精品解析：江苏省无锡市锡北片区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

锡北片2024秋学期期中考试试卷初二数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 3. “三角形具有稳定性”这个事实说明了（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 4. 等腰三角形有两条边的长分别为3和4，则该三角形的周长为（　 ） A. 10 B. 10或11 C. 11 D. 7或11 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 6. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 10，15，18 C. D. 0.3，0.4，0.5 7. 在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 36°或45° D. 45°或72° 8. 如图，在中，，，则与的关系是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知RtABC中，C90 ，A30 ，在直线 BC 或 AC上取一点 P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的 P 点有( ) A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 10. 如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，，以下五个结论： ①；②；③；④；⑤时，其中结论正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共8小题，每空2分，共16分） 11. －64的立方根是_______． 12. 小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是______． 13. 一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为________． 14. 若a、b、c是的三边，且，则最大边上的高是______． 15. 如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 _________． 16. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙的距离为2寸，点C和点D距离门槛都是1尺（1尺=10寸），则的长是几寸？若设图中单扇门的宽寸，则可列方程为：_______． 17. 如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为___________． 18. 如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是______． 三、解答题（本大题共9小题，共74分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，点、在上，，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 21. 等腰三角形的周长为 （1）若已知腰长是底边长的倍，求各边长； （2）若已知一边长为，求其他两边长． 22. 作图： （1）如图1，在边长为1的正方形网格中： ①画出关于直线l轴对称的（其中分别是的对应点）； ②直接写出中边上的高=___________． （2）如图2，在四边形内找一点，使得点到的距离相等，并且点到点的距离也相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 23. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 24. 如图，在中，，，D是边上一点（不与A，B重合），以为边作等腰，，且，与交于点F，连接BE． （1）求证：； （2）当时，证明是等腰三角形． 25. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 26. 课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； （2）当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； （3）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 27. 如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． （1）点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； （2）若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； （3）分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锡北片2024秋学期期中考试试卷初二数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查轴对称图形的识别，解题关键在于识别图形，掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可解答． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项A不符合题意． B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意． C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意． D、是轴对称图形，故选项D符合题意． 故选：D． 2. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练运用平方根的定义是解决问题的关键．根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 故选：A． 3. “三角形具有稳定性”这个事实说明了（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】三角形具有稳定性是因为三条边的 【详解】只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,这也是三角形具有稳定性的原理. 故选D. 【点睛】本题考查三角形全等的判定,关键在于理解三角形全等判定条件的意思. 4. 等腰三角形有两条边的长分别为3和4，则该三角形的周长为（　 ） A. 10 B. 10或11 C. 11 D. 7或11 【答案】B 【解析】 【分析】等腰三角形两边的长为3和4，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是3，底边是4时，三边为3、3、4，能构成三角形， 则其周长=3+3+4=10； ②当底边是3，腰长是4时，三边为3、4、4，能构成三角形， 则其周长=3+4+4=11． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 6. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 10，15，18 C. D. 0.3，0.4，0.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数的定义，根据“满足勾股定理且为正整数的数，叫做勾股数”，即可求解． 【详解】解：A、是勾股数，故本选项符合题意； B、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； D、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 36°或45° D. 45°或72° 【答案】D 【解析】 【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可． 【详解】解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°， 当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°， 即：4x＝180， 解得：x＝45， 此时∠C＝∠B＝45°； 当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°， 即5x＝180， 解得：x＝36°， 此时∠C＝∠A＝72°， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解答本题的关键，难度不大． 8. 如图，在中，，，则与的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用，根据“等边对等角”可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出和，是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，已知RtABC中，C90 ，A30 ，在直线 BC 或 AC上取一点 P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的 P 点有( ) A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出图形结合求解． 【详解】解：第1个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，在上边于CA延长线上交于点P； 第2个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA=PB； 第3个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与BC在左边交于点P； 第4个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，与BC在右边交于点P； 第5个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，交AC延长线上于点P； 第6个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与AC的延长线交于点P； ∴符合条件的点P有6个点. 故选:C. 【点睛】考查等腰三角形的判定， 坐标与图形性质，注意分类讨论，不要漏解. 10. 如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，，以下五个结论： ①；②；③；④；⑤时，其中结论正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由条件证明，可以判断①②；由得出，推出，由勾股定理得出，由，是等腰直角三角形就有，，就有就可以判断④；求得，，得到，再利用三角形内角定理可判断③；证明，可判断⑤． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①②正确； ． ， ， ， ． ； ． ，，， ，． ， ， ．故④错误． ， ， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，三角形内角和定理，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每空2分，共16分） 11. －64的立方根是_______． 【答案】-4 【解析】 【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解． 【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数， 可知-64的立方根为-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数． 12. 小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，根据在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒即可得到答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 13. 一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求解即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是与， 所以，， 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的性质，解题关键是明确一个正数的两个平方根互为相反数． 14. 若a、b、c是的三边，且，则最大边上的高是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法求三角形的高．熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，，设最大边上的高为，依题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， 设最大边上的高为， 依题意得，，即， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 _________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 16. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙的距离为2寸，点C和点D距离门槛都是1尺（1尺=10寸），则的长是几寸？若设图中单扇门的宽寸，则可列方程为：_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取的中点，过作于，如图2所示： 由题意得：， 设寸， 则（寸），寸，寸， 寸， 在中， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 17. 如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、， ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵， ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 18. 如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是______． 【答案】194 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点作，并使得，连接构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】解：过点作，并使得连接， 则， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值， ∵， ∴， ， 故答案为：194． 三、解答题（本大题共9小题，共74分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先移项，再化简系数化为1，即可解答. （2）直接利用直接开平方法即可解答. 【详解】（1）原式= （2）原式= = 【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 如图，点、在上，，，． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． （1）根据已知，利用判定即可； （2）根据得到，推出即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 21. 等腰三角形的周长为 （1）若已知腰长是底边长的倍，求各边长； （2）若已知一边长为，求其他两边长． 【答案】（1），，； （2），或、． 【解析】 【分析】（）设底边，则，代入求出即可； （）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意． 本题考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设底边，则， ∵等腰三角形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长是，，； 【小问2详解】 当等腰三角形的底边长为时，腰长； 则等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为时，底边长； 则等腰三角形的三边长为，、，能构成三角形； ∴等腰三角形其他两边的长为，或、 ． 22. 作图： （1）如图1，在边长为1的正方形网格中： ①画出关于直线l轴对称的（其中分别是的对应点）； ②直接写出中边上的高=___________． （2）如图2，在四边形内找一点，使得点到的距离相等，并且点到点的距离也相等．（用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）①如图即为所求的三角形； ② （2） 如下图，点为所求： 【解析】 【分析】（1）①分别作出点，，关于直线的对称点，再顺次连接即可；②求得的面积，勾股定理求得的长，即可求解； （2）作的角平分线，作线段的垂直平分线，交点即为点． 【小问1详解】 ①略 ②， 由勾股定理可得：， 中边上的高， 故答案为： 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要作图轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质，割补法求三角形的面积，勾股定理，也考查了角平分线与中垂线的尺规作图与性质． 23. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 连接，由题意知，，利用勾股定理可求，并可求，而，，得，可证是直角三角形，，从而求的度数； 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴为等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 24. 如图，在中，，，D是边上一点（不与A，B重合），以为边作等腰，，且，与交于点F，连接BE． （1）求证：； （2）当时，证明是等腰三角形． 【答案】（1） 证明∶∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是∶ （1）根据证明即可； （2）根据等边对等角、三角形内角和定理可求出，根据全等三角形的性质可得出，，根据等边对等角和对顶角的性质可得出，根据三角形内角和定理可求出，然后根据等角对等边即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ， 由（1）知，在和中， ， 解得 26. 课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； （2）当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； （3）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 【答案】（1）， （2），， 观察发现，当(为奇数，且)时，股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一， ∴当，时可以构造出勾股数， 证明：∵，， ∴， ∵为奇数，且， ∴、、是正整数， ∴、、三个数组成的数是勾股数； （3）或或 【解析】 【分析】（）观察勾股数，找出规律即可求解； （）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，据此可得，然后计算验证即可； （）由勾股定理可得，再根据勾股定理可得，然后根据列举法即可解答； 本题考查了勾股数，掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵；；；；， ∴为奇数，且时，勾股数为、、， ∴、、， 故答案为：、； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由勾股定理可得， 当时，则有， 即， 当时，解得，， ∵， ∴该种情况不合题意，舍去； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 27. 如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． （1）点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； （2）若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； （3）分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 【答案】（1）， （2）是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或或8 （3）运动时间的值为2或或6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据点的运动速度及运动路径，进行计算即可； （2）分四种情况：当点在上，当时，此时点与点重合；当点在上，当时；当点在上，当时；当点在上，当时，此时点与点重合；分别利用等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可得到答案； （3）分四种情况：当点在上，点在上时；当点都在上时，此时重合；当点在上，点在上时；当点在点，点在上时；分别建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 当点在边上时，， ， 点在边上时，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，，，，，点是的中点， ， 是以为腰的等腰三角形， 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 则， ， 当点在上，当时，如图， ， ， ， 解得：； 当点在上，当时，如图， ， ， ， 解得：； 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 此时， 解得：， 综上所述，是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或； 【小问3详解】 解：与全等， 斜边斜边， 当点在上，点在上时，如图， ， ，， ，， ， ， 解得：； 当点都在上时，此时重合，如图， ， ，， ，， ， ， 解得：； 当点在上，点在上时，如图， ， ，， ，， ， ， 解得：，不符合题意； 当点在点，点在上时，如图， ， ， ， ，， ， 解得：； 综上所述，运动时间的值为2或或6． 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