精品解析：河北省石家庄市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

石家庄市第一中学 2024－2025学年度第一学期高二年级数学学科期中考试试题 命题人：孟庆善 审核人：田紫钰 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 2. 若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线可得，结合求解即可. 【详解】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得. 故选：C. 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 设为对角线的交点，为任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在OAC和OBD中，根据是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解. 【详解】解：在OAC中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 在OBD中，因为是平行四边形ABCD的对角线的交点， 所以，即． 所以． 故选：D． 5. 如图，在直三棱柱中，且．则异面直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，证得或其补角为异面直线与所成的角，设，求出相应线段的长度，进而在中，利用余弦定理求出，进而结合异面直线所成的角的范围即可求出结果. 【详解】 取的中点，连接, 所以，，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设，则，因为，所以，因为底面，且底面，底面，所以，，故，而，在中，，所以，因为异面直线所成的角的范围为，故为异面直线与所成的角，所以异面直线与所成的角为， 故选：C 6. 已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】集合和中的元素构成两个圆，由题意可得两圆相交，根据圆心距小于半径之和大于半径之差的绝对值列不等式，解不等式即可求解. 【详解】由可得 集合中的元素构成以为圆心，半径为的圆； 由可得 集合中的元素构成以为圆心，半径为的圆； 若中有且仅有两个元素，则两个圆相交； 可得， 即，解得：， 所以的取值范围为， 故选：C. 7. 一个骰子连续投2次，观察骰子朝上的点数，点数和为的概率记作，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意列出全部基本事件，从而得到的最大值是，再计算即可. 【详解】一个骰子连续投2次，共有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个基本事件， 其中两个数和为共有6个基本事件，其他两数和的基本事件个数都小于6个， 故的最大值是. 故选：B 8. 已知实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，变形利用基本不等式建立关系求解即得. 【详解】实数，有， 则， 整理得，解得，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：D 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分.） 9. 已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. A，B，C三点共线 D. A，B，C，D四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出向量，，，，的坐标.根据可判断选项A；根据可判断选项B；根据可判断选项C；设，求出和的值，从而可判断选项D. 【详解】易知，，，，， 因为，所以 ，故选项 A正确； 因为，且四点不共线，所以，故选项B正确； 因为，所以 A，B，C三点不共线 ，故选项C错误； 易知当时，A，B，C，D共面， 即，所以， ， 解得， ，所以A，B，C，D共面，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象关于中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数的图象关于直线对称， ，，因为，所以，所以．函数为奇函数，故正确； 当，，函数没有单调性，故错误； 若，因为，所以或，则的最小值，故正确； ，所以函数的图象关于中心对称，故正确 故选：． 11. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点两点，和的内心分别为，则（ ） A. 始终垂直于轴 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由与的内切圆性质可得，和点的横坐标判断A、B；设出直线的倾斜角，求出的表达式并求出其范围判断C、D. 【详解】 由双曲线的离心率为2，得半焦距， 对于A，记的内切圆在边上的切点分别为， 则， ， 令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为， 同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，故A正确； 对于B，由分别平分， 得， 所以，故B正确； 对于C、D，设直线的倾斜角为，则（为坐标原点）， 在中， ， 双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和， 由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交， 因此，即，所以， 则，故C正确，D错误． 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义结合三角形的内切圆的性质，再结合三角函数的性质进行解答. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某校高一年级有男生280人，女生210人，用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个样本量为70的样本，则此样本中男生人数为______人. 【答案】 【解析】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意样本中男生人数为（人）. 故答案为： 13. 点是曲线与的交点，点与的两焦点距离之和为，点与的两焦点距离之差为，则________. 【答案】2或10 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的定义计算即得. 【详解】曲线是椭圆，其长半轴长，曲线是双曲线，其实半轴长， 由与联立消去，得，因此曲线相交， 点与的两焦点距离之和，点与的两焦点距离之差或， 所以或. 故答案为：2或10 14. 函数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】经分析知是以为周期的周期函数，所以只需求在上的值域，分，对进行化简、换元，并分析函数的单调性，进而确定其值域. 【详解】∵ ∴是以为周期的周期函数. 若，则 ，， 令，则，. ∵ 在上均是单调增函数， ∴ 若， 则，， 令，则， ∵ 在上均是单调减函数， ∴ 综上，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线的方程为. （1）当时，求点到直线的距离； （2）当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【小问1详解】 当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 16. 在中，内角的对边分别为，已知． 求； 若，且面积，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值． （2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值． 【详解】（1）∵， ∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC， 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC， 可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC， 可得：cosA=sinA，可得：tanA=， ∵A∈（0，π）， ∴A= （2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×， ∴解得：c=2，b=4， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 17. 长为4的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，是线段的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程； （3），，是曲线上的一动点，求的最小值及此时点坐标. 【答案】（1）； （2）或； （3）最小值为，点. 【解析】 【分析】（1）求出点满足的关系等即可求出轨迹方程. （2）按切线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式计算即得. （3）设点，求出目标函数的表达式，再借助三角函数性质求解. 【小问1详解】 令坐标原点为，依题意，，因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 点到直线的距离为2，即直线过点，且与曲线相切，因此直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，则，解得， 方程为，即， 所以切线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）设， 则 ，其中锐角由确定， 而，则当，即时，取得最小值， 此时，点， 所以的最小值为，点. 18. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因平面平面，平面平面, 由底面是正方形，可知,且平面,则平面， 又平面，故； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直证平面，利用线面垂直的性质易得； （2）依题建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）利用（2）中建系，分别求出两个半平面的法向量，再根据空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，分别取的中点为，连接. 因，则, 因平面平面，平面平面, 且平面，则平面， 又,故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是，, 设平面的法向量为， 则，故可取； 因,设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）建系，则, 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长与短轴长的比为，焦距为.为椭圆上任意一点，过点作圆的两条切线、，分别为切点，直线分别与、轴交于、两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最小值； （3）过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 如图，当直线的斜率为0时，直线与关于轴对称，此时不符合题意； 故可设直线的方程为：，代入中， 整理得：， 由，可得 设，则（*） 依题， ， 化简整理得：， 将（*）代入，可得， 即得， 整理得：，则有或. 当时，经过点,不合题意，舍去； 当时， ，经过定点. 故直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）依题列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）先判断点在以为直径的圆上，求出该圆的方程，减去已知圆的方程，得出直线的方程，求出的坐标，利用基本不等式，即可求得面积的最小值； （3）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得出韦达定理，计算化简，得到或，回代入直线的方程，检验后即得直线经过的定点. 【小问1详解】 依题意，，解得， 则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 如图，设，连接,则, 即点在以为直径的圆上，取的中点为，， 则圆，即， 将其与作差整理，可得直线的方程为：， 令，则；令，则，则得， 故，因点在椭圆上，故， 由可得，当且仅当时，等号成立， 此时， 即当点为这四个点时，面积取得最小值； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学 2024－2025学年度第一学期高二年级数学学科期中考试试题 命题人：孟庆善 审核人：田紫钰 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设为对角线的交点，为任意一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，且．则异面直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 一个骰子连续投2次，观察骰子朝上的点数，点数和为的概率记作，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分.） 9. 已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. A，B，C三点共线 D. A，B，C，D四点共面 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象关于中心对称 11. 已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点两点，和的内心分别为，则（ ） A. 始终垂直于轴 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某校高一年级有男生280人，女生210人，用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个样本量为70的样本，则此样本中男生人数为______人. 13. 点是曲线与的交点，点与的两焦点距离之和为，点与的两焦点距离之差为，则________. 14. 函数的最大值为________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线的方程为. （1）当时，求点到直线的距离； （2）当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 16. 在中，内角的对边分别为，已知． 求； 若，且面积，求的值． 17. 长为4的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，是线段的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程； （3），，是曲线上的一动点，求的最小值及此时点坐标. 18. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，长轴长与短轴长的比为，焦距为.为椭圆上任意一点，过点作圆的两条切线、，分别为切点，直线分别与、轴交于、两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最小值； （3）过点的两条直线，分别与椭圆相交于不同于点的，两点，若与的斜率之和为，直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $