北京市朝阳区日坛中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学教育集团八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（3分）在刚过去的10月份中，同学们以饱满的精神状态参加了北京市中学生体育过程性考核．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A．坐位体前屈 B．立定跳远 C．仰卧起坐 D．引体向上 2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．4 4．（3分）一副三角板拼成如图所示的图形，那么∠DAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 5．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 6．（3分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 7．（3分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD为（　　） A．35° B．20° C．30° D．25° 8．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论： ①DE＝DF； ②DE+DF＝AD； ③DM平分∠EDF； ④AB+AC＝2AE． 其中正确的有（　　） A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9．（3分）点P（﹣1，3）关于x轴对称的点的坐标是 　 　． 10．（3分）如图是南通八佰伴商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　 　． 11．（3分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：　 　（写出一个即可），使△ABC≌△DEF． 12．（3分）一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是　 　． 13．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为 　 　． 14．（3分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点M； ③作射线BM交AC于N． 如果BN＝NC，∠A＝57°，那么∠ABN的度数为 　 　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，8），P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB（按照A﹣O﹣B）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA（按照B﹣O﹣A）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且l∥AB，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当△OPE与△OQF全等时，t的值为 　 　． 三、解答题（共9题，共52分.17题6分，18、19题5分，20-22题每题6分，23题4分，24题7分，25题7分） 17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AD交BC于点E，BD⊥AB，∠ABC＝40°．求∠D和∠CED的度数． 18．（5分）在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法（如图1）．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明（如图2），如下： 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：延长BC，过点C作CM∥BA， ∠A＝∠1，B＝∠2． ∠1+∠2+∠ACB＝180°， ∠A+∠B+∠ACB＝180°．请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 19．（5分）已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE． 求证：△ACD≌△CBE． 20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P， （1）求证：△ABF≌△ACE； （2）求证：PB＝PC． 21．（6分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°）， 求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法： ①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　 　），（填推理的依据） ∴∠A＝∠　 　， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A； ∵BC＝BD， ∴∠ACB＝∠BDC （ 　 　），（填推理的依据） ∴∠ACB＝2∠A． 22．（6分）已知：点A（2，2），B（3，﹣1）． （1）在平面直角坐标系xOy中画出△OAB； （2）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出△OAB关于y轴对称的图形△OCD，其中点A对应点为C，则点D坐标为 　 　； （3）在（2）的条件下，分别连结AC、BD，则AC与BD的位置关系是 　 　，∠AOC＝ 　 　． 23．（4分）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以D、E、F为顶点的格点三角形，使它与△ABC关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复） 24．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是边CB延长线上一动点（BD＜BC），连接AD，点B关于直线AD的对称点为E，过D作DF∥AB交CE于点F，连接AE，DE． （1）依题意补全图形； （2）若∠DCE＝α，则∠EAC＝ 　 　；（用含α的式子表示） （3）写出线段AD，CF之间的数量关系并证明． 25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，作直线l垂直x轴于点P（a，0），已知点A（1，1），点B（1，7），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限．△ABC关于直线..的对称图形是△A′B′C′．给出如下定义：如果点M在△A′B′C′上或内部，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”． （1）当a＝0时，在点D（﹣4，5），E（﹣3，3），F（﹣，2）中，△ABC关于直线l的“称心点”是 　 　； （2）当△ABC上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值； （3）点H是△ABC关于直线l的“称心点”，且总有△HBC的面积大于△ABC的面积，求a的取值范围． 2024-2025学年北京市朝阳区日坛中学教育集团八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（3分）在刚过去的10月份中，同学们以饱满的精神状态参加了北京市中学生体育过程性考核．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A．坐位体前屈 B．立定跳远 C．仰卧起坐 D．引体向上 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断． 【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键． 3．（3分）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．4 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 m的长大于0而小于8． 故选：C． 【点评】考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和． 4．（3分）一副三角板拼成如图所示的图形，那么∠DAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，由三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：由题意得：∠ABC＝45°，∠ACB＝60°， ∵∠DAC是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝105°． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 5．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和是360°即可求出答案． 【解答】解：设该多边形的边数为n， 由题意可得：（n﹣2）•180°＝1.5×360°， 解得：n＝5， 故选：C． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及多边形的外角和是360°． 6．（3分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【分析】根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC就是∠DAB的平分线． 故选：A． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 7．（3分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD为（　　） A．35° B．20° C．30° D．25° 【分析】由折叠性质得出∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，利用直角三角形的两锐角互余性质可得∠CBA＝90°﹣∠BAC，求出∠CBA的度数，再根据长方形的性质可得：BF∥AE，利用平行线的性质可得∠DBA＝∠BAE＝35°，进而得出结果． 【解答】解：如图，由折叠性质可知，∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°， ∴ ∴∠CBA+∠BAC＝90°， ∴∠CBA＝90°﹣∠BAC ＝90°﹣35° ＝55°． ∵在长方形AEBF中，BF∥AE， ∴∠DBA＝∠BAE＝35°， ∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA ＝55°﹣35° ＝20°． 故选：B． 【点评】本题考查了长方形的翻折与平行线的性质，直角三角形两锐角互余性质，角的计算，熟练掌握折叠性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余性质是解题的关键． 8．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论： ①DE＝DF； ②DE+DF＝AD； ③DM平分∠EDF； ④AB+AC＝2AE． 其中正确的有（　　） A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④． 【解答】解：如图所示：连接BD、DC． ①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ED＝DF．故①正确． ②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝30°． ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°． ∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°， ∴ED＝AD． 同理：DF＝AD． ∴DE+DF＝AD．故②正确． ③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°． 假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°， 又∵∠E＝∠BMD＝90°， ∴∠EBM＝90°． ∴∠ABC＝90°． ∵∠ABC是否等于90°不知道， ∴不能判定MD平分∠EDF．故③错误． ④∵DM是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC． 在Rt△BED和Rt△CFD中 ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）． ∴BE＝FC． ∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC 又∵AE＝AF，BE＝FC， ∴AB+AC＝2AE．故④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．（3分）点P（﹣1，3）关于x轴对称的点的坐标是 　（﹣1，﹣3）　． 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【解答】解：点P（﹣1，3）关于x轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣3）， 故答案为：（﹣1，﹣3）． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10．（3分）如图是南通八佰伴商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　5m　． 【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根据BC＝10m，利用三角函数的知识解直角三角形即可． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBM＝180°﹣150°＝30°， 在Rt△CBM中， ∵BC＝10m，∠CBM＝30°， ∴＝sin∠CBM＝sin30°＝， ∴CM＝BC＝5m， 即从点B到点C上升的高度h是5m． 故答案为：5m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角建立直角三角形，利用三角函数解直角三角形． 11．（3分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：　∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）　（写出一个即可），使△ABC≌△DEF． 【分析】在已知条件中有一对角相等和一组边相等，根据全等三角形的判定方法可以补充∠B和∠DEF的另一边相等，也可补充另一组角相等． 【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE， ∴可再补充∠A＝∠D，利用ASA可以判定△ABC≌△DEF， 也可以补充∠ACB＝∠DFE，利用AAS； 也可补充BC＝EF，利用SAS； 也可补充BE＝CF，从而可得到BC＝EF，利用SAS， 故答案为：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键． 12．（3分）一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是　50°或80°　． 【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． 【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°； （2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°． 故填50°或80°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 13．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为 　5　． 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 14．（3分）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　15cm　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，AB＝6cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AE＝3cm， ∴DA＝DB，AB＝6cm， ∵△ADC的周长为9cm， ∴AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝15（cm）， 故答案为：15cm． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E； ②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点M； ③作射线BM交AC于N． 如果BN＝NC，∠A＝57°，那么∠ABN的度数为 　41°　． 【分析】根据作图方法可得BN是∠ABC的角平分线，进而可得∠ABN＝∠CBN，根据等边对等角可得∠C＝∠NBC，设∠ABN＝x°，则∠CBN＝∠C＝x°，利用三角形内角和为180°列出方程，再计算出x的值即可． 【解答】解：根据作图方法可得BN是∠ABC的角平分线， ∴∠ABN＝∠CBN， ∵BN＝NC， ∴∠C＝∠NBC， 设∠ABN＝x°，则∠CBN＝∠C＝x°， x+x+x+57＝180， 解得：x＝41， 故答案为：41°． 【点评】此题主要考查了基本作图，以及三角形内角和定理，关键是掌握角平分线的作法． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，8），P，Q是两个动点，其中点P以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB（按照A﹣O﹣B）的路线运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA（按照B﹣O﹣A）的路线运动，运动过程中点P和Q同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t秒，直线l经过原点O，且l∥AB，过点P，Q分别作l的垂线段，垂足为E，F，当△OPE与△OQF全等时，t的值为 　2或或6　． 【分析】判断出OP＝OQ，再分三种情况讨论，表示出OP，OQ建立方程求解即可． 【解答】解：由题意，OP和OQ是两直角三角形的斜边，当△OPE与△OQF全等时，OP＝OQ， Ⅰ、当点P在OA上，点Q在OB上时，OP＝6﹣2t，OQ＝8﹣5t， ∴6﹣2t＝8﹣5t， ∴t＝， Ⅱ、当点P，Q都在OA上时，点P，Q重合时，两三角形重合时， OP＝6﹣2t，OQ＝5t﹣8， ∴6﹣2t＝5t﹣8， ∴t＝2， Ⅲ、当点P在OB上，点Q在OA上且点Q与点A重合时， OP＝2t﹣6，OQ＝6， ∴2t﹣6＝6， ∴t＝6， 即：满足题意的t的值为2或或6． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，解本题的关键是分情况表示出OP和OQ，用方程的思想也是解本题的关键． 三、解答题（共9题，共52分.17题6分，18、19题5分，20-22题每题6分，23题4分，24题7分，25题7分） 17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的角平分线AD交BC于点E，BD⊥AB，∠ABC＝40°．求∠D和∠CED的度数． 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠CAB的度数，由AD平分∠CAB，利用角平分线的定义可求出∠BAD的度数，在△ABE中，利用三角形内角和定理可求出∠AEB的度数，结合对顶角相等可得出∠CED的度数，再在△ABD中，利用三角形内角和定理可求出∠D的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°． ∵AD平分∠CAB， ∴∠BAD＝∠CAB＝×50°＝25°． 在△ABE中，∠BAE＝25°，∠ABE＝40°， ∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣25°﹣40°＝115°， ∴∠CED＝∠AEB＝115°． ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°． 在△ABD中，∠BAD＝25°，∠ABD＝90°， ∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣25°﹣90°＝65°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，牢记三角形内角和是180°是解题的关键． 18．（5分）在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法（如图1）．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明（如图2），如下： 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：延长BC，过点C作CM∥BA， ∠A＝∠1，B＝∠2． ∠1+∠2+∠ACB＝180°， ∠A+∠B+∠ACB＝180°．请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 【分析】过点A作DE∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠2＝∠B，∠3＝∠C，由平角的定义得出∠1+∠2+∠3＝180°，从而证得∠BAC+∠B+∠C＝180°． 【解答】证明：过点A作DE∥BC， ∴∠2＝∠B，∠3＝∠C， ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠1+∠B+∠C＝180°， 即∠BAC+∠B+∠C＝180°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，正确添加辅助线，利用平行线的性质证明是解题的关键． 19．（5分）已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE． 求证：△ACD≌△CBE． 【分析】根据中点定义求出AC＝CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD＝∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE． 【解答】证明：∵C是AB的中点（已知）， ∴AC＝CB（线段中点的定义）． ∵CD∥BE（已知）， ∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）． 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P， （1）求证：△ABF≌△ACE； （2）求证：PB＝PC． 【分析】（1）根据AE＝AF，AB＝AC，∠A＝∠A即可证明三角形全等； （2）根据（1）结论可证∠ABF＝∠ACE，即可证明∠PBC＝∠PCB，即可解题． 【解答】证明：（1）在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（SAS）； （2）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵△ABF≌△ACE， ∴∠ABF＝∠ACE， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴BP＝CP． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABF≌△ACE是解题的关键． 21．（6分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°）， 求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A． 下面是小兵设计的尺规作图过程． 作法： ①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C； ③连接BC，则△ABC即为所求三角形． 根据小兵设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（ 　线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等　），（填推理的依据） ∴∠A＝∠　ABD　， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A； ∵BC＝BD， ∴∠ACB＝∠BDC （ 　等边对等角　），（填推理的依据） ∴∠ACB＝2∠A． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求． （2）∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A， ∵BC＝BD， ∴∠ACB＝∠BDC （等边对等角）， ∴∠ACB＝2∠A． 故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，∠ABD，等边对等角． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 22．（6分）已知：点A（2，2），B（3，﹣1）． （1）在平面直角坐标系xOy中画出△OAB； （2）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出△OAB关于y轴对称的图形△OCD，其中点A对应点为C，则点D坐标为 　（﹣3，﹣1）　； （3）在（2）的条件下，分别连结AC、BD，则AC与BD的位置关系是 　AC∥BD　，∠AOC＝ 　90°　． 【分析】（1）根据点A，B的坐标描点再连线即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）由图可直接得出答案． 【解答】解：（1）如图，△OAB即为所求． （2）如图，△OCD即为所求． 由图可得，点D坐标为（﹣3，﹣1）． 故答案为：（﹣3，﹣1）． （3）由图可得，AC与BD的位置关系是AC∥BD，∠AOC＝90°． 故答案为：AC∥BD；90°． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 23．（4分）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以D、E、F为顶点的格点三角形，使它与△ABC关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复） 【分析】所学确定对称轴，再画出对称图形即可． 【解答】解：△DEF如图所示，图中虚线是对称轴． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 24．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是边CB延长线上一动点（BD＜BC），连接AD，点B关于直线AD的对称点为E，过D作DF∥AB交CE于点F，连接AE，DE． （1）依题意补全图形； （2）若∠DCE＝α，则∠EAC＝ 　60°+2α　；（用含α的式子表示） （3）写出线段AD，CF之间的数量关系并证明． 【分析】（1）根据要求画出图形即可解决问题． （2）证出∠AEC＝∠ACE，则可得出答案； （3）如图2中，连接AE，BE，BF，设AD交EC于O．想办法证明△FBC≌△DBA（SAS）可得结论． 【解答】解：（1）图形如图1所示， （2）∵点B关于直线AD的对称点为E， ∴AE＝AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝60°， ∴AC＝AE， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠DCE＝α， ∴∠ACE＝60°﹣α， ∴∠EAC＝180°﹣2∠ACE＝180°﹣2（60°﹣α）＝60°+2α． 故答案为：60°+2α； （3）AD＝CF． 证明：如图2中，连接AE，BE，BF，设AD交EC于O． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60° ∵B，E关于AD对称， ∴AE＝AB， ∴AE＝AB＝AC， ∴点A是△BCE的外接圆的圆心， ∴∠BEC＝∠BAC＝30°， ∵AD垂直平分线段BE， ∴OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE＝30°， ∴∠COB＝∠OEB+∠OBE＝60°， ∴∠BOC＝∠BAC， ∴O，B，C，A四点共圆， ∴∠AOC＝∠ABC＝60°， ∴∠BOD＝60°， ∴∠DOF＝60°，∠BOF＝120°， ∵DF∥AB， ∴∠FDB＝∠ABC＝60°， ∴∠FDB+∠FOB＝180°， ∴D，F，O，B四点共圆， ∴∠DFB＝∠DOB＝60°， ∴△DFB是等边三角形， ∴∠FBD＝60°，BD＝BF， ∵AB＝CB，∠DBA＝∠FBC＝120°， ∴△FBC≌△DBA（SAS）， ∴CF＝AD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，作直线l垂直x轴于点P（a，0），已知点A（1，1），点B（1，7），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限．△ABC关于直线..的对称图形是△A′B′C′．给出如下定义：如果点M在△A′B′C′上或内部，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”． （1）当a＝0时，在点D（﹣4，5），E（﹣3，3），F（﹣，2）中，△ABC关于直线l的“称心点”是 　点E，点F　； （2）当△ABC上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值； （3）点H是△ABC关于直线l的“称心点”，且总有△HBC的面积大于△ABC的面积，求a的取值范围． 【分析】（1）由题意确定C点坐标，从而确定A'（﹣1，1），B′（﹣1，7），C′（﹣3，3），即可判断△ABC关于直线l的“称心点”； （2）由图形的轴对称判定即可； （3）过点A作直线m∥BC，延长AC至点M，使CM＝AC，过点M作直线n∥BC．①当点H在直线m的H′点上时，S△H'BC＝S△ABC．过B作x轴的平行线交直线m于点B'，根据AB⊥x轴，直线m∥BC，可得∠CBA＝∠B'AB＝45°，即有BB'＝AB＝6，结合图形可得点B'的坐标为（﹣5，7），则有．当H'点与点B'重合时，即有S△H'BC＝S△ABC．根据S△H′BC＝S△ABC，即H'点还应往左边移动，此时点B'也应该往左移动，即此时对称轴直线l也相应往左移动，可得a＜﹣2；②当点H在直线n的H′点上时，S△H''BC＝S△ABC，同理可求，问题随之得解． 【解答】解：（1）∵a＝0， ∴直线l与y轴重合， 画出图形如下： ∵点A（1，1），点B（1，7），Rt△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，点C在第一象限， ∴C（4，4）， ∴A'（﹣1，1），B'（﹣1，7），C'（﹣4，4）， ∵D（﹣4，5），E（﹣3，3），F（﹣，2）， 结合图形可知：△ABC关于直线l 的“称心点”是点E，点F； 故答案为：点E，点F； （2）当△ABC上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，点C在直线l上，如图： 结合图形可知：a＝4， 故答案为：a＝4； （3）过点A作直线m∥BC，延长..至点M，使CM＝AC，过点M作直线n∥BC． ∵点A（1，1），点B（1，7）Rt△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∴AB＝7﹣1＝6，且AB⊥x轴，∠CBA＝∠CAB＝45′°， ①当点H在直线m的H′点上时，S△H′BC＝S△ABC． 如图，过B作x轴的平行线交直线m于点B′， 又∵AB＝6，且AB⊥x轴，直线m∥BC， ∴CBA＝∠B′AB＝45°， ∴BB′＝AB＝6， ∴结合图形可得点B′的坐标为（﹣5，7）， ∴a＝＝﹣2． 当H′点与点B′重合时，即有S△H′BC＝S△ABC． ∵S△HBC＞S△ABC， ∴H′点还应往左边移动，此时点B′也应该往左移动， 即此时对称轴直线l也相应往左移动， ∴a＜﹣2； ②当点H在直线n的H″点上时，S△H′BC＝S△ABC． 如图，结合图形同（1）可求出CC″＝AB＝6， ∴点C″的坐标为（10，4）， ∴则有：a＝＝7． 当H″点与点C″重合时，即有S△H′BC＝S△ABC． ∵S△HBC＞S△ABC， ∴H′点还应往右边移动，此时点C″也应该往右移动， 即此时对称轴直线l也相应往右移动， ∴a＞7； 综上所述，a＜﹣2或a＞7． 【点评】本题考查了图形在平面直角坐标系中的轴对称，掌握图象轴对称的性质，并根据题意画出相应的图形，数形结合是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$