2025年高考数学二轮复习专项训练16 数列求和及其综合应用

2025二轮复习专项训练16 数列求和及其综合应用 [考情分析]　高考常考内容，主要考查等差、等比数列与常见数列求和的综合应用，主要以解答题的形式出现，属于中档题． 【练前疑难讲解】 一、an与Sn的关系 1．数列{an}中，an与Sn的关系 an＝ 2．求数列通项公式的常用方法： (1)公式法：利用等差(比)数列的公式求通项公式． (2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项公式an. (3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项公式an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 二、数列求和 数列求和常见方法： (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并． (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}一个是等差数列，一个是等比数列． (3)裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如的数列． 三、数列的综合应用 数列与函数、不等式的交汇： 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题． 一、解答题 1．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知数列的前项和为，，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 2．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（2024·四川自贡·一模）已知数列的前顶和为.且. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和. 4．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 5．（2024·广东茂名·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 6．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【基础保分训练】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．5 D． 2．（2024·四川内江·模拟预测）在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·广西钦州·阶段练习）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（    ） A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法 C．小明第一个月还款的现值为元 D． 三、填空题 5．（2024·河北保定·二模）已知数列的前项积为，若，则满足的正整数的最小值为 . 6．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ． 四、解答题 7．（2024·云南·模拟预测）已知数列. (1)求； (2)令为数列的前项和，求. 8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 10．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 11．（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高. (1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项； (2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由. 12．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 【能力提升训练】 一、单选题 1．（21-22高二上·福建宁德·期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高二上·山东泰安·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前10项和为30 D．数列的前项和为 4．（2024·云南·模拟预测）设是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列．已知数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 . 6．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列中，，，，则的前项和 ． 四、解答题 7．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 8．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 9．（2024·江苏宿迁·一模）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且． (1)求的值； (2)若，求证：． 10．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足. (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的前项和. 11．（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 12．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025二轮复习专项训练16 数列求和及其综合应用 [考情分析]　高考常考内容，主要考查等差、等比数列与常见数列求和的综合应用，主要以解答题的形式出现，属于中档题． 【练前疑难讲解】 一、an与Sn的关系 1．数列{an}中，an与Sn的关系 an＝ 2．求数列通项公式的常用方法： (1)公式法：利用等差(比)数列的公式求通项公式． (2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项公式an. (3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项公式an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 二、数列求和 数列求和常见方法： (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并． (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}一个是等差数列，一个是等比数列． (3)裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如的数列． 三、数列的综合应用 数列与函数、不等式的交汇： 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题． 一、解答题 1．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知数列的前项和为，，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 2．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（2024·四川自贡·一模）已知数列的前顶和为.且. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和. 4．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 5．（2024·广东茂名·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 6．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系，分和两种情况讨论求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意，当时，，且， 若，则，即， 当时，， 两式相减得，， 整理得，即， 所以. 综上所述，. （2）因为， 设数列的前项和为， 当时，， 当时， ， 此时时适合上式， 所以. 2．(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．(1) (2)， 【分析】（1）利用求通项公式； （2）转化为等差数列、等比数列，分组求和. 【详解】（1）当时，可得：； 当时，，，两式相减，得：，即， 所以：. （2）当时，； 当时，，所以， 所以：， 时，，上式也成立. 所以：， 4．(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合，即可求得； （2）由，把表达式求出后，可直接求和. 【详解】（1）， 设，则，又， 所以，. （2） . 5．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得； （2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证. 【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列， 故， 即， 当时，， 故 ， 当时，，符合上式， 故； （2）由，， 故， 则 ， 由， 故， 则. 6．(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可； （2）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式； （3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可. 【详解】（1）因为，则，从而有， 由，则， 则，解得则有，所以； （2）由，则， 所以， 故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； （3）由等比数列的前n项和公式得：， 因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令，， 则，当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，且，，，则， 当n为偶数时，原式化简为，所以当时，； 当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以； 综上可知，. 【基础保分训练】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．5 D． 2．（2024·四川内江·模拟预测）在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·广西钦州·阶段练习）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（    ） A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法 C．小明第一个月还款的现值为元 D． 三、填空题 5．（2024·河北保定·二模）已知数列的前项积为，若，则满足的正整数的最小值为 . 6．（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ． 四、解答题 7．（2024·云南·模拟预测）已知数列. (1)求； (2)令为数列的前项和，求. 8．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（2024·全国·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为. 10．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 11．（2023·广东佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高. (1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项； (2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由. 12．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B D BCD BCD 1．B 【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列，， 所以，即，则 记，则， 两式相加得， 所以，即. 故选：B. 2．D 【分析】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． 【详解】解：由， 可得， 所以当时，， 又， 所以， 所以． 故选：D． 3．BCD 【分析】由条件可得当为奇数时，；当为偶数时，，然后可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，；当为偶数时，. 所以，选项错误；又因为，所以，选项B正确； 故C正确 ，选项D正确. 故选：BCD 4．BCD 【分析】AB根据还款特点，得到还款方式；C选项，设出第一个月还款的现值为，列出方程，求出答案；D选项，表达出第12个月末所欠银行贷款数，因为分次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案. 【详解】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确； C选项，设小明第一个月还款的现值为，则，解得，故C正确； D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为， 第二个月末所欠银行贷款为， 第三个月末所欠银行贷款为， …… 第12个月末所欠银行贷款为 ， 由于分次还清所有的欠款，故， 解得，D正确. 故选：BCD 5． 【分析】由题可得，可先分析，然后解不等式取值满足题意即可. 【详解】解：由满足，即， 故：， 当时，， 又为偶数时，为奇数时，，所以要满足， 所以的最小值为5， 故答案为：5. 6． 【分析】根据倒序相加法求得，再根据二项式系数和公式即可求解. 【详解】因为，又， 所以 又因为， 所以，即. 故答案为：. 7．(1) (2). 【分析】（1）利用得到，再用两式相减可得，由于此时，所以需要对第一项和第二项进行检验，，最后可判断是等比数列，并求出通项； （2）先求出，再利用错位相减法来求出它的前项和. 【详解】（1）由， 所以当时，有，两式相减得：， 即. 又有， 所以是以为首项，公比为2的等比数列，所以. （2）由（1）知：， 所以， 则， 上面两式相减得：， 所以. 8．(1) (2) 【分析】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为数列的首项为1，且， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 9．(1) (2) 【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，再由等差数列的定义及通项公式计算可得 （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 即， 当时，解得或（舍去）， 当时， 所以， 即， 即，即， 又，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以 . 10．(1) (2) 【分析】（1）计算出，将两式和做差，得出关于的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可； （2）由于……，给出“当时，，……”等结论，分组计算数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，将两式相减，得：， 所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列. 当为奇数时，，，……，且， 则， 当为偶数时，则， 所以. （2）设的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 11．(1)（答案不唯一，符合题意即可） (2)可以，理由见详解 【分析】（1）根据等差数列的通项公式运算求解，并检验24和19.2是否符合； （2）根据题意求，并与310比较大小，分析判断. 【详解】（1）由题意可知：，注意到， 取等差数列的公差，则， 令，解得，即24为第5项； 令，解得，即19.2为第7项； 故符合题意. （2）可以，理由如下： 由（1）可知：， 设数列的前项和为， ∵， 故新堆叠坊塔的高度可以超过310米. 12．(1) (2)8 【分析】（1）根据的关系即可求解， （2）根据裂项相消法求解和，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，由，得； 当时，，符合上式. 综上所述，. （2）， 所以. 由，得，解得，又，所以的最小值为8. 【能力提升训练】 一、单选题 1．（21-22高二上·福建宁德·期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高二上·山东泰安·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前10项和为30 D．数列的前项和为 4．（2024·云南·模拟预测）设是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列．已知数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 . 6．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列中，，，，则的前项和 ． 四、解答题 7．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 8．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 9．（2024·江苏宿迁·一模）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且． (1)求的值； (2)若，求证：． 10．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足. (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的前项和. 11．（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 12．（2024·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求证：. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D ABC BC 1．C 【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围. 【详解】由数列的前n项和为且，得， 于是， 两式相减得：， 因此，，显然数列是递增数列， 当为奇数时，，由恒成立，得，则， 当为偶数时，，由恒成立，得，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 2．D 【分析】求出数列的通项，再分奇偶求出半探讨其范围，并建立关于的不等式求解即得. 【详解】由，得数列是首项为3，公差为2的等差数列，则， 于是， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 当为偶数时，；当为奇数时，，因此， 由不等式恒成立，得，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等． 3．ABC 【分析】先构造数列 ，知其前 项和求通项 ，进而再求出 ，选项A，由定义证明为等差数列；选项 B，利用等差数列前 项和公式求解即可; 选项 C ，两项并一项，并项为常数列求和; 选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由题意， A项，， 设，则， 所以当 时， ， 两式相减得， ， 当 时， 也适合上式. 则 ， 解得：， 所以 ， 故数列 是以 9 为首项， 6 为公差的等差数列，， 故A正确； B项，，故B正确； 选项C，数列 的前10项和为： ，故C正确； 选项D, 则前20项和为： 故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造数列，等差数列的通项公式和前项和，考查并项求和，考查学生的分类讨论能力，具有很强的综合性. 4．BC 【分析】根据分组求和，利用等差数列、等比数列求和公式用、、、表示出，再结合，由系数对应相等分别求出、、、，选出答案. 【详解】当时，，不合题意； 当时，， ，，，，，， 所以， 故选：BC． 5． 【分析】根据题意得到，从而有，再利用错位相减法，即可求出结果. 【详解】由欧拉函数的定义知：若为素数，则， 若为素数，，则， 所以，得到， 所以①， ②， ①②得到， 即，整理得到. 故答案为：. 6． 【分析】取倒可得，判断是等差数列，即可求解，进而根据裂项相消法求和即可. 【详解】由可得，所以是等差数列，且公差为2， 所以，故， 所以， 所以 故答案为： 7．(1)是，证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可； （2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可. 【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下： 因为， 令， 则． 当时，， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以， 所以， 所以是“上凸数列”． （2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意， ， 所以， 所以． （ⅱ）解：令， 由（1）可得当时，是“上凸数列”， 由题意可知，当时，． 因为， 即 ． 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以． 综上所述，的最小值为． 8．(1)， (2) 【分析】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列为等差数列，建立方程求出公差，从而可得的通项； （2）利用错位相减法计算即可. 【详解】（1）∵，∴，则，所以为等比数列， 又，得，所以， 由知是等差数列，且，， ∴，得，．∴. （2）因为，，所以， 所以 则 上面两式作差得 ， ∴ 9．(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）解法一：设的公差为，利用等差数列的定义可得答案；解法二：设的公差为，转化为对恒成立，可得答案. （2）求出，利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）解法一：设的公差为， 由①，得②， 则②-①得， 即，又，则； 解法二：设的公差为， 因为， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以， 又，则； （2）由得，即， 所以， 又即，则， 因此 则 ． 10．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）给式子两边同时加，化简证明即可； （2）分为两组，一组等差数列，一组等比数列，利用等差等比数列的前项公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以，所以， 又，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，， 由于，所以， 所以 . 11．(1) (2) 【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）令，得，两式相减得，又，即得 【详解】（1）设公差为d，又成等比数列， 所以， 又，即，解得或， 而时，不满足成等比数列，所以， 所以. （2）令， 所以， 两式相减有：， 所以数列的前项和为，即， 又，所以， 所以. 12．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为数列是公比为2的等比数列， 又，所以. 当时，由，得， 两式相减得， 又是等比数列，所以，所以，解得， 所以，当时上式成立， 所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$