精品解析：四川省泸州市合江县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

合江县2024年秋期末义务教育阶段学生素质中期检测 九年级 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； C. 是中心对称图形，本选项符合题意； D. 不是中心对称图形，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 只有时，才是一元二次方程，故本选项不符合题意； B. ，含有两个未知数，本选项不符合题意； C. ，未知数的最高次数是3，故本选项不符合题意； D.是一元二次方程，本选项符合题意． 故选：D． 3. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向右平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 4. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数. 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 5. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式( ，，是常数且)，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可． 【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，， 故选：． 6. 对于二次函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 图象对称轴为直线 C. 图象顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数的最大值是，故A说法错误，不符合题意； 图象对称轴为直线，故B说法正确，符合题意； 图象顶点坐标是，故C说法错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 8. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：． 9. 在同一坐标系内，函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择． 【详解】A、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，则a＜0， ∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误； B、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴a＞0，−a＜0，即a＞0 ∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项正确； C、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，∴a＜0，−a＜0，a无解，故错误； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，则a＜0， ∵二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向上，∴a＞0，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与一次函数图象，应该熟记正比例函数y＝kx在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10. 某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故选：C． 11. 如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A. （4n﹣1，﹣） B. （4n﹣1，） C. （4n+1，﹣） D. （4n+1，） 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键． 12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 关于x的一元二次方程，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，列式计算判，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，与关于点成中心对称，若，，，则的长度为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质以及中心对称的性质，熟练掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键，由勾股定理得，解得：，再利用中心对称的性质求得，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 解得： ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， 答案为：． 15. 如图，的弦、半径的延长线交于点D，．若，则的度数是____． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查圆的有关性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，连接，先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的外角性质到，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，，， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数和轴交点问题和代数式求值，熟悉待定系数法求函数表达式是解题的关键． 把，分别代入，得，再求解即可． 【详解】解：二次函数、、为常数，的图象与轴交于，两点， ， 得，， ． 故答案为：0． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 18. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： （1）写出这个二次函数图象的顶点坐标为________，对称轴为________，最小值为________； （2） ____________； （3）求这个二次函数的解析式． 【答案】（1），， （2）25 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）由二次函数的对称性求出对称轴，进而得到顶点坐标及最小值； （2）由二次函数的对称性可得y的值； （3）根据顶点坐标设出顶点式，将代入，可得解析式． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，和为抛物线上的对称点， 因此对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：由题意知和为对称点， 因此， 故答案为：25； 【小问3详解】 解：顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 这个二次函数的解析式为． 19. 某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12000元的利润，且尽量减少库存，应涨价为多少元？ 【答案】10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设应涨价为元，则销售量为件，根据获得12000元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设应涨价为元，则销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 为了尽量减少库存，故应涨价为10元， 答：应涨价为10元． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． （1）画出关于原点对称的图形， （2）写出，的坐标分别为 ， ； （3）的面积为 ． 【答案】（1） 即为所作； （2）， （3）3.5 【解析】 【分析】本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键. （1）先作出关于原点对称的点，然后顺次连接即可， （2）写出，的坐标； （3）利用割补法求面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，点 ； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：由题意得 当时，原方程有实数根，即 ； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 实数的值是1． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数解析式． （1）求火箭模型升空的最大高度； （2）求点火后，第几秒火箭模型的高度为． 【答案】（1）米 （2）第和火箭模型升空的高度为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）化为顶点式，进而即可求解； （2）将，代入，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴当时，取得最大值为， 答：火箭模型升空的最大高度为米； 【小问2详解】 解：将，代入， 即， 解得：或， 答：第和火箭模型升空的高度为． 23. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”得到如图1所示大小两个正方形． （1）用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； （2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 【答案】（1） （2）或2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及正方形的性质，解决问题的关键是依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列出一元二次方程进行计算． （1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差； （2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：图2中小正方形的边长为； 【小问2详解】 解：由题得：， 化简得：， ， 或． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，在中，直径与弦相交于点，，． （1）求的大小； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理． （1）由三角形的外角性质可得，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，由为直径，可得，推出，由勾股定理求出，最后根据角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：，． ， ， ； 【小问2详解】 连接， 为直径， ， ， ， ， ， ，， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），其顶点为，正方形的边长为5． （1）点的坐标为________，点的坐标为_______，点的坐标为_______（用含的代数式表示）． （2）当时，抛物线上是否存在点，使?若存在，求出点的坐标． （3）若抛物线与边只有一个交点，求出的取值范围． 【答案】（1），， （2）存在点，使，此时点的坐标为或 （3）的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）在中，令，则，求出的值即可得出的坐标，将抛物线解析式化为顶点式即可得出点的坐标； （2）当时，，连接，，由正方形的性质得出，，垂直平分，待定系数法得出直线的解析式为，由题意得出点在直线上，联立方程组，求解即可； （3）分三种情况：①当顶点在上时；②当时；③当时，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ，， ， ； 【小问2详解】 解：存在． 当时，， 连接，， ， 正方形的边长为5， ，，垂直平分， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 点在的垂直平分线上，即点在直线上， 联立方程组， 解得，， ∴存在点，使，此时点的坐标为或； 【小问3详解】 解：正方形的边长为5， ，， ①当顶点在上时，此时，只有一个公共点， ∴； ②当时，若只有一个交点，则时，，即． ∴； ③当时，若只有一个交点，则时，，即． ∴ 的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、将抛物线解析式化为顶点式、正方形的性质、求一次函数解析式、二次函数综合等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用、采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2024年秋期末义务教育阶段学生素质中期检测 九年级 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到抛物线，可以将抛物线（ ） A. 向右平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向上平移个单位 4. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 6. 对于二次函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数最小值是3 B. 图象对称轴为直线 C. 图象顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 9. 在同一坐标系内，函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. 某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A. （4n﹣1，﹣） B. （4n﹣1，） C. （4n+1，﹣） D. （4n+1，） 12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 关于x的一元二次方程，则m的值是_______． 14. 如图所示，与关于点成中心对称，若，，，则的长度为___． 15. 如图，的弦、半径的延长线交于点D，．若，则的度数是____． 16. 已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点，则______． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程． 18. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： （1）写出这个二次函数图象的顶点坐标为________，对称轴为________，最小值为________； （2） ____________； （3）求这个二次函数的解析式． 19. 某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12000元的利润，且尽量减少库存，应涨价为多少元？ 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为个单位长度． （1）画出关于原点对称的图形， （2）写出，的坐标分别为 ， ； （3）的面积为 ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数解析式． （1）求火箭模型升空的最大高度； （2）求点火后，第几秒火箭模型的高度为． 23. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”得到如图1所示大小两个正方形． （1）用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； （2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，在中，直径与弦相交于点，，． （1）求的大小； （2）若，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），其顶点为，正方形的边长为5． （1）点的坐标为________，点的坐标为_______，点的坐标为_______（用含的代数式表示）． （2）当时，抛物线上是否存在点，使?若存在，求出点的坐标． （3）若抛物线与边只有一个交点，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $