第二部分 化“斜”为“直”妙用勾股&巧用方程速定字母值-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（浙教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 化“斜”为“直”妙用勾股 解决有关几何图形的问题时,仔细观察图形的特征,抓住已知条件的本质,恰当地构造出直角三角形, 化“斜”为“直”,从而将问题转化,运用勾股定理求解,则会收到化难为易,事半功倍的效果,下面举例予以 说明. 一、 利用已知直角,补充图形构成直角三角形 例1 如图,在四边形ABCD 中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,DC=63,AD =23,求四边形ABCD 的面积. 分析:由∠B=∠D=90°,考虑延长BA,CD 交于点E,构造出Rt△CBE 和 Rt△ADE.这样 四 边 形 ABCD 的 面 积 就 等 于 Rt△CBE 和 Rt△ADE 的 面 积 之差. 解: 延长BA,CD 交于点E. ∵∠A=135°,∠D=90°, ∴∠EAD=45°,∠EDA= 90°. ∵DC=63,AD=23, ∴DE=AD=23,CE=83. 又∵∠C=45°, ∴BC=BE. 则在Rt△CBE 中,由勾股定理得:2BC2=CE2=(83)2=192, ∴BC2=96. ∴S四边形ABCD=S△CBE-S△ADE= 1 2BC 2- 1 2AD 2=42. 点评:求任意四边形的面积的方法:①将四边形化为三角形求其面积;②添辅助线,构造直角三角形. 二、 利用图形的特征,作高线构造直角三角形 例2 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 是BC 上任一点,求 证:BD2+CD2=2AD2. 分析:要求证的是线段的平方和形式,首先想到运用勾股定理.但线段 BD, CD,AD 并不能构成一个直角三角形,所以要考虑作高构造直角三角形,再用勾股 定理证明. 证明:过A 作AE⊥BC 于点E. 在Rt△ADE 中,AD2=DE2+AE2. ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴△ABC 是等腰直角三角形. ∴AE=BE=CE. 又∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2 =BE2+CE2+2DE2 =2AE2+2DE2 =2AD2 ∴BD2+CD2=2AD2. 点评:运用添高法构造直角三角形,可使勾股定理更充分地发挥其作用. 64 第 二 部 分 专 题 选 讲 巧用方程 速定字母值 同学们在学会了求不等式组的解集之后,还需要学会逆用其解集来解决有关问题,也就是根据不等式 组的解集来确定不等式组或其中的待定系数.主要方法有两种:一是按照解不等式组的一般解法,求出含待 定常数的解集,再与已知的解集进行比较;二是把解集的“分界点”代入不等式组“对应的方程”,从而可求出 待定常数.下面以2008年中考试题为例说明. 例1 若不等式组 3x+a<0, ① 2x+7>4x-1 ② 的解集为x<0,则a 的取值范围为 ( ) A. a>0 B. a=0 C. a>4 D. a=4 解法一:由不等式①得x<- a 3 ,由不等式②得x<4. 所以不等式组的解集为x<- a 3 或x<4. 又因为不等式组的解集是x<0, 所以- a 3=0 ,解得a=0. 故选B. 解法二:不等式组 3x+a<0 , ① 2x+7>4x-1 ② 的解集为x<0. 由不等式②的解集知x<4,因此不等式①解集是x<0,其“分界点”为x=0,“对应的方程”是3x+a= 0.所以把x=0代入3x+a=0,求得a=0.故选B. 例2 已知不等式组 x+2>m+n ①, x-1<m-1 ② 的解集为-1<x<2,则(m+n)2008= . 解法一:由不等式①得x>m+n-2,由不等式②得x<m. 所以不等式组的解集为m+n-2<x<m. 又因为不等式组的解集是-1<x<2, 所以 m+n-2=-1, m=2. 解得 m=2,n=-1. 所以(m+n)2008=1. 解法二:不等式组 x+2>m+n ① , x-1<m-1 ② 的解集为-1<x<2. 由不等式①可知“分界点”为x=-1,“对应的方程”是x+2=m+n, 由不等式②可知“分界点”为x=2,“对应的方程”是x-1=m-1. 所以 -1+2=m+n, 2-1=m-1. 解得 m=2,n=-1. 所以(m+n)2008=1. 74