2024-2025学年上学期高一数学期中复习2集合不等式、函数性质及应用（人教A版2019必修第一册）

期中综合题复习2 集合、不等式、函数性质及应用题 一、不等式的解集问题 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 4．下列说法正确的是（    ） A．命题“，都有”的否定是“，使得” B．当时，的最小值为 C．若不等式的解集为，则 D．“”是“”的充分不必要条件 5．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为 ． 7．已知，，则的取值范围是 . 二、恒成立问题 8．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（    ） A． B．1 C．0 D． 9．若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是 ． 13．，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 14．已知不等式mx2﹣mx+1＞0，对任意实数x都成立，则m的取值范围为 . 三、值域问题 15．下列函数中，值域为的是（    ） A．， B． C．， D． 16．函数在区间上的值域为 ； 17．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 18．函数的值域为 ． 19．已知函数，以下结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．对任意的，且，都有 C．对任意的，都有 D．的值域是 四、选填压轴题 20．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 21．已知定义域为R的函数满足以下两个条件：①对任意实数x、y，恒有；②在R上单调递增.请写出一个同时满足上述两个条件的函数解析式 ． 22．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知定义在的函数满足以下条件： （1）对任意实数恒有；（2）当时，的值域是 （3）则下列说法正确的是（    ） A．值域为 B．单调递增 C． D．的解集为 24．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于轴对称 B．的最大值为1，没有最小值 C． D．在上是增函数 25．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．已知定义在上的函数，满足，且当时，，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围是 . 29．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（    ） A．为偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．是上的增函数 30．下列四个结论中，正确的结论是（   ） A．与表示同一个函数． B．“”的充分不必要条件是“”． C．已知，则的取值范围的取值范围是． D．函数的值域为． 31．设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为 ． 32．已知，若对一切实数，均有，则 . 五、集合求参数 33．已知全集，或，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 34．集合，． （1）求，； （2）若集合，，求的取值范围． 35．在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合． (1)若，求； (2)若__________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围． 36．已知集合，，. (1)求，，； (2)若，求实数的取值范围. 37．已知命题，使为假命题． (1)求实数m的取值集合B； (2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 38．设集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 六、不等式 39．已知关于x的不等式的解集为或（）. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围. 40．已知不等式的解集为或． （1）求； （2）解不等式． 41．设函数 (1)若，求的解集． (2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：． 42．若不等式的解集是． (1)解不等式； (2)若关于x的一元二次不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 七、求函数解析式 43．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 44．已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)集合，若，求实数的取值范围. 45．已知函数满足． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若函数，且在的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范围． 46．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求出当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间； (3)结合函数图象，求当时，函数的值域． 八、奇偶性与单调性 47．已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 48．已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由： （2）证明：函数在上单调递增； （3）求函数，的值域. 49．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式：． 50．已知函数． (1)求函数的解析式． (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于的不等式． 51．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 52．已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 九、应用题 53．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 54．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 55．某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量（单位：万件）与年广告宣传费用（单位：万元）之间满足关系式，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为万元，每件产品的生产费用为64元.已知该厂家销售的该类产品的产品单价每件产品的生产费用平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出. (1)请写出该类产品的年度总利润（单位：万元）与年广告宣传费用（单位：万元）之间的函数关系式.（注：年度总利润年销售总收入+年度政府的专项补贴-总成本，总成本固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用） (2)试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润. 56．在学习完基本不等式与一元二次方程这一章节后，某校高一数学老师带领全班同学在数学课堂上做了一个有趣的实验，该实验的目的主要是体现不等式在实际生活中的应用老师要求同学们准备了一张周长为的矩形纸片（其中），将沿向折叠，折过去后交于点.如果在保持矩形周长不变且折过去后交于点的情况下，适度改变的长度，问：的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由.    57．某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完． （1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式； （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中综合题复习2 集合、不等式、函数性质及应用题 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 8 9 10 11 15 答案 A A AC BCD C AC A B D AC 题号 17 19 20 22 23 24 25 26 27 29 答案 C ABD B C BCD ABD A D B BCD 题号 30 答案 AC 1．A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为， 所以或， 即原不等式的解集为. 故选：A 2．A 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 3．AC 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 4．BCD 【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；C选项，根据不等式的解集得到，求出，得到答案；D选项，由，但得到答案. 【详解】A选项，“，都有”的否定是“，使得”，A错误； B选项，当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，的最小值为，B正确； C选项，由题意得为的两个根， ，解得，则，C正确； D选项，，但，比如满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：BCD 5．C 【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 【详解】由得 ， 若，则不等式无解． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则． 综上，满足条件的的取值范围是 故选：C． 6． 【分析】根据二次不等式的解集得出，求出，采用消元的思想，将和消去，再将不等式转化为具体的一元二次不等式来求解即可. 【详解】由题意可知所以 所以不等式为，又， 所以，解得. 故答案为：. 7． 【分析】根据不等式的性质，可得结果. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 即，即. 故答案为：. 8．AC 【分析】对进行分类讨论，结合有且只有一个元素求得的值. 【详解】当时，，符合题意. 当时，，符合题意. 故选：AC 9．A 【分析】由题得对任意恒成立，求出的最大值即可. 【详解】解：由题得对任意恒成立， (当且仅当时等号成立) 所以. 故选：A 10．B 【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数，则函数在上为增函数， 因为对均有成立， 则，即对恒成立， 令，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 11．D 【分析】讨论和时，从而求出不等式恒成立时实数的取值范围. 【详解】当时，，解得，不合题意； 当时，，解得. 故选：. 12． 【分析】分和讨论，时根据二次函数开口向下，且与轴无交点列出不等式即可 【详解】若,得,符合题意 若,由题知,解得 综上实数的取值范围是 故答案为： 13． 【分析】分离参数得到恒成立，构造函数，利用单调性求解最值即可求解. 【详解】，不等式恒成立，即在上恒成立， 所以，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以当时，有最大值， 所以.即实数的取值范围为. 故答案为： 14． 【分析】先对二次项系数进行讨论，时成立，当时是一元二次不等式，对任意实数都成立，满足开口向上与轴没交点． 【详解】当时，不等式成立，适合题意； 当时，则有 ，解得； 综上，故：． 故答案为：． 15．AC 【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C，利用基本不等式计算D. 【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增， 又，，所以，故A正确； 对于B：由，所以，即，故B错误； 对于C：函数，在定义域上单调递增， 又，，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，故D错误； 故选：AC 16． 【分析】首先判断出在上的单调性，由此求得在上的值域. 【详解】由于，其在上单调递减，所以最大值为，最小值为，所以在区间上的值域为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和值域，属于基础题. 17．C 【分析】由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为． 故选：C 18．. 【分析】令，则函数可变形为，然后结合其定义域利用单调性即可值域. 【详解】易知函数的定义域为，令，则，函数可变形为，此时函数在上单调递增，可得函数的值域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数值域的求法，本题用换元法较合适，属中等难度题. 19．ABD 【分析】根据函数的奇偶性、单调性一一判定即可. 【详解】易知函数定义域关于原点对称，且，即为奇函数，故A正确； 令，则， 此时函数单调递增，由函数为奇函数可知在R上单调递增， 所以，故B正确； 显然，两式不等，故C错误； 当时，，当时，， 又由奇函数的性质可知时，，综上的值域是，故D正确. 故选：ABD 20．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种， 则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”. 所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件. 故选：B 21．（答案不唯一） 【分析】根据指数运算以及指数函数的单调性写出的一个解析式. 【详解】由，则可知指数函数满足该条件要求， 是上的单调递增函数则指数函数的底数要， 故均满足题意，故答案可以是． 故答案为：（答案不唯一） 22．C 【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 又因为函数是“函数”，故其值域为； 而，则值域为； 当时，， 当时，，此时函数在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数的取值范围是， 故选：C 23．BCD 【分析】计算得到，A错误，根据单调性的定义得到B正确，计算，，得到C正确，题目转化为得到，根据函数的单调性得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：令可得，故， 令可得，， ，当时，，则， 综上所述：，错误； 对选项B：任取且，，， 则，所以函数在上单调递增，正确； 对选项C：取得到； 取得到； 取得到，正确； 对选项D：，， 即， 即， 函数单调递增，且，故，正确； 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键. 24．ABD 【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 【详解】因为， 画出的图象如下： A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误； B选项，无最大值，有最小值0，B错误； C选项，因为， 故， ， 因为， 所以，故，C正确； D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误. 故选：ABD 25．A 【分析】构造函数，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可. 【详解】令， 因为对，且，都有成立， 不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故选：A. 26．D 【分析】根据函数的奇偶性求得的解析式，结合的求得不等式的解. 【详解】依题意，定义在上的函数，满足， 所以是奇函数，所以， 当时，，， 所以，所以， 画出的图象如下图所示， 由图可知，的解集为. 故选：D 【点睛】易错点睛 不等式的图象分析：在求解不等式的解集时，容易在图象的绘制和解集的判断上出现误差.在画图时特别注意对称性和关键点的准确标注，以确保解集判断的正确性. 符号处理中的负号：在利用奇函数性质进行符号处理时，特别是涉及到负号的转换和计算，要小心确保每一步的符号都正确. 27．B 【分析】根据题意，由分段函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 则，解得. 故选：C 28． 【分析】利用已知条件判断函数的单调性，根据分段函数的单调性可得关于的不等式组，解之即可． 【详解】对任意的实数，都有，即异号， 故是上的减函数； 可得：，解得． 故答案为： 29．BCD 【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以设， 又因为的图像经过点，所以有， 即. A：函数的定义域为全体正实数，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，因此本命题不正确； B：因为，所以，因此本命题正确； C：因为，所以， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以可得， ， 因此，而， 即，因此本命题正确； D：， 当时，函数，此时函数单调递增， 由函数单调性的性质可知中：函数是上的增函数，因此本命题正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：运用不等式的性质，结合函数单调性的性质进行判断是解题的关键. 30．AC 【分析】根据函数定义域及解析式判断A,应用充分不必要定义判断B,应用不等式的性质计算判断C,换元法计算二次函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为相同， 而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确； 对于B，满足的数不一定满足，满足的数一定满足， 故B不符合题意. 对于C：因为，，又，则，所以 ，所以，所以的取值范围的取值范围是，故C正确； 对于D，令，则，因为，， 所以，即函数的值域为，故D错误； 故选：AC. 31． 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 32． 【分析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值. 【详解】由对一切实数，均有 可知，即解之得 则，满足 故 故答案为： 33．(1)，或， (2) 【分析】（1）代入数据计算得到集合和，再根据的交并补运算计算得到答案. （2）确定，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】（1）时，或，， ，或， ，故. （2），则，或，， 则或，解得或，即. 34．（1）或，或；（2）. 【分析】（1）先求出集合A、B，再根据集合的交并补运算即可求解； （2）分和两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解. 【详解】解：（1）因为， 或， 或， 所以或，或； （2）当时，显然，此时，即； 当时，由题意有或，解得， 综上，. 35．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）先选择条件，然后根据所选条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以. （2）若选①，， 当时，，解得， 当时，或，解得：或， 综上：实数的取值范围． 若选②，， 则， 即，解得：， 所以实数的取值范围． 36．(1),， (2) 【分析】（1）由集合的交并补运算即可得解； （2）根据题意得，从而列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以，，. （2）当且仅当，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围为. 37．(1) (2) 【分析】（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解； （2）先根据为非空集合求出，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解. 【详解】（1）解：由题意，得关于的方程无实数根， 所以，解得， 即； （2）解：因为为非空集合， 所以，即， 因为是的充分不必要条件， 则，即， 所以， 38．(1) (2) 【分析】（1）明确集合的元素，根据并集的定义，可得答案； （2）根据补集的定义，结合题意，建立不等式，可得答案. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵，或， ，则，解得， 故实数a的取值范围为. 39．(1)， (2) 【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解. （2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或， 所以1和b是方程的两个实数根且， 所以，解得 方法二：因为不等式的解集为或， 所以1和b是方程的两个实数根且， 由1是的根，有， 将代入， 得或， ∴； （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得， 所以k的取值范围为. 40．（1）a＝1；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据不等式的解可得方程的根，从而可求； （2）就、、分类讨论后可得不等式的解. 【详解】解：（1）因为不等式的解集为或， 所以或是方程的根， 所以，解得，此时不等式的解集为或，符合题设条件，故. （2）由（1）可知不等式化为，即. 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 41．(1) (2) (3)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【详解】（1）解：由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. （2）解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． （3）解：依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 42．(1)或 (2) 【分析】（1）由题干条件可得方程的两个根为，结合韦达定理可得，代入不等式，结合二次函数的性质，求解即可； （2）分，两种情况讨论，当，利用开口和判别式控制，即得解 【详解】（1）由题意，方程的两个根为 ，解得 此时方程为，成立 不等式即为 解得：或 故不等式的解集为：或 （2）由题意，关于x的一元二次不等式的解集为R 当时，，不恒成立； 当时 ，解得 故实数k的取值范围是 43．（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 44．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合恒等式求出即可得解. （2）令，结合集合的包含关系列出不等式组求解即得. 【详解】（1）二次函数，则 ，而，于是，， 解得，则，又，解得， 所以的解析式是. （2）由（1）知，，不等式 令，则，由， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 45．(1)， (2) 【分析】（1）令x=0代入求；利用构造法求的解析式； （2），讨论对称轴与区间的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t的范围. 【详解】（1）因为函数满足 所以令x=0得：，即. 由得： . （2）函数，对称轴为x=t. 当时，在单调递增，所以所以有，即，解得：，所以； 当时，在单调递减，在单调递增，且，所以所以有，即，解得：，所以； 当时，在单调递减，在单调递增，且，所以所以有，即，解得：，所以； 当时，在单调递减，所以所以有，即，解得：，所以； 综上所述：. 即实数t的范围是. 46．(1) (2)函数图象见解析，的单调递减区间为： (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求解， （2）根据奇函数图象关于原点对称即可作出图象，进而可得单调区间， （3）结合函数图象以及单调性，即可求解. 【详解】（1）依题意，设，则， 于是， 因为为R上的奇函数，因此， 所以当时，的解析式． （2）由已知及（1）得函数的图象如下： 观察图象，得函数的单调递减区间为：． （3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值， 而当时，有， 所以，当时，函数的值域为 47．(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得解析式. （2）利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为函数是奇函数， 所以 因为函数是定义在上的奇函数，所以． 综上可得． （2）当时，恒成立，等价于 等价于恒成立． 设函数，当时，的最大值为． 从而可得实数的取值范围是． 48．（1）奇函数；证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】（1）首先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义证明. （2）任取，且，判断的符号，再利用函数单调性的定义即可求解. （3）根据函数的单调性即可求解. 【详解】解：（1）证明：定义域为； ， 为奇函数. （2）证明：对任意的，且， ， ， 在上单调递增. （3）为奇函数且在上是增函数， 则在上是增函数， 在上是增函数， ，即， 所以函数，的值域为. 49．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由解出，可确定函数的解析式； （2）用定义证明函数的单调性； （3）利用奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）由题意，得， ∴（经检验符合题意），故． （2）证明　任取，且， 则． ∵，∴，，． 又，∴．∴，即， ∴在上是增函数． （3）由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数， ，∴，∴， 解得．∴不等式的解集为． 50．(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知，代入函数，可求得，即可求得函数的解析式； （2）利用函数单调性定义即可证明； （3）易得恒成立，恒成立，由在上单调递增，可得，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，， 得， 从而可得， 则函数的解析式为． （2）任取，设， 则 ， 当时，， 则，即， 则在上单调递减； 当时，， 则，即， 则在上单调递增； （3）不等式等价于， 注意到恒成立，恒成立． 由（2）问可知在上单调递增， 即可得，等价于， 解得或， 所以该不等式的解集为． 51．(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【详解】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 52．(1)奇函数，证明见解析 (2)单调增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）任取，且，然后计算化简，再判断符号，从而可得结果； （3）根据函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】（1）函数为奇函数.证明如下： 因为定义域为，关于原点对称. 又， 所以为奇函数； （2）函数在为单调增函数.证明如下： 任取，且，则 因为，所以，， 所以，所以， 即，故在上为增函数； （3）由，得， 因为为奇函数，所以， 因为在上为增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 53．(1)当时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由（1）可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 则 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， ， 当，，即时，的最小值为12， 即， 所以的取值范围是. 54．(1)500名 (2) 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润，列不等式求解； （2）分别求出从事第三产业和原来产业的员工创造的年总利润，列出不等关系，在（1）的条件下，即可求解． 【详解】（1）由题意，得，即， 又因为，所以，即最多调整500名员工从事第三产业. （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以则在时恒成立. 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 又因为，所以，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据题目已知条件，列出不等式并求解，即可得出结论. 55．(1). (2)该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元. 【分析】（1）根据题意先表示出年生产量为万件时的总成本和年销售总收入；再根据年度总利润公式即可得出结果； （2）先对（1）中的总利润进行变形；再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意知，当年生产量为万件时，总成本为（万元）， 当销售量为万件时，年销售总收入为（万元）， 由题意得， 即. （2）由（1）得， 因为， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元. 56．时，取最大面积为 【分析】设，，进而得到，利用三角形面积公式及基本不等式求的面积的最值． 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设， 则， 设， 因为，， 所以， 则，， 又为直角三角形， 则， 所以，， 则， 当且仅当，即时取等号， 此时， 满足， 故时，取最大面积， 即的面积存在最大值，且最大值为． 57．（1）；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元． 【解析】（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可； （2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可. 【详解】（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000； 当40≤x≤100时，L(x)＝ ． 所以 （2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000， 所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000． ②当40≤x≤100时，， 当且仅当，即x＝50时取等号． 因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大． 答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元． 【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$