精品解析：福建省泉州市第七中学、广海中学2024--2025学年八年级上学期数学期中考试卷

2024~2025学年第一学期八年级数学期中考试 （时间：120分钟总分：150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列实数中最大数是（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 0 3. 已知，是整数，，，则下列各式中，能表示“幂的乘方法则”的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 同位角相等 5. 把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（　　） A. a（a﹣4） B. （a+2）（a﹣2） C. （a﹣2）2 D. a（a+2（a﹣2） 6. 如图，数轴上表示实数的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9. 如图， B是直线l上 的一点，线段与l的夹角为，点C在l上，若以 A 、 B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C 共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 2个或4个 D. 3个或4个 10. 如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④平分； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. __________． 12. 计算：______________． 13. 如图，，，那么与全等的理由是_____． 14. 若，，则_____． 15. 如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则_____． 16. 如图，在（）中，、分别为三角形的角平分线、中线，若，，则的值为_____． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 先化简再求值：，其中，． 21. 如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置在一条直线时，他共走了110步． （1）根据题意，画出示意图； （2）若小刚一步约米，请求出A、B两点间的距离（写出推理过程）． 22. 已知正数的算术平方根是，的立方根为，是小于的最大整数． （1）直接写出：______，______，_____； （2）求的平方根． 23. 定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 24. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数； （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由． （3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数． ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 25. 已知，在中，，点在边上， （1）如图1，若，试求的度数； （2）如图2，作，交直线于点，过点作交直线于点， ①若，图中有与相等的线段，请找出并证明； ②若（如图3），其他条件不变，重复（2）的操作，设四边形的面积是，的面积是，试求与的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期八年级数学期中考试 （时间：120分钟总分：150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列实数中最大数是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，直接根据实数比较大小的方法比较出四个数的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最大的数为， 故选：C． 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数；熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键：开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数．根据无理数的定义及类型逐项分析判断即可． 【详解】解：A.是无理数，故选项符合题意； B. 3.14是有理数，故选项不符合题意； C. 是有理数，故选项不符合题意； D. 0是有理数，故选项不符合题意； 故选：． 3. 已知，是整数，，，则下列各式中，能表示“幂的乘方法则”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数的乘法，幂的乘方，零指数幂和积的乘方计算法则进行逐一判断即可． 【详解】解：A、表示的是同底数幂的乘法法则，故此选项不符合题意； B、表示的是幂的乘方法则，故此选项符合题意； C、表示的是零指数幂的法则，故此选项不符合题意； D、表示的是积的乘方法则，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了同底数的乘法，幂的乘方，零指数幂和积的乘方计算法则，解题的关键在于能够熟知相关计算法则． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质等等，根据对顶角的性质，两点之间，线段最短，垂线的定义，平行线的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、两点之间，线段最短，原命题是真命题，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 5. 把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（　　） A. a（a﹣4） B. （a+2）（a﹣2） C. （a﹣2）2 D. a（a+2（a﹣2） 【答案】A 【解析】 【分析】原式利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解：原式＝a（a﹣4）， 故选A． 【点睛】本题考查因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 6. 如图，数轴上表示实数的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，实数与数轴，不等式的性质等知识点，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键． 利用不等式的性质可估算出，再根据数轴上各点的位置即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 数轴上表示实数的点是点， 故选：． 7. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 8. 已知，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，分式有意义的条件，完全平方公式等知识点，利用等式的性质求出是解题的关键． 由得到，根据题意可知，因此可得，然后等式两边同时平方，稍加整理即可得解． 【详解】解：， ， 由题意可知：， ， ， ， ， 故选：． 9. 如图， B是直线l上 的一点，线段与l的夹角为，点C在l上，若以 A 、 B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C 共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 2个或4个 D. 3个或4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意进行分配讨论．分别根据当或或或为锐角与钝角时，得出答案即可． 【详解】解：如图1，当，只有两个点符合要求， 如图2，当或，只有两个点符合要求， 当为锐角与钝角时，符合条件的点有4个， 分别是：，． ∴满足条件的点C共有：2或4个． 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④平分； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（和）等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； 根据已知条件不能推出， 故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ，即平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的知识，掌握算术平方根的概念是关键． 根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解： 故答案为： ． 12. 计算：______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用单项式与单项式相乘的乘法法则运算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 13. 如图，，，那么与全等的理由是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 14. 若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式分别求出的值，两式相加即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形的周长公式求出的值，根据线段垂直平分线的性质和定义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合图形，进行计算即可得到答案． 【详解】解：的周长为20， ， 垂直平分， ，， ，， ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 如图，在（）中，、分别为三角形的角平分线、中线，若，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据三角形角平分线的性质得出，设边上的高为，根据等面积法得出，则可得出，根据为中，边的中线，得出，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ∵为的角平分线， ∴， 设边上的高为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵为中，边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，理解算术平方根，立方根和绝对值的性质是解答关键． 根据算术平方根，立方根和绝对值的性质，实数的运算法则进行计算求解． 【详解】解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，整式的混合运算，理解整式混合运算法则和积的乘方的运算法则是解答关键． （1）先根据积的乘方的运算法则计算，再利用整式加减法运算法则求解； （2）先利用积的乘方的计算法则计算，再利用整式除法运算法则求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 如图，小刚站在河边的A点处，在河对岸的B处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后再左转直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置在一条直线时，他共走了110步． （1）根据题意，画出示意图； （2）若小刚一步约米，请求出A、B两点间的距离（写出推理过程）． 【答案】（1） 根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图如下：     则画图即为所求． （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键． （1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图即可． （2）证明，得到步，结合一步约米，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和 ， ∴， ∴步， ∵一步约米， ∴（米）， 答：A、B两点间的距离约为米． 22. 已知正数的算术平方根是，的立方根为，是小于的最大整数． （1）直接写出：______，______，_____； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义求出、的值，根据无理数的大小估算求出的值即可； （2）求出的值，再求出其平方根即可． 【小问1详解】 解：正数的算术平方根是， ， 的立方根为， ， ， ， ， 是小于的最大整数， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：，，， ， 的平方根是． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，有理数的乘方运算，立方根的定义，等式的性质，无理数的大小估算，不等式的性质，代数式求值，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 23. 定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在中，若，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角中（），与为偏等积三角形，若，，，试求的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知为直角三角形，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，求证：与为偏等积三角形． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴ 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵与不全等， ∴与为偏等积三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，构成三角形的条件： （1）根据三角形中线平分三角形面积可知当点P为的时，满足题意，据此可得答案； （2）延长到E，使得，连接，根据题意可得，则，证明，得到，根据，，，且，列出不等式组求解即可； （3）：如图，过点作，交的延长线于点，证明，得到，则可证明，再由与不全等，即可证明与为偏等积三角形． 【详解】解：（1）∵三角形中线平分三角形面积， ∴当点P为的时，与的面积相等， ∵， ∴， ∴与不全等， ∴当，与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）如图所示，延长到E，使得，连接， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， 解得， 综上所述，； （3）略 24. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）直接判断：28_____（是或不是）神秘数，2025_____（是或不是）神秘数； （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由． （3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数． ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 【答案】（1）是；不是 （2） 解：由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，理由如下： ， 又∵是非负整数， ∴是正整数， ∴由两个连续偶数构造的神秘数是的倍数； （3） 解：①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数）， ∴长方形的周长为， 由（2）可知神秘数一定可以用（k为非负整数）， ∴是神秘数，即该长方形的周长是神秘数； ②该长方形的面积不是，理由如下： 设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数）， ∴长方形的面积为， ∵k是非负整数， ∴是奇数， ∵m是正整数， ∴是偶数， ∴不存在非负整数k，使得， ∴该长方形的面积不是神秘数． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，整式加减计算： （1）对于第一空可由得到答案；两个连续的偶数的平方的差一定是偶数，则神秘数一定要是偶数，据此可得第二空的答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； （3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论；②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵ ∴是神秘数； ∵偶数的平方一定是偶数， ∴两个连续的偶数的平方的差一定是偶数， ∴不存在两个连续偶数的平方差的结果为2025， ∴2025不是神秘数， 故答案为：是；不是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 已知，在中，，点在边上， （1）如图1，若，试求的度数； （2）如图2，作，交直线于点，过点作交直线于点， ①若，图中有与相等的线段，请找出并证明； ②若（如图3），其他条件不变，重复（2）的操作，设四边形的面积是，的面积是，试求与的比值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图，在上截取，在上截取，连接、， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，由等边对等角及三角形外角的性质可得，由等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得，于是可得，据此即可求出的度数； （2）①在上截取，在上截取，连接、，利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，利用可证得，于是可得，，由平行线的性质可得，于是可得，由等角对等边可得，于是可证得；②在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，，由平行线的性质可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，利用可证得，于是可得，设，则，，进而可得，据此即可求得与的比值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 即：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，在上截取，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则有： ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度，整式的加减运算等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $