出A、C两点的坐标； （3）根据（2）的坐标系作出与关于原点对称的图形． 【答案】（1）如图，为所作； （2）如图，建立直角坐标系，A点坐标为，C点的坐标为； （3） 为所作： 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的中心对称和旋转变换； （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点，再顺次连接起来即可； （2）利用B点坐标画出直角坐标系，然后写出A、C的坐标； （3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 19. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 20. 如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°. (1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC； (2)若点D是的中点，求证：四边形OADB是菱形． 【答案】 （1）∵， ∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形， 又∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC； （2）如图，连接OD， ∵D是的中点， ∴ . ∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝∠ACB＝60°， 又OD＝OA，OD＝OB， ∴△OAD和△OBD都是等边三角形， ∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD， ∴OA＝AD＝DB＝BO， ∴四边形OADB是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）连接OD，如图，由D是的中点得，则根据圆周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理． 21. 一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2），每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元 （3）能，销售单价为14元/件 【解析】 【分析】此题考查了二次函数、一次函数、一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质进行解答即可； （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元．据此得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， 所以与的函数表达式为， （元/件）， ； 【小问2详解】 根据题意知， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为； 每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元； 【小问3详解】 该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元． 根据题意知，， 则， 解得或（舍去）， 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是128元，销售单价为14元/件． 22. 如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值． 【答案】（1）；（2）P（﹣1，4），，；（3）． 【解析】 【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）设P点坐标为（x，），根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； （3）先求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 【详解】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）由（1）知，该抛物线的解析式为， 则易得B（1，0）， 设P点坐标为（x，）， ∵， ∴， 整理，得或， 解得x=﹣1或x=， 则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4），，； （3）设直线AC的解析式为， 将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：， 解得：， 即直线AC的解析式为． 设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，）， QD===， ∴当x=时，QD有最大值． 23. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 【答案】（1） 证明：根据旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：点与点关于直线对称， ，， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ； ． 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：，，根据是等边三角形，可得，，所以可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； ①首先设，把和分别用含的代数式表示出来，可得，根据同旁内角互补两直线平行可证中结论成立； ②由可知，根据可得，可以得到角之间的关系，根据角之间的关系列方程，解方程求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 如下图所示，连接 点与点关于直线对称， ， ， 由知， ，， 由可知， ， ， ， 由知， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键运用代数方法表示各角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平舆县完全中学2024−2025学年度上期期中试卷 九年级数学 （考试时间：100分钟试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版九年级上册第21.1章~第24.1章． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如下图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(　　) A. B. C. D. 2. 已知x1，x2是一元二次方程的两根，则x1＋x2的值是【 】 A. 0 B. 2 C. －2 D. 4 3. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的物物线解析式是( ) A. B. C. D. 4. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. 438（1+x）2=389 B. 389（1+x）2=438 C. 389（1+2x）=438 D. 438（1+2x）=389 5. 已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A. k＜﹣2 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 6. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数的图象如图，则二次函数 在平面直角坐标系中的图象可能（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 点与点关于原点对称，则______． 12. 若是方程的一个根，则式子的值为__________． 13. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 14. 如图，AB、AC是⊙O的弦，点D是CA延长线上的点．，若，则∠BOC的度数是________°． 15. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ， 其中正确的是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 17. 在如图网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在中，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，并直接写出A、C两点的坐标； （3）根据（2）的坐标系作出与关于原点对称的图形． 18. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 20. 如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°. (1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC； (2)若点D是的中点，求证：四边形OADB是菱形． 21. 一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，该加工品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销售量每件的利润） （3）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是128元？若能，求出销售单价应为多少元；若不能，请说明理由． 22. 如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值． 23. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $