4.2.2 等差数列的前n项和公式（2）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

复习回顾：等差数列前n项和公式 1、等差数列的前项和公式1： 2、等差数列的前项和公式2： 3、当d≠0时，等差数列的前n项的和是一个常数项为零的二次函数 等差数列的判定方法 ①定义法： ③通项法： ②等差中项法： ④前n项和公式法： 4.2.2 等差数列的前n项和公式性质（2） 2024.11.14 人教A版（2019）选择性必修二 数列 教P23 例9、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 解： 由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0， 所以an＋1＜an . 所以{an}是递减数列. 由a1＝10，d＝－2， 得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12. 当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0. 所以, 所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞… 所以，当n＝5或6时，Sn最大. 因为 ， 所以Sn的最大值为30. 探究： 找到最值的关键是分析Sn的增减性，可以从什么角度直接研究其单调性？ 解法2： 由a1＝10，d＝－2， 所以，当n取与 最接近的整数， 即5或6时，Sn最大， 最大值为30. 教P23 例9、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 探究：对于一般的等差数列，前n项和公式是否都具有关于n的二次函数的形式呢？ 当d≠0时，Sn具有关于n的二次函数的形式. (1)一般形式： 常数项为0 (2)求Sn的最值： 结合二次函数的开口/对称轴分析 总结：等差数列前n项和公式Sn与函数的关系 1,3,5,7,… -1,-3,-5,-7,… 8,6,4,2,0,-2,… 7,5,3,1,-1,-3,… -4,-2,0,2,4,6,… -5,-3,-1,1,3,… 例题赏析（1） (法1) 利用二次函数的性质求Sn的最值 (法2) 利用邻项异号求Sn的最值 (法3) 利用等差数列的单调性，求Sn的最值 数形结合利用Sn的对称轴求Sn的最值 (法4) 例题赏析（1） 方法总结：求等差数列前n项和Sn的最值 二次函数法：等差数列{an}中，Sn＝An2＋Bn， 故可用二次函数的性质或图象的对称性求最值，注意n∈N*． 巩固练习（1） 10或11 数形结合： 18或19 (法1) (法2) 例题赏析（2） 13 等差数列的前n项和中， S1,…,S13为正，S14起为负 巩固练习（2） 7 6 > 例题赏析（3）：求数列{|an|}的前n项和 + - 巩固练习（3） 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和． 方法总结：求等差数列前n项和Sn的最值 二次函数法：等差数列{an}中，Sn＝An2＋Bn， 故可用二次函数的性质或图象的对称性求最值，注意n∈N*． 方法小结：求数列{|an|}的前n项和 求数列{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正的，哪些项是负的，通过去绝对值，转化为数列{an}的前n项和问题. 单调性法：①若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，可用an≥0确定n； ②若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，可用an≤0确定n． 通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，可用确定n； ②若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，可用确定n． 解：数列{an}的公差d＝eq \f(a17－a1,17－1)＝eq \f(－12－－60,17－1)＝3 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63. 由an<0得3n－63<0，即n<21. ∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数. 设Sn，Tn分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和， 当n≤20时,Tn＝－Sn＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－60n＋\f(nn－1,2)×3))＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(123,2)n 当n>20时,Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝-60n＋eq \f(nn－1,2)×3－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－60×20＋\f(20×19,2)×3))＝eq \f(3,2)n2－eq \f(123,2)n＋1260. ∴ 数列{|an|}的前n项和 Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(123,2)nn≤20,\f(3,2)n2－\f(123,2)n＋1 260n>20)). 单调性法：①若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，可用an≥0确定n； ②若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，可用an≤0确定n． 通项法：①若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，可用确定n； ②若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，可用确定n． $$