2024-2025学年上学期高二年级12月阶段性检测试题数学（统计～椭圆）（人教 A版选择性必修第一册）

2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性模拟检测试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A．6 B．8 C．10 D．12 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．3 D．或3 4．已知圆，圆，A、B分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中不正确的是（    ） A．若事件A与事件B是互斥事件，则 B．若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件 C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件 10．如图，棱长为4的正方体中，点，分别为､的中点，下列结论正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正切值为3 C．平面 D．平面截正方体的截面周长为 11．已知圆，点为直线上一动点，下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相离 B．圆上有且仅有一个点到直线的距离等于 C．过点向圆引一条切线，为切点，则的最小值为 D．过点向圆引两条切线和，、为切点，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 13．已知一组数据的标准差为，数据的方差为，则 . 14．是圆：的直径，是椭圆：上的一点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)边的垂直平分线方程. 16．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 17．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于，两点，且，求的方程. 18．黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； (3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 19．已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，． （1）求此椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$缺考点徐松园 20242025学年第一学期高二12月阶段性检测慎数试恩数学容夏卡 1615分] 雅考匠号 姓名 年项： 考特 背场 虚位号 口 ■口 ▣ 留 主观则公狮使用的5壁来男色基学笔填写 不得使用修皮液使业霜 不得在打分据内申写、牌抹 4 国转中倒储洁，补要换，要量， 口 单选题（的分） 1■A可Cq可3A▣H四5A可？A可g可 2A四■Tg可4▣H可6A▣gJ8四T网可 多选题B分] A时0A▣口回四nA口c回四 三、填空题(15分 175分) 12 14 里，解养题行分 1513分) 请在各框县的苦道区城内件答超出边原的整案无益葛直4取 AA 速在务想的养理区城内作答超出助挥的养家无效有4原 1817分) 1917分) 信在条题鞋的养想区城内州答超出边挥的养家无效第有4真》 4▲ 速在务想的养理区城内作答题出边挥的养家无效第4有4原 人 2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性检测试题 数学（统计～椭圆） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得： 在高二年级的学生中应抽取的人数为：， 故选B． 考点：分层抽样． 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围即可求解. 【详解】由可得：， 所以斜率为， 设倾斜角为，则， 因为， 所以， 故选：A 3. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】由直线平面，所以求解. 【详解】因为直线平面，所以或， 故选：A. 4．已知圆，圆，A、B分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：根据圆之间位置关系，结合折线大于线段不等关系得的最大值. 详解：由折线大于线段得 ,选A. 点睛：涉及圆的最值问题，一般根据圆心与半径，建立不等式关系，根据不等式关系求最值. 5．已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图像，利用平面几何的知识证得，结合椭圆的定义可分别求出及，由此得到的关系式，进而可求得椭圆C的离心率. 【详解】如图，连结， 由椭圆可知，， 因为为正三角形，所以， 又因为，所以， 又，所以， 故， 所以在中，， 所以由得，即， 故椭圆C的离心率为. 故选：B. . 6．某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】两人在相同站点下的概率为：，所以甲、乙二人在不同站点下车的概率为， 故选：C 7．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短． 【详解】直线l：，即，所以直线过定点，，圆半径， 点在圆内，所以当直线与垂直的时候，最短， 此时． 故选：C． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中不正确的是（    ） A．若事件A与事件B是互斥事件，则 B．若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件 C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件 【答案】ABC 【分析】由互斥事件的概念可判断A，D；由对立事件的概念可判断B，C. 【详解】对于A，事件A与事件B是互斥事件，但不一定是对立事件，故A不正确； 对于B，若是在同一试验下，由，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有，但事件A与事件B不一定对立，故B不正确； 对于C，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生，不是对立事件，故C不正确； 对于D，事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件，故D正确． 故选：ABC. 10．如图，棱长为4的正方体中，点，分别为､的中点，下列结论正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正切值为3 C．平面 D．平面截正方体的截面周长为 【答案】AB 【分析】证明平面，得到A正确，确定即为与平面所成角，计算得到B正确，平面，得到C错误，计算截面周长为，所以D错误，得到答案. 【详解】取的中点，连接，则，，故，平面，，故，，故，，平面，平面，，所以A正确； 设与，分别交于点，平面，即为与平面所成角，，其中，，，所以B正确； 平面即为平面，，平面，所以C错误； 取靠近点的四等分点，易证，四点共面，即为平面截正方体的截面，，，，平面截正方体的截面周长为，所以D错误. 故选： 11．已知圆，点为直线上一动点，下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相离 B．圆上有且仅有一个点到直线的距离等于 C．过点向圆引一条切线，为切点，则的最小值为 D．过点向圆引两条切线和，、为切点，则直线过定点 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用几何法可判断A选项；求出与直线平行且与到直线的距离为的直线的方程，判断所求直线与圆的位置关系，可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；求出直线的方程，并将直线的方程变形，求出直线所过定点的坐标，可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，A正确； 对于B选项，设与直线平行且与到直线的距离为的直线的方程为， 所以，，解得， 设直线，直线， 所以到直线的距离为的点在直线、上， 圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交； 圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相离. 因此，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，B错； 对于C选项，由切线的性质知，为直角三角形，且， ， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，C对； 对于D选项，设点，则， 以点为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 将圆的方程与圆的方程作差可得直线的方程为， 因为点在直线上，则， 即，整理得. 由，解得，所以直线过定点，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可. 【详解】因为直线与直线交于点A， 所以联立，解得，即. 设点关于直线的对称点坐标为， 则的中点坐标为，， 故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是. 故答案为：. 13．已知一组数据的标准差为，数据的方差为，则 . 【答案】2 【解析】由方差特征可得的方差也可表示为，由标准差和方差的关系可得，解方程即可得解. 【详解】的方差为， 的方差为， 的标准差为， 的方差为， ，或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】本题考查了方差和标准差的概念，关键是对于概念的理解，属于基础题. 14．是圆：的直径，是椭圆：上的一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据平面向量的线性运算及其数量积运算，将转化为，设， 得，根据点在椭圆上将代入转化成二次函数，最后根据二次函数的性质求解取值范围即可. 【详解】设，已知为圆上的直径，点为椭圆上一点. ，，，， ，， 的取值范围是： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)边的垂直平分线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的方程，再联立直线，即可得点的坐标， （2）求出点的坐标，再与点联立求的斜率，再联合BC中点，即可得的垂直平分线. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，所以直线斜率为， 则直线的方程为，即， 解方程组，得点的坐标为. （2）设，，则，， 于是有， 即，与联立，解得点的坐标为. 则，则的垂直平分线的斜率为， 又中点坐标为，垂直平分线方程为，即， 16．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理只需证明，即证EF平行且等于AB即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，而平面的法向量有现成的， 无需计算，再根据两个平面的法向量求出两个平面的夹角. 【详解】（1）证明：取PD中点F，连接EF、AF，因为E为棱PC的中点， 所以EF为的中位线，所以，且， 又，，，所以EF平行且等于AB， 所以四边形ABEF为平行四边形，所以， 又因为面PAD，面PAD，所以面PAD． （2）如图，取AD的中点为O，连接PO，因为，所以， 又因为，平面底面ABCD且交线为AD，所以平面ABCD． 建立空间直角坐标系，，，， ，，设平面PBC的法向量为， 则，即，令得， 平面PAD即平面，其一法向量为，所以，， 故平面PBC与平面PAD所成角的余弦值为． 17．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于，两点，且，求的方程. 【答案】（1）；（2）或者. 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点坐标，设圆的一般方程，代入三点为坐标可得圆的方程，后得标准方程； （2）检验直线斜率不存在时符合题意，再设斜率存在时的直线方程为，求出圆心到直线的距离，勾股定理表示出弦长后可求得参数，得直线方程． 【详解】解：（1）设曲线，与坐标轴的交点分别为，，， 设圆的方程为，代入点坐标可解得，，， 从而圆的方程为，即； （2）由得圆心到直线距离为； 当直线斜率不存在时，方程为，满足题意； 直线斜率存在时，设直线，即， 由题，解得， 所以直线方程为，即 综上，从而直线方程为或者. 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．已知圆上三点坐标时，可设圆的一般方程，代入三点坐标后解方程组求解．已知弦长求直线方程，需要检验直线斜率不存在时的直线是否满足题意，在斜率存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，用勾股定理表示出弦长后从而可得参数值，得直线方程． 18．黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； (3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【答案】(1)， (2)第二组、第四组的方差是 (3) 【分析】（1）联立求出再用平均数公式计算； （2）运用分层抽样平均数和方差公式计算即可； （3）设出事件，求出对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数等于， （2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 ， 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. （3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件， 由题意得， 所以， 所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为， 则，因为， 所以，因为相互独立， 所以， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 19．已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，． （1）求此椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）设焦距，从而求解椭圆的标准方程；（2）将代入椭圆的方程，得，由，得到，再由韦达定理得到，，利用平面向量化简，列出方程，即可求解的值． 试题解析：（1）设焦距为, 椭圆的方程为 ． （2）将代入椭圆的方程，得, 又直线与椭圆有两个交点，所以, 解得．设, 则, 若以为直径的圆过点，则, 即,而, 则 , 解得,满足． 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、韦达定理化简运算是解答的关键，试题运算量大，思维难度深，属于中档试题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性模拟检测试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A．6 B．8 C．10 D．12 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．3 D．或3 4．已知圆，圆，A、B分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中不正确的是（    ） A．若事件A与事件B是互斥事件，则 B．若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件 C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D．从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件 10．如图，棱长为4的正方体中，点，分别为､的中点，下列结论正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正切值为3 C．平面 D．平面截正方体的截面周长为 11．已知圆，点为直线上一动点，下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相离 B．圆上有且仅有一个点到直线的距离等于 C．过点向圆引一条切线，为切点，则的最小值为 D．过点向圆引两条切线和，、为切点，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 13．已知一组数据的标准差为，数据的方差为，则 . 14．是圆：的直径，是椭圆：上的一点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)边的垂直平分线方程. 16．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 17．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆交于，两点，且，求的方程. 18．黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； (3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 19．已知离心率为的椭圆的一个焦点为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，． （1）求此椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$