专题02 排列组合（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第三册）

02 排列组合 一、知识填空： 1．排列数：从个 中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示． 2．排列数公式及全排列： （1） ，其中，并且;（2） ． （3）从个不同元素中取出个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作个元素的一个全排列，此时 （叫作的阶乘）．规定： ． 3．排列数公式： （1）乘积形式： ．（这里且） （2）阶乘形式：．（，且） （3）性质： ，规定 ， ． 4．组合：一般地，从个不同元素中取出个不同的元素， 构成一组，叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组合． 5．组合数：从个不同元素中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示． 6．组合数公式： 或 （其中，并且）. 7．组合数的基本运算性质： （1） （）；（2） （）． 自检自纠： 1．不同元素，不同排列， 2．， ， ，1 3．…，！，1，1 4．不论次序地，， 5．不同组合， 6． ， 7．， 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（   ） A．6 B．12 C．24 D．42 【答案】D 【详解】.故选：D. 2．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由排列数的定义得.故选：D. 3．若，则x的值为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 【答案】C 【详解】,或，即或.故选：C 4．（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【答案】D 【详解】依题意，.故选：D 5．从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，不同的选法种数是（    ） A．12 B．20 C．45 D．90 【答案】C 【详解】由题意，从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，由组合的定义可知，不同的选法种数为,故选:C 6．若8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为8名同学排成2排，每排4人，等价于8名同学排成一排，故共有种排法，故选：D 7．用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 【答案】C 【详解】从中任选两个数字，组成两位数的个数有个，其中数字0排首位的有4个，所以满足条件的两位数有个.故选：C 8．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由组合数的性质得 .故选AB. 10．某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（    ） A．至多有1件不合格品的抽法种数为 B．都是合格品的抽法种数为 C．至少有1件不合格品的抽法种数为 D．至少有1件不合格品的抽法种数为 【答案】CD 【详解】对于A：至多有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是没有不合格品，故抽法种数为，A错误； 对于B：都是合格品的抽法种数为，B错误； 对于C：至少有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是有2件不合格品，故抽法种数为，C正确； 对于D：至少有1件不合格品的抽法种数为，D正确. 故选：CD. 11．甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（    ） A．甲乙不相邻的不同排法有种 B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种 C．甲乙不排在两端的不同排法有种 D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种 【答案】BC 【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确； B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确； C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确； D：甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种，所以本选项不正确. 故选：BC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，则 . 【答案】 【详解】因为，，所以,可得. 13．若，则 ． 【答案】2 【详解】由题知，即，解得．故答案为：２. 14．从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种.(用数字作答） 【答案】36 【详解】先从班委会除了甲、乙的另外3名成员中选出1名担任文娱委员有,再从剩余的4人中选出两人分别担任学习委员和体育委员有，共有种选法 B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，那么 A．20 B．30 C．42 D．72 【答案】B 【详解】，.答案选B 2．若，则n=（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由，则，则，得即，解得n=6或（舍）.故选：A 3．满足关系式的正整数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知且，根据组合数以及排列数的计算公式可得，解得,所以可取3,4,5,故选：B 4．阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据阶乘的定义可得，A正确； ，B正确； ，C正确； ，故D错误， 故选:D 5．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 【答案】A 【详解】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况，3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种，所以共有种排法.故选：A 6．将“数学不可不学数”中的7个汉字重新排列后，不同的排列方法还有（    ）种． A．629 B．630 C．839 D．840 【答案】A 【详解】“数学不可不学数”这7个汉字进行排列，7个位置选2个放“数”，有种方法，剩下5个位置选2个放“学”， 有种方法，剩下3个位置选2个放“不”， 有种方法，最后一个位置放“可”，排列方法共有种，故重新排列后，不同的排列方法还有种.故选：A 7．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】B 【详解】将4张电影票分成三份，其中2张一份的电影票编号连续，则有12，3，4；1，23，4；1，2，34三种分法，然后将三份电影票分给三个人，有种分法，所以不同的分法种数为．故选：B． 8．将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（ ） A．150 B．180 C．240 D．300 【答案】A 【详解】先将5名志愿者分为3组，有种分法；再将这3组分配到3个社区，有种分法；则不同的分配方法数为种；故选：A 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列各式中，等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对选项A，，故A错误. 对选项B，，故B错误. 对选项C，，故C正确. 对选项D，，故D正确. 故选：CD 10．下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，•，选项D正确． 故选：ACD． 11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（    ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有72种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有18种 【答案】ACD 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，相当于先排好这3个人有 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有 种插法， ，故B错误； 对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中， ，故C正确； 对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有 种，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．不等式，其中的解集为 ； 【答案】 【详解】由题知，，且，又， 即，解得，故或，所以，原不等式的解集为.故答案为： 13．某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师名、学生名．每支集训队由名教师和名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三支队伍分组方法共 种． 【答案】 【详解】若学生丙或丁，与甲乙同队，此时的分组方法有种； 若学生丙或丁，不与甲乙同队，先选出1名学生，与甲乙同队，有种方法；然后剩余2名教师，4名学生分为2组，此时的分组方法有种方法，其中丙丁在同一组的情况，只需选出1名教师即可，有种，所以，丙丁不在同一小组的有.根据分步乘法计数原理可知，此时的分组方法有. 综上，根据分类加法计数原理可知，这三支队伍分组方法共种.故答案为：24. 14．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ． 【答案】16 【详解】根据题意，可分三步进行分析： （1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况； （2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位； （3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，所以不同的排课方法的种数是种， 故答案为：16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02 排列组合 一、知识填空： 1．排列数：从个 中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示． 2．排列数公式及全排列： （1） ，其中，并且;（2） ． （3）从个不同元素中取出个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫作个元素的一个全排列，此时 （叫作的阶乘）．规定： ． 3．排列数公式： （1）乘积形式： ．（这里且） （2）阶乘形式：．（，且） （3）性质： ，规定 ， ． 4．组合：一般地，从个不同元素中取出个不同的元素， 构成一组，叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组合． 5．组合数：从个不同元素中取出个不同的元素，所有 的个数叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示． 6．组合数公式： 或 （其中，并且）. 7．组合数的基本运算性质： （1） （）；（2） （）． 自检自纠： 1．不同元素，不同排列， 2．， ， ，1 3．…，！，1，1 4．不论次序地，， 5．不同组合， 6． ， 7．， 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（   ） A．6 B．12 C．24 D．42 2．等于（    ） A． B． C． D． 3．若，则x的值为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 4．（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 5．从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，不同的选法种数是（    ） A．12 B．20 C．45 D．90 6．若8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法（    ） A． B． C． D． 7．用可以组成无重复数字的两位数的个数为（    ） A．25 B．20 C．16 D．15 8．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．（    ） A． B． C． D． 10．某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（    ） A．至多有1件不合格品的抽法种数为 B．都是合格品的抽法种数为 C．至少有1件不合格品的抽法种数为 D．至少有1件不合格品的抽法种数为 11．甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（    ） A．甲乙不相邻的不同排法有种 B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种 C．甲乙不排在两端的不同排法有种 D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，则 . 13．若，则 ． 14．从班委会 5 名成员中选出 3 名， 分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种.(用数字作答） B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知，那么 A．20 B．30 C．42 D．72 2．若，则n=（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．满足关系式的正整数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 4．阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp）于1808年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n!，它的值为所有小于或等于n的正整数的积，即 ．根据上述材料，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 6．将“数学不可不学数”中的7个汉字重新排列后，不同的排列方法还有（    ）种． A．629 B．630 C．839 D．840 7．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 8．将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（ ） A．150 B．180 C．240 D．300 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列各式中，等于的是（    ） A． B． C． D． 10．下列等式正确的是（　　） A． B． C．！ D． 11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（    ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有72种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有18种 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．不等式，其中的解集为 ； 13．某校为参加某比赛，计划组建三支集训队．现共有备赛教师名、学生名．每支集训队由名教师和名学生组成．根据需要，教师甲和学生乙要分配在一个队，学生丙和学生丁不在同一个队，则这三支队伍分组方法共 种． 14．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$