1.4 数列在日常经济生活中的应用 课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§4数列在日常经济生活中的应用 伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变,在国外流行的分期付款消费被引入国内,并迅速得到国内消费者的认可. 采用分期付款方式消费的通常是当前支付能力较差,但有消费需求的年轻人,其消费的产品通常是笔记本电脑、手机、数码产品等. 情境导入 分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供.银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款,消费者用贷款向供应商支付货款,同时供应商为消费者提供担保,承担不可撤销的债务连带责任.使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”. 你知道分期付款时每期还款的金额是依据什么算出来的吗？ 提示: 依据等差数列和等比数列为数学模型算出来的. 4数列在日常经济生活中的应用 素养要求 课标要求 1.掌握单利、复利的概念.(重点) 2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用.(重点、难点) 1.通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助数列的应用,培养数学建模素养. 探究点1 单利与复利 (1)单利计算公式 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r 代表利率,S代表本金与利息和 (以下简称本利和),则有 S=P(1+nr). 探究导学 (2)复利计算公式 复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 S=P(1+r)n. 探究点2 三种常见模型 (1)零存整取模型； (2)定期自动转存模型； (3)分期付款模型. 1.等差数列模型 零存整取 例1 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔 相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这 是整取(现在有一年、三年、五年3种,年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%).规定每次存入的钱不计复利. (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出 到期整取时本利和的公式； (2)若每月初存入500元,到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元) (3)若每月初存入一定金额,希望到1年后整取时取得本利和2 000元, 则每月初应存入的金额是多少？(精确到0.01元) 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始,每个月的1号都存入100元,存期三年.已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时,李先生一次可支取本息多少元？ 思路点拨　解答本题可利用等差数列的前n项和公式来计算. 变式练习 1.本题实际上是一个“零存整取”问题,解答的关键是理解所求的本息为等差数列的求和问题. 2.等差数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“零存整取”,即利息按单利计算. 总结提升 解(1)记n年后得到的本利和为an.根据题意知： 第1年存入的本金P元,1年后到期利息为Pr元,1年后本利和为 a1= P+Pr =P(1+r)(元)； 2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本利和为 a2=P(l+r)+P(l+r)r = P(l+r)2(元)； 不难看出,各年的本利和是一个首项a1=P(l+r)、公比q=l+r的 等比数列{an},故n年后到期的本利和为 an=a1qn−1=P(l+r)(l+r)n−1=P(l+r)n(元). (2)由(1)可知,5年后本利和为 a5=10 000×(1+0.0175)5≈10 906.17(元). 因此,5年后得本利和约为10 906.17元. 3.分期付款模型例3 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,釆用分期付款方式,并 在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月的月末第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.6%,每月利息按复利计算.求小华每期应付的金额是多少？(精确到0. 01元) 解:假定小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则 A2 = 5 000×(1+0. 006)2−x； A4 =A2(l+0. 006)2−x=5 000×1. 0064 −1. 0062x−x； A6 =A4(l+0. 006)2−x=5 000×1. 0066 −1. 0064x−1. 0062x−x； …… 职工小张年初向银行贷款2万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算,若这笔贷款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且从借款后次年年初开始归还,问每年应还多少元？(精确到1元) 变式练习 从以下两点考虑： (1)每年按复利计算,即本年利息计入次年的本金生息. (2)分期付款,各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计,应等于2万元及2万元到最后一次付款时所生的利息之和. 思路点拨 解 设每年还款x元,需10年还清,那么每年还款及利息情况如下： 第10年还款x元,此次欠款全部还清. 第9年还款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1＋10%)元. 第8年还款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元. …… 1.等差、等比数列的应用常见于:存款、贷款、购物(购房)分期付款、保险、资产折旧等问题,解决方法是建立数列模型,应用数列知识解决问题. 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： (1)分清是等差数列还是等比数列； (2)分清是求an还是求Sn,特别要准确确定项数n； (3)前后项关系的发现是数列建模的关键. 课堂小结 $$