精品解析：浙江省杭州市萧山区2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷

浙江省杭州市萧山区2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷 （考试时间：110分钟 满分：120分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. > 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握“若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、>是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A、4+2=6＜7，不能组成三角形； B、3+3=6，不能组成三角形； C、5+2=7＜8，不能组成三角形； D、4+5=9＞6，能组成三角形． 故选D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集以及不等式的解集在数轴上表示，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和解不等式的方法.利用不等式的性质求出不等式的解集，将不等式的解集表示在数轴上即可. 【详解】解：∵， ∴ 不等式的解集在数轴上表示为： . 故选：A. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等 B. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，线段的垂直平分线判定定理，角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据直角三角形全等的判定，线段的垂直平分线判定定理，角的平分线性质解答即可． 【详解】解：A. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，正确，故原命题是真命题，不符合题意； B. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，故原命题是真命题，不符合题意； C. 角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故原命题是真命题，不符合题意； D. 有一个角和两条边对应相等的两个三角形不一定全等，故该选项错误，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 5. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，由此即可判断A错误；根据三角形的三边关系即可判断B错误；根据三角形的内角和定理可得，，由此即可判断C正确；根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断D错误． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； B、由题意，设，则， ∵， ∴不能构成三角形，则此项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴可以判定是等腰三角形，则此项符合题意； D、∵，， ∴， ∴可以判定是直角三角形，不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形、半圆、正三角形、直角三角形，不存在的面积关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键在于正确的表示各部分的面积．设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、等腰直角三角形的面积，半圆，根据，求解，，之间的关系，直角三角形，举反例，进而可得结果． 【详解】解：设两直角边分别为，，斜边为， 则中，， ， ，故项不符合题意； 中，，，， ， ，故项不符合题意； 中，三个三角形是等边三角形， 如图，为，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ， ，故项不符合题意； 中，当各线段长如图时， ∴故项不符合题意； 故选：． 7. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时，分别进行计算即可． 【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图： ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 这个等腰三角形的底角是； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图： ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 这个等腰三角形的底角是； 综上所述：这个等腰三角形的底角是或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 8. 如图，在中，，延长至，使得，将沿翻折，使点落在点处，连接，求的长（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．连接交于点，由折叠的性质得出，，由勾股定理求出的长，进而由勾股定理求得，，再证明，则可由勾股定理求出的长． 【详解】解：连接交于点， 将沿翻折，使点落点处， ，，， ∴， 在中，， ， 设，则， ∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 故选：A． 9. 如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，运用三角形的内角和和四边形的内角和进行求解．此题考查了三角形角度问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解和推导． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 即 ， ， 即， 解得， 故选：A． 10. 如图，是等腰直角三角形，是中点，．下列选项中正确的有：（ ） ①；②；③若平分，则；④若是中点，则． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质及等角的余角相等可证，证出，根据可证明；分别证明，即可得；过点作，交的延长线于点，证明，得出证明，得出，由勾股定理证出，则可得出结论． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵是中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确， 在和中， ∴，故②正确； ∴ 若平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 若是中点， 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，构建全等三角形，是解决本题的关键． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，首先分情况讨论腰长和底边长，依据三角形三边的关系验证能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 不能构成三角形； 当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长为． 故答案为：． 13. 若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的两边同乘同一个小于0的数或式子，不等号的方向发生改变，得到，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 15. 如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，连接，可证，得到，，可知当时，线段的值最小，进而解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当时，线段的值最小， 此时，， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共72分） 17. 如图，已知，用尺规作，使． 【答案】 解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查尺规作三角形，根据，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可． 【详解】略 18. 完成下列填空：若，比较与的大小． 解： （依据： ） （依据： ） 【答案】，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解： （依据：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．） （依据：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变）， 故答案为：，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 19. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】略 20. 已知，如图，，，，，求证：． 【答案】 证明：如图，连接AC、AD． 在△ABC和△AED中， ∵， ∴△ABC≌△AED(SAS)， ∴AC=AD． ∵CF=FD， ∴AF⊥CD(等腰三角形三线合一)． 【解析】 【分析】连接AC、AD，利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AD，根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解答本题的关键． 21. 如图，中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间． 【答案】（1）M、N运动12秒时，M、N两点重合 （2）存在；M、N运动16秒时，为等腰三角形 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形和全等三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，找到线段之间的数量关系． （1）设点运动秒时，根据、两点重合时，N运动的路程比M运动的路程多列出方程，解方程即可； （2）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值． 【小问1详解】 解：设点运动秒时，M、N两点重合，根据题意得： , 解得：， ∴点运动12秒时，M、N两点重合． 【小问2详解】 解：当点在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 根据解析（1）可知，当点运动12秒时，M、N两点重合，此时，但不是等腰三角形； 如图，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设当点在边上运动时运动的时间y秒时，是等腰三角形， ∴，， ，即， 解得：． 综上所述，当点在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时运动的时间为16秒． 22. 如图，三角形纸片中，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：根据折叠，可知， ∵， ∴， ∴， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 解得． 所以，的长为． 23. 数学实验课老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； （2）如图②，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点． ①求证：四边形是筝形： ②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数； ③若，求的长． 【答案】（1）是 （2） ①证明：如图，连接， ∵是锐角的高， ∴ 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是四边形是“筝形”； ②，，； ③ 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点， （1）根据题意得，，即可证明； （2）①先证，再根据“筝形”的定义判断即可，②分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得；③有折叠性质可证四边形是正方形，设，根据勾股定理即可求解． 熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：由折叠性质得：，， ∴四边形是“筝形” 故答案为：是； 【小问2详解】 解：①略 ②当时， 由折叠得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴ ∴ ∵， ∴， 当时， ∴， ∴ ∵， ∴， 综上：的度数为，，； ③由折叠性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 24. 在中，，若点在的平分线所在的直线上， （1）如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， ①求证：点在的垂直平分线上； ② ； （2）如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度； 【答案】（1） ①证明：连接， ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ② （2） 【解析】 【分析】（）①连接，证明得到即可求证；②证明得到，即得，再根据即可求解； （）延长交于，先证明，进而证明，得到，由勾股定理可得，又可得，得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长交于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市萧山区2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷 （考试时间：110分钟 满分：120分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号中，不是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. > 2. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 4，5，6 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等 B. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等 5. 下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 6. 如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形、半圆、正三角形、直角三角形，不存在的面积关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 如图，在中，，延长至，使得，将沿翻折，使点落在点处，连接，求的长（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等腰直角三角形，是中点，．下列选项中正确的有：（ ） ①；②；③若平分，则；④若是中点，则． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 13. 若，且，则的取值范围是______． 14. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 15. 如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 16. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_______． 三．解答题（共72分） 17. 如图，已知，用尺规作，使． 18. 完成下列填空：若，比较与的大小． 解： （依据： ） （依据： ） 19. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 20. 已知，如图，，，，，求证：． 21. 如图，中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间． 22. 如图，三角形纸片中，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，求的长． 23. 数学实验课老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； （2）如图②，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点． ①求证：四边形是筝形： ②若，当是等腰三角形时，直接写出的度数； ③若，求的长． 24. 在中，，若点在的平分线所在的直线上， （1）如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， ①求证：点在的垂直平分线上； ② ； （2）如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $