四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期11月诊断性评价数学试题

成都市玉林中学高2022级11月诊断性评价试题 数学 考试时间：120分钟；总分：150分； 命题人：彭晓夏 周翔 审题：高三备课组 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）  A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．将函数的图象向右平移个单位后的图像关于轴对称，则 ＝ A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在△中，角所对的边分别为，已知，且△的面积，则△周长的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．设向量，，则（    ） A． B．与的夹角为 C．与共线 D． 10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增C．函数的图象关于直线对称 D．该图象向右平移个单位可得的图象 11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A.的图象与的图象有且仅有一个公共点 B． 的图象与的图象没有公切线 C 有极大值，且极大值点 D．当时，恒成立 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的值是 . 13．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.在点测得塔顶的仰角，且，则塔高为 14．已知函数有两个零点，则的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．设函数． (1)求的单调递减区间； (2)在中，若，，求△的外接圆的面积． 16．某校为了解学生课间进行体育活动的情况，随机抽取60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动. (1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 女 合计 (2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 附：，其中 附表： 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 17．如图的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，,． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 18．已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（−3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C． (1)求抛物线E的标准方程； (2)求证：直线BC过定点； (3)若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求的取值范围 19．若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市玉林中学高2022级11月诊断性评价试题解析 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D D C B C AD BCD 题号 11 答案 ACD 7．B【详解】， 即，又，解得，， 又，由余弦定理可得：， ，即当且仅当时取等号，则周长的最大值是， 8．C【详解】有四个不同的零点， 即和有四个交点，它们的横坐标分别为， 画出函数和的图像，根据图像可知， 和是和的交点横坐标，即方程的两根， 所以，是和的交点横坐标，是和的交点横坐标，故有，得到，由，可得 ，令， 令，则在上单调递减，所以，， 故，即所求式子的取值范围是. 10．BCD【详解】由图象可知：，周期，∴； 由，所以，解得， 由可得，故函数． 对于A：，故A错误； 对于B：当时，，因为在上，正弦函数单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，， 即直线是的一条对称轴，故C正确； 对于D：向右平移个单位得，故D正确， 11．ACD【详解】对于选项A，易知当时，函数与函数的图像有一个公共点，当时，令，则， 由，得到，由，得到， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在时取最小值，即， 所以当时，函数与函数的图像没有公共点，故A正确； 对于选项B，设与切于点，与切于点 则，化简得：，判断方程根的个数即为公切线条数， 令，则，易知在上恒小于0， 当时，令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，又，， 所以在上有使得，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，且 当，所以方程有两解，与的图像有两条公切线，所以选项B错误， 对于选项C，令，所以，令，则，所以在上单调递减，又， 所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故选项C正确， 对于选项D，，则，当时，时，，所以，即，当且仅当时取等号， 令，则在区间上恒成立， 又，所以，当且仅当时取等号， 又，当时，与重合，当时，的图象由向右平移，此时图象恒在下方， 所以，且等号不能同时取到，故选项D正确. 12． 13． 14． 【详解】由，设，显然该函数在上单调递增，则， 于是由题意知，有两个根，因,则故与有两个交点. 由，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即时，取得极大值为，且当时，，当时，，作出函数的简图. 由图可得，要使有两个根，需使，解得. 故答案为：. 15．（1）， 令，解得，， 所以函数的单调递减区间为，； （2）由题可得，又，∴，即，又，所以的外接圆直径，所以，的外接圆面积． 16．（1）零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下： 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 40 20 60 女 50 10 60 合计 90 30 120 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05 （2）经常进行体育活动者的频率为，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，随机变量的所有取值为0，1，2，3，4，由题意得， 所以，， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 的数学期望为，的方差为17．（1）证明：在中，因为，， 所以由余弦定理得，，所以， 所以，即，在直四棱柱中，平面，平面，所以，因为平面，平面，， 所以平面. （2）因为，，两两相互垂直，所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，得，， 所以有，，，， ，，， 设为平面的一个法向量，则，即， 令，解得，因为，， 设直线与平面所成角为，且， 所以，从而， 所以．所以直线与平面所成角的正切值为． 18（1）焦点，∵，∴ 抛物线E的标准方程为 （2）显然．直线斜率存在，设的方程为 由，化简得：， 设，则，∴      ① 直线的方程为， 由化简得：， 设则      ② 由①②得，∴      ③ （ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴，∴的方程为． （ⅱ）若直线有斜率，为， 直线的方程为，即， 将③代入得，∴， 故直线有斜率时过点． 由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点． （3） 由（2）得， ，∴，且， 设， ∵，且，∴∴， 故的取值范围是． 19．（1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得， 即，，，，， 又，所以.因为，即， 化简可得，又，所以，代入， 可得或，所以为“切合函数”. （2）由题意知，因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得， 即，整理得， （ⅰ）先证，即，， 令，则由，知，要证，只需证， 即，设， 易知，故在单调递减，所以， 故有，由上面的式知,所以                                  （ⅱ）由上面的得， ，又，所以且， 故要证，                  只需证， 即，设， 则即证， 设，则， 即也就是在单调递增， ，所以在单调递增， 所以，因为， 所以，所以，所以原不等式成立. 答案第16页，共17页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$