第23讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2025届高三数学一轮专题复习

1 高考数学一轮复习 第23讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 复习目标 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （1） 两角和与差的正弦公式 ； . （2） 两角和与差的余弦公式 ； . 4 （3） 两角和与差的正切公式 ； . 2. 二倍角公式 （1） ； （2） ，， ； （3） . 3. 降幂公式 ； . 5 常用结论 ①两角和与差的正切公式的变形： ； . ② . ③ . 6 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ _ ______. [解析] . 7 2.［教材改编］ _ ___. [解析] 方法一： . 方法二： . 8 3.［教材改编］ 若,则 ______. [解析] 因为, 所以 ,所以, 所以 . 9 4.［教材改编］ 若，则_____， _____. [解析] ， . 10 题组二 常错题 ◆ 索引：已知角与待求角之间的关系不清致误;混淆两角和与差的正切公式中分子、 分母上的符号致误;求三角函数值时符号选取错误. 5.若,则 的值为______. [解析] , . 11 6.计算: ____. [解析] . 12 7.已知， 是第三象限角，则 的值为_ ____. [解析] 由，得 ， 即，所以. 又 是第三象限角，所以 ， 因此 . 13 探究点一 两角和与差的三角函数公式 例1（1） 已知,则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 因为,所以 , 所以 ，所以 .故选B. ［思路点拨］（1）运用两角和与差的正弦公式和同角三角函数的商数关系，计 算即可得到所求值. 14 （2） 已知 ， 均为锐角，, ,则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 由，，且 , 均为锐角， 得， ， ， 所以 .故选A. ［思路点拨］（2）根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的余弦公式， 即可求解. 15 （3） [2023·湖南长沙雅礼中学模拟] 已知 ， ，则 ( ) D A.4 B.6 C. D. [解析] 由 得 ， 故，可得，所以 ， 所以 ，故选D. ［思路点拨］（3）由两角和的正弦公式和同角三角函数公式将条件化为 ，进而求出 ，再利用两角和的正切公式即可求值. 16 [总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 , 的三角函数表示 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构 特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角之间互 相转换的目的. 17 变式题（1） 已知，，，则 的值 为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为，，所以 ， 所以. 因为，所以 ， 则 .故选B. 18 （2） [2023·山东淄博一模] 若，,则 _______. [解析] ,,又， , 若,则,与矛盾， , , . 19 （3） [2023·江苏南通模拟] 已知，则 ______. [解析] 设，则，， . 20 探究点二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 例2（1） [2023·河北衡水中学模拟] ( ) C A. B. C. D.1 [解析] .故选C. ［思路点拨］（1）利用诱导公式，逆用两角和的正弦公式计算出答案. 21 （2） [2022·新高考全国Ⅱ卷] 若 ,则( ) C A. B. C. D. ［思路点拨］（2）思路 一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公式对已知等式进行化简可求出 ,进而可求;思路二:根据等式恒成立,取角 , 为特殊值分别判断选项. 22 [解析] 方法一： 由 , 可知 ， 即 ， 即，即 ， 所以 ,,所以 , , 所以, ，故选C. 方法二：取，则, 取 ,则，排除B，D； 取 ，则 ,即 ， 取,则 ，排除A.故选C. 23 （3） [2023·山东德州三模] 若 , 为锐角，且 ，则 ___. 2 [解析] 因为 ， 所以 . ［思路点拨］（3）根据两角和的正切公式变形即可得解. 24 [总结反思] 两角和与差的三角函数公式活用技巧：①逆用公式应准确找出所给式子与公式的 异同，创造条件逆用公式；② ， （或 ）， （或 ）三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形 使用. 25 变式题（1） （多选题）下列式子的运算结果为 的是( ) ABC A. B. C. D. 26 [解析] 对于A，因为 ， 所以 ； 对于B, ； 对于C，因为 ，所以 ； 对于D，.故选 . 27 （2） 已知，则 等于( ) A A.1 B. C. D. [解析] 因为 ， 所以 ，故选A. 28 探究点三 角的变换问题 例3（1） 已知 ，，若， ，则 的值为( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意可得，， 所以 ，， 所以 ，故选A. ［思路点拨］（1）先根据 , 的取值范围判断， 的取值范围，利用 同角三角函数公式求出，，再利用求解. 29 （2） [2023·江苏泰州一模] 已知，,则 _____. [解析] 因为，所以， 因为 ，所以， 所以 ， 所以, 所以 . ［思路点拨］（2）根据同角三角函数基本关系求出， 的值， 再利用两角差的正切公式计算即可求解. 30 [总结反思] 三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个 “已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 常用的拆角、配角技 巧：； ； ； ； ； 等. 31 变式题（1） 已知，则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 . 32 （2） 已知 ，，，则 ___， _ ______. [解析] 因为，且，所以， . 由 ，得 ， 又因为 ，所以， 所以 . 33 提升习题 34 例1 ［配例1使用］ [2023·山西运城三模] 已知，则 的 近似值为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 所以 . 故选B. 35 例2 ［配例2使用］ [2023·重庆万州三中模拟] 若 ，则 ( ) B A. B.0 C. D.1 [解析] 因为 ， 所以， 即 ，则 ， 所以 , 则,即 . 故选B. 36 例3 ［配例3使用］ [2023·山东烟台模拟] 已知 , 满足 , ,则 的值为( ) A A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 , 即 , 显然， 两边同除以 得 , 即,即 , 易知，则 , ,故选A. 37 $$