第一章三角函数单元测试卷-2024-2025学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

第一章三角函数单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（    ）（参考数据：，） A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.53 2．已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 3．已知角的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增且在这个区间上的最大值为，则实数的一个值可以是（   ） A． B． C． D． 5．设函数把的图像向右平移个单位后，图像恰好为函数的图像，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 6．设函数，下列结论不成立的是（    ） A． B． C．最小正周期是 D． 二、多选题 7．下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则下列说法正确的是（    ） A． B．y= C．是对称轴 D．此函数在上是增函数 8．下列命题中，是真命题的有（    ） A．“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件； B．“”是“”的既不充分也不必要条件； C．“”，是“”的充要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 三、填空题 9．写出与的角终边重合的所有角组成的集合 ． 10．函数的定义域为 . 11．已知定义域为的函数对任意的实数，满足，且，，并且当时，， ①函数是奇函数；②函数在上单调递增 ③函数是以2为周期的周期函数；④ 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 12．（1）函数，的值域为 ； （2）函数的最大值是 . 四、解答题 13．已知函数. (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)若，，求的值. 14．已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为． (1)已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值； (2)在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由． 15．. (1)求； (2)将函数化为的形式，写出其最小正周期并求函数在区间上的值域. 16．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C A D BD ABD 1．B 【分析】根据题意求出与的值，代入弧长公式和求出和即可. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，在上，， 所以延长可得在上，， 所以， ， 所以. 故选：B 2．B 【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算即得. 【详解】半径为的圆上，弧长为的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 故选：B 3．A 【分析】根据正余弦的定义分别求解的正余弦，再求解即可 【详解】由题意， 故选：A 4．C 【分析】代入得到，解出即可. 【详解】∵在上单调递增且在这个区间上的最大值为， ， 依题意知，，， 故选：C． 5．A 【分析】利用倍角公式、辅助角公式以及图像的平移变换，再结合诱导公式进行求解. 【详解】由于函数， 函数， 由于将的图像向右平移m个单位长度，即可得到的图像， 可得：， 可得：，或， 解得：．则m的值可以是．故B，C，D错误. 故选：A． 6．D 【分析】根据正弦函数的性质即可逐一求解. 【详解】对于A,，故正确， 对于B，，故B正确， 对于C,正弦函数的周期为，故C正确， 对于D,由于在上为增函数，,故错误， 故选：D. 7．BD 【分析】由图象可求得最小正周期，由周期公式即可求得的值，从而判断选项；将点代入，可求得的值，从而可判断选项；将代入解析式求得值，判断是否为最值即可判断选项；求出函数的单调递增区间即可判断选项． 【详解】解：由图象可知， 又，所以，故错误； 当时，，将点代入，可得， 所以，，解得，， 此时， 当时，，将点代入，可得， 所以，，解得，， 此时， 综上可得，故正确； 当时，，不是最值，故不是对称轴； ， 令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，， 取时，函数的一个单调递增区间为， ， 所以此函数在上是增函数，故正确． 故选：． 8．ABD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合对数函数、正弦函数的性质逐项分析判断即得. 【详解】对于A，关于的方程有两个实数解，则，解得且， 因此“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件，A正确； 对于B，，而，即“”不是“”的充分条件， 反之，，而，即“”不是“”的必要条件， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确； 对于C，由，得或，因此“”不是“”的充要条件，C错误； 对于D，，而，取，无意义， 因此“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD 9． 【分析】根据终边相同的角的定义求解即可． 【详解】与的角终边重合的所有角组成的集合为． 故答案为：． 10． 【分析】根据给定条件，列出不等式，解正弦不等式即可作答. 【详解】依题意，，即，解得， 所以所求定义域为. 故答案为： 11．①②③ 【分析】利用赋值法，令，即可判断①，根据单调性的定义以及奇函数即可判断②，根据周期函数的定义以及奇函数即可对③作出判断，由函数的周期性以及奇函数即可求解④. 【详解】令，可得，，函数是奇函数，故①正确； 设，则当时，， ，因为，所以,故, ，函数在上单调递增，故②正确； ，可得， 函数是以2为周期的周期函数，故③正确； ④由③知的周期为2，所以，故④不正确． 故答案为：①②③ 12． 【分析】（1）由的范围可得的范围，结合余弦函数性质可求得结果； （2）令，将问题转化为关于的二次函数最大值的求解问题，结合的范围可求得结果. 【详解】（1）当时，，， ，即的值域为； （2），； 令，则，， 则当时，，即的最大值为. 故答案为：；. 13．(1)最大值为2，最小值为. (2) 【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦展开式得，再利用正弦函数的单调性与范围可得答案； （2）由得，利用平方关系得到，再利用展开可得答案. 【详解】（1）由得，因为，则，故当时，取最大值2；当时，取最小值； 所以函数在区间上的最大值为2，最小值为. （2）由（1）可知， 又因为，所以， 由，得， 从而， 所以 . 14．(1) (2) (3)存在，或 【分析】 （1）根据题意得到，代入求解即可； （2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围； （3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值. 【详解】（1），且当时，， 故； （2），当时，， ……， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ……， 画出的图象如下： 设当时，，即， 解得或， 因为，所以， 对任意，都有，故 故实数的取值范围是， （3）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数， 即，， 因为的值域为，而， 故，解得或， 当时，，故， 当时，，故， 综上，或. 【点睛】 方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 15．(1) (2),最小正周期为，值域为 【分析】（1）直接根据的解析式求值即可； （2）根据两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简，由正弦函数的最小正周期公式求出最小正周期，由正弦函数的图象求出值域. 【详解】（1）. （2） 所以的最小正周期， 由于，，， 所以，， 所以在区间上的值域为. 16．(1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）先求定义域，然后判断和的关系即可判断其奇偶性； （3）求出函数定义域，然后根据定义域是否关于原点对称即可作出判断. 【详解】（1）的定义域为R，， 因为， 所以为偶函数. （2）由得， 解得定义域为，关于原点对称， 又 ， 所以为奇函数. （3）由，即，解得， 所以，定义域不关于原点对称， 所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$